КИМы по математике профильного уровня №7

Вариант № 27

1.  В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, Найдите AB.

2 .  Даны векторы и Найдите скалярное произведение

3.  В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

4.  На конференцию приехали 7 ученых из Сербии, 5 из Германии и 4 из Швейцарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что тринадцатым окажется доклад ученого из Швейцарии.

5.  В коробке 6 синих, 10 красных и 9 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

6.  Найдите корень уравнения:

7.  Найдите значение выражения

8 .  На рисунке изображён график   — производной функции На оси абсцисс отмечено девять точек: Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции

9 .  Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону где t  — время с момента начала колебаний, T  =  6 с  — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле где m  — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 5 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

10.  Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метров, за 39 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите точку максимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через диагональ BD1 проведена плоскость α, параллельная прямой AC.

а)  Докажите, что прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания A1B1C1D1 параллельна прямой A1C1.

б)  Найдите угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если AB  =  6, BC  =  8, CC1  =  10.

15.  Решите неравенство:

16.  Строительство нового завода стоит 192 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x2 + 4x + 18 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px − (0,5x2 + 4x + 18). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 6 лет?

17.  Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K.

а)  Докажите, что треугольник BCK  — равнобедренный.

б)  Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если

18.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

19.  Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 40, но меньше 50, а в автобусах модели Б  — больше 50, но меньше 60. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места так же будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.

а)  Может ли потребоваться 4 автобуса модели Б?

б)  Найдите наибольшее возможное количество детей в группе, если известно, что их меньше 300.

в)  Найдите наибольшее возможное количество автобусов модели А.

Вариант № 57851209///27

Вариант № 28

1.  В треугольнике ABC AC  =  BC  =  7, Найдите AB.

2.  Вектор  с концом в точке B(5; 4) имеет координаты (3; 1). Найдите сумму координат точки

3.  Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2 и 7. Найдите его площадь поверхности.

4.  Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 8, но не дойдя до отметки 11 часов.

5.  Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 10».

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.  На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите длину наибольшего из них.

9.  Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле где m  — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 56 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

1 0.  Из одной точки кольцевой дороги, длина которой равна 22 км, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 113 км/ч, и через 30 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите точку минимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.

а)  Докажите, что

б)  Найдите объём пирамиды, если и HC  =  4.

15.  Решите неравенство

16.  По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 30% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 млн рублей в первый и второй годы, а также по 15 млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 190 млн, а к концу проекта  — больше 360 млн рублей.

17.  В треугольнике ABC угол ABC тупой, H  — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.

а)  Докажите, что угол ABC равен 120°.

б)  Найдите BH, если и

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

выполняется при любом допустимом значении x.

19.  Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.

а)  Может ли выполняться равенство A · S  =  1105?

б)  Может ли выполняться равенство A · S  =  1106?

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение A · S, если оно больше 1503?

Вариант № 57851284///28

Вариант № 29

1 .  Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 16 и 12, а угол между ними равен 30°.

2.  Вектор с началом в точке имеет координаты Найдите абсциссу точки B.

3.  П лощадь основания конуса равна 45. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 8, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

4.  В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

5.  Биатлонист 6 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние три промахнулся. Результат округлите до тысячных.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения  при

8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  =  9 с.

9.  Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле где m  — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 50 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

1 0.  Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 22 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 418 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

11.   На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.

12.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильном тетраэдре SABC точка M  — середина ребра AB, а точка N расположена на ребре SC так, что SN : NC  =  3 : 1.

а)  Докажите, что плоскости SMC и ANB перпендикулярны.

б)  Найдите длину отрезка MN, если длина ребра AB равна 8.

15.  Решите неравенство:

16.  По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика за два года станет больше 125 миллионов, а за четыре года станет больше 200 миллионов рублей.

17.  Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N.

а)  Докажите, что

б)  Найдите BM, если AB  =  AC  =  5, BC  =  6.

18.  Найдите все значения a, при которых неравенство не имеет решений.

19.  Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

а) Может ли

б) Может ли

в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Вариант № 57851359///29

Вариант № 30

1 .  Площадь треугольника равна 31. – средняя линия, параллельная стороне Найдите площадь трапеции

2.  Найдите длину вектора

3.   Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 5 и 7. Найдите его площадь поверхности.

4.  Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 75 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 27 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

5.  Игральную кость бросили два раза. Известно, что пять очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 7».

6.  Решите уравнение Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

7.  Найдите значение выражения:

8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону где х  — расстояние от точки отсчёта (в метрах), t  — время движения (в секундах). Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t  =  2 с.

9.  Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой где − сила тока в рамке, Тл  — значение индукции магнитного поля, м  — размер рамки, − число витков провода в рамке, − острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Нм?

1 0.  Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 513 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите значение x, при котором

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

14.  В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость параллельная ребру MD.

а)  Докажите, что плоскость параллельна ребру MC.

б)  Найдите угол между плоскостью и прямой BD.

15.  Решите неравенство:

16.  В сентябре планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 2,5% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по август каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года.

Чему равна общая сумма выплат (в млн рублей) после полного погашения кредита, если сумма наибольшей годовой выплаты и наименьшей годовой выплаты долга составит 7,74 млн руб.?

17.  Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке K. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а)  Докажите, что прямые AD и МC параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника DBC, если AK  =  5 и KM  =  25.

18.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение:

имеет единственный корень.

19.  В ящике лежат 68 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 944 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1016 г.

а)  Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике оказаться ровно 15 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в)  Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Вариант № 57851400///30