Логические задачи и софизмы

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №16

Щёлковского муниципального района

Московской области

Проект на тему

Логические задачи и софизмы

Работу выполнил

ученик 5а класса

Слепченков Алексей

Руководитель: Немова Татьяна Сергеевна

2020 – 2021 уч. год

Оглавление

Введение……………………………………….…………….…..…3

Основная часть………………………………………………....4-16

1. Виды логических задач и методы их решения……………4

2. Решение задач на соответствие………………………….5-12

3. Софизмы как нарушение правил логики ………….….13-14

4. Опрос-исследование ……………………………….…..15-16

Заключение………………………………..……..………………17

Источники информации…………………………..….…..…......18

Приложение. Сборник логических задач

Введение

Актуальность темы

В повседневной жизни каждому из нас приходится решать много важных проблем. Чтобы осознанно подходить к их решению необходимо, чтобы у человека было развито логическое мышление. Также человек, знакомый с логикой, умеет точно и ясно выражать свои мысли, грамотно ими делиться.

У школьников логическое мышление развивается в процессе решения логических задач, прежде всего на уроках математики и информатики.

Какие логические задачи существуют, какими методами их решают, и как нарушение правил логики влияет на их решение?

Я заинтересовался этими вопросами. Так появилась тема моего учебного проекта.

Цель работы: выявить различные методы решения логических задач, а также выяснить к каким последствиям могут привести ошибки в рассуждениях.

Задачи:

собрать и проанализировать материал о видах логических задач и о различных методах их решения на примере задач на соответствие;

разобрать ошибки в некоторых софизмах;

провести опрос-исследование с целью заинтересовать школьников данной проблемой;

составить сборник логических задач.

Методы исследования: поиск и анализ научно-популярной и занимательной литературы, опрос.

Основная часть

Виды логических задач и методы их решения

Л огику можно определить как науку о правильном мышлении. Основателем логики считается древнегреческий философ Аристотель. Предшественниками Аристотеля в развитии логической науки в Древней Греции были Зенон Элейский, Сократ и Платон. Аристотель же впервые систематизировал доступные знания о логике, обосновал формы и правила логического мышления.

Используя Интернет-ресурсы и дополнительную литературу, я выяснил, что существуют разные виды логических задач, а также множество методов их решений.

Виды задач на логическое мышление:

1.Задачи на соответствие между элементами множеств (например, «Кто есть кто?»)

2. Математические ребусы.

3. Истинностные задачи (с использованием законов математической логики)

4. Задачи на переливание.

5. Задачи на взвешивание.

6. Геометрические задачи.

7. Словесные логические шутки.

Методы решения логических задач: 1. Метод рассуждений. 2. Метод подбора (перебор всевозможных вариантов) 3. Метод таблиц и графов. 4. Метод кругов Эйлера. 2. Решение задач на соответствие Я подробно рассмотрел задачи на соответствие между элементами множеств.  В математике группу предметов с общими свойствами называют множеством. Предметы, входящие в это множество, называют элементами множества.  Простые задачи на соответствие решают методом рассуждений, а более сложные – методом таблиц или графов.

Задача. В трёх мешках находятся крупа, вермишель и сахар. На одном мешке написано «крупа», на другом – «вермишель», на третьем – «крупа или сахар». В каком мешке что находится, если содержимое каждого из них не соответствует записи?

Решение: в задаче идет речь о соответствии элементов 2-х множеств: множества продуктов и множества мешков.

Будем рассуждать: если содержимое каждого мешка не соответствует записи, то в третьем мешке – не крупа и не сахар, а значит, там вермишель. Тогда в первом мешке – не крупа и не вермишель, значит – сахар, а во втором остаётся только крупа.

Ответ: в первом мешке – сахар, во втором – крупа, в третьем – вермишель.

З адача. Олег, Игорь и Аня учатся в 5 классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник. Известно, что:

лучший художник не нарисовал своего портрета, но нарисовал портрет Игоря;

Аня никогда не проигрывала мальчикам в шахматы.

Кто в классе лучший математик, лучший шахматист и лучший художник?

Решение: в задаче идет речь о соответствии элементов 2-х множеств: множества детей и множества профессий.

Если Аня никогда не проигрывала мальчикам в шахматы, то она и есть лучший шахматист. Лучший художник – Олег, т.к. он нарисовал портрет Игоря.

Ответ: Аня – лучший шахматист, Олег – лучший художник, Игорь – лучший математик.

Таким же методом рассуждений можно решить следующие задачи.

1. В квартирах 1, 2, 3 жили три котёнка: белый, чёрный и рыжий. В квартирах 1 и 2 жил не чёрный котёнок. Белый котёнок жил не в квартире 1. В какой квартире жил каждый котёнок?

Ответ: Чёрный котёнок живёт в квартире №3, белый – в квартире №2, рыжий – в квартире №1.

2. Мама, папа и сын любили разные мультфильмы: «Ну, погоди!», «Смешарики», «Том и Джерри». Определите, какой мультфильм любит каждый из них, если мама, папа и любитель мультфильма «Смешарики» никогда не унывают, а папа и любитель мультфильма «Том и Джерри» делают зарядку по утрам? 

Ответ: мама любит мультфильм «Том и Джерри», папа –«Ну, погоди!, сын – «Смешарики».

3. В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Их фамилии: Иванов, Семёнов, Герасимов. Миша – не Герасимов, отец Володи – инженер, Володя учится в 6 классе, Герасимов – в 5 классе, отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из друзей?

Ответ: Володя Семёнов, Миша Иванов, Петя Герасимов.

4. Школьный драмкружок, готовясь к постановке отрывка из сказки А.С.Пушкина о царе Салтане, решил распределить роли между участниками:

- Я буду Черномором, - сказал Юра.

- Нет, я буду Черномором, - заявил Коля.

- Ладно, - уступил ему Юра, - я могу сыграть Гвидона.

- Ну, я могу стать Салтаном, - тоже проявил уступчивость Коля.

-Я же согласен быть только Гвидоном! – произнёс Миша.

Желания мальчиков были удовлетворены. Как распределились роли?

Ответ: Миша – Гвидон, Юра –Черномор, Коля – Салтан.

Б олее сложные задачи (особенно если элементов во множествах больше трёх) удобно решать методом таблиц.

Задача. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, квас, лимонад и вода. Известно, что вода  и молоко не в бутылке. Сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом. В банке не лимонад и не вода. Стакан стоит между банкой и сосудом с молоком.

В каком сосуде находится каждая из жидкостей?

Решение: в задаче идет речь о соответствии элементов 2-х множеств: множества сосудов и множества напитков.

Строим таблицу: строки – сосуды, столбцы – напитки.  Договоримся отмечать положительный результат знаком «+» , а отрицательный– знаком «-».

Если в каком-то столбце или строке появляется знак «+», то в остальных ячейках этого столбца или строки ставим знак «-». Если во всех ячейках столбца или строки, кроме одной стоят все минусы, то в эту ячейку ставим плюс.

Мы знаем, что вода и молоко не в бутылке, значит, ставим знак «-». Еще известно, что сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, следовательно, в кувшине не лимонад и не квас. Еще, лимонад и вода не в банке, а в стакане и  в банке не молоко.

Ответ: лимонад в бутылке, вода в стакане, молоко в кувшине и квас в банке.

З адача. Четверо друзей - Алик, Володя, Миша и Юра - собрались в доме у Миши. Мальчики оживленно беседовали о том, как они провели лето.
- Ну, Балашов,ты, наконец, научился плавать? - спросил Володя.
- О, еще как, - ответил Балашов, - могу теперь потягаться в плавании с тобой, Алик.
- Посмотрите, какой я гербарий собрал, - сказал Петров, прерывая разговор друзей, и достал из шкафа большую папку.
Всем, особенно Лунину и Алику, гербарий очень понравился. А Симонов обещал показать товарищам собранную им коллекцию минералов. 
Назовите имя и фамилию каждого мальчика.

Решение: в задаче идет речь о соответствии элементов 2-х множеств: множества имён и множества фамилий.

Друзья собрались в доме у Миши, а Петров достал из шкафа папку, значит, Миша Петров, т.к. хозяин может достать папку (ставим «+»). Из первых двух высказываний следует, что у Володи и Алика фамилия не Балашов (ставим два минуса). Лунину и Алику гербарий понравился, значит, Алик не Лунин (ставим «-»). Действуя по правилам, заполняем таблицу.

Ответ: Алик Симонов, Володя Лунин, Миша Петров, Юра Балашов.

Методом таблиц решаются следующие задачи.

1. Матвей, Виктор, Борис и Илья на уроке труда смастерили кораблики: зелёные, синие, красные и жёлтые. Каждый складывал кораблики только одного цвета. Кораблики Ильи и Матвея не красные. Борис и Илья не захотели мастерить синие, Матвей не делал ни синие, ни жёлтые. Кто из мальчиков какие кораблики смастерил?

Решение:

2. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Катя, Ваня, Ира и Галя. Сколько лет каждому, если одна девочка ходит в детский сад, Катя старше Вани, и сумма лет Кати и Иры делится на три?

Решение:

3. В компьютерном классе на перемене пять ребят – Максим, Настя, Саша, Рома, Сережа стали играть в такие игры: пасьянс «Паук», гонки, сапер, «Марио», тетрис. Каждый из них играл только в одну игру. 
• Саша думал, что в «Марио» играет Настя. 
• Настя предполагала, что Рома играет в тетрис, а Максим – в гонки. 
• Рома считал, что Сережа играет в гонки, а Саша – в сапера. 
• Максим думал, что Настя раскладывает пасьянс, а в «Марио» играет Рома. 
В результате оказалось, что все они ошиблись в своих предположениях. Кто и во что играл?

Решение:

Если в задаче используются не два, а больше множеств, то её лучше решать методом графов.

Граф – это геометрическая схема, в которой элементы множеств изображаются точками, а соответствия между ними линиями.

Задача. У трёх подружек – Ксюши, Насти и Маши новогодние карнавальные костюмы белого, синего и красного цветов и шапочки тех же цветов. Костюм и шапочка Насти одного цвета. Костюм и шапочка Ксюши не красные. Маша в белой шапочке, а костюм её не белый.

Кто в каком костюме и шапочке?

Решение: Имеем 3 множества: множество девочек, множество костюмов и множество шапочек.

С вязь между множествами будем рисовать сплошной линией, а если между элементами соответствия нет, то будем соединять их пунктирной линией.

Мы знаем, что костюм и шапочка Ксюши не красные, соединяем пунктирной линией. У Маши белая шапочка, соединяем сплошной линией. Костюм у Маши не белый, соединяем пунктирной линией. Понятно, что Ксюша не в красной и не в белой шапочке, следовательно, в синей.

Остаётся красная шапочка, значит, она у Насти. Нам известно, что у Насти костюм и шапочка одного цвета. Значит, Настя во всём красном.

Получается, что Маша в синем костюме, а Ксюша в белом.

Ксюша

Настя Маша

Костюмы Шапочки

С иний Белый Синяя Белая Красный Красная Ответ: Настя в красном костюме и красной шапочке, Ксюша в белом костюме и синей шапочке, Маша в синем костюме и в белой шапочке.

Другие задачи, решаемые с помощью графов.

Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Бам

Бим Бом

Рубашки Туфли

С иняя Зелёная Синие Зелёные Красная Красные

Ответ: Бим в красных рубашке и туфлях, Бам в синей рубашке и зелёных туфлях, Бом в зелёной рубашке и в синих туфлях.

2. Иван, Дмитрий и Сте­пан — преподают различные предметы (химию, биоло­гию, физику) в школах Москвы, Минска и Киева. Известно: 1) Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Минске;  2) москвич преподает не физику;  3) тот, кто работает в Минске, преподает химию;  4) Дмитрий преподает не биологию. Какой предмет и в каком городе преподает каждый?

Дмитрий

Иван Степан

Предметы Город

х имия физика Москва Киев биология Минск
Ответ: Иван преподаёт химию в Минске, Дмитрий – физику в Киеве, а Степан – биологию в Москве.

3. Софизмы как нарушение правил логики

В древней Греции философские беседы нередко приводили к изобретению хитроумных «доказательств» неверных утверждений.

Такие «доказательства» называются софизмами, т. к. их часто использовали софисты - учителя философии и красноречия в Древней Элладе.

Софизм – кажущееся правильным утверждение, в доказательстве которого кроются замаскированные ошибки.

Основные ошибки в математических софизмах: деление на 0; неприменимость законов действий над числами; нарушения правил действия с именованными величинами.

Софизм №1 «Пять равно четырём»

Возьмем верное равенство 20+15-35 = 16+12-28. В каждой части вынесем за скобки общий множитель: 5 ∙ (4+3-7) = 4 ∙ (4+3-7). Разделив обе части равенства на одинаковый множитель (4+3-7), получим 5 = 4.

Разбор софизма. Ошибка допущена при делении верного равенства

5 ∙ (4+3 - 7) = 4 ∙ (4+3-7) на число 4+3-7, равное 0. Этого нельзя делать. Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0.

Софизм №2 «Один метр не равен ста сантиметрам»

Известно, что

1 м = 100 см и

10 м = 1000 см

Перемножая эти равенства почленно, получим

10 м = 100 000 см

и разделив последнее равенство на 10, получим, что

1 м = 10 000 см

Таким образом, один метр не равен ста сантиметрам.

Разбор софизма: Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их единицами измерений. Ведь перемножая равенства и деля на 10 мы получим, что 1 м2 = 10 000 см2 ,что верно.

Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла игра с языком; которая опирается на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность и т.д.

1.«Лекарства» 
«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше». 
Разбор софизма: Лекарство не всегда добро: оно будет им только в нужной для больного дозе, иначе оно является злом.

2.«Рогатый» 
«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». 
Разбор софизма: Начальное суждение не верно, т.к. существуют вещи которых у тебя нет и не было, и ты их, конечно, не терял (чего нет, потерять нельзя).

3. «Глаза не нужны для зрения»

«Без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет, поэтому ясно, что глаза не нужны для зрения»

Разбор софизма: Без правого глаза мы видим – левым, а без левого глаза – правым. Значит, без обоих глаз мы видеть не можем.

Софизмы развивают наблюдательность и вдумчивость, приучают тщательно следить за точностью объяснений.

3. Опрос-исследование

Я провел исследование, целями которого было не только выявить уровень развития логического мышления школьников, но и заинтересовать их этой темой. В нём приняли участие 17 школьников 11-12 лет. Участникам предлагалось решить 2 задачи на соответствие, несколько логических задач-шуток, а также найти ошибку в софизме.

Решите задачи методом рассуждений:

1. В квартирах 1, 2, 3 жили три котёнка: белый, чёрный и рыжий. В квартирах 1 и 2 жил не чёрный котёнок. Белый котёнок жил не в квартире 1. В какой квартире жил каждый котёнок?

2. В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Их фамилии: Иванов, Семёнов, Герасимов. Миша – не Герасимов, отец Володи – инженер, Володя учится в 6 классе, Герасимов – в 5 классе, отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из друзей?

Решите задачи-шутки:

1. Один оборот вокруг Земли спутник делает за 1 час 40 минут, а другой оборот за 100 минут. Как такое может быть?

2. Что тяжелее: килограмм железа или килограмм ваты?

3. В парке 8 скамеек. Три покрасили. Сколько скамеек стало в парке?

4. В комнате горело 50 свечей, 20 из них задули. Сколько останется?
5. Грузовик ехал в деревню. По дороге он встретил 4 легковые машины. Сколько машин ехало в деревню?

6. Один поезд едет из Москвы в С.-Петербург с опозданием 10 минут, а другой - из С.-Петербурга в Москву с опозданием 20 минут. Какой из этих поездов будет ближе к Москве, когда они встретятся?
7. Тройка лошадей пробежала 30 км. Сколько км пробежала одна лошадь?

8. Сын моего отца, а мне не брат?

9. Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?

Найдите ошибку в рассуждении:

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». 

Анализ ответов

После этого я провёл небольшой опрос, с целью выяснить уровень заинтересованности школьников.

Какие задания оказались для вас простыми, а в решении каких у вас возникли трудности?

Понравилось ли вам решать логические задачи? Какие задачи больше всего понравились?

Хотели бы вы научиться решать задачи методом таблиц и графов?

Как вы думаете, к каким последствиям могут привести логические ошибки в словесных рассуждениях?

Согласны ли вы с тем, что у современного человека должно быть развито логическое мышление?

Заключение

Существует несколько видов логических задач. Их можно решать различными методами. При решении задач на соответствие («кто есть кто») удобно использовать табличный метод и метод графов.

Нарушение в логике рассуждений приводит к возникновению софизмов. Решение логических задач и разбор софизмов – хорошая гимнастика для ума. Благодаря этому школьники учатся грамотно строить свои логические рассуждения, искать ошибки в рассуждениях других. Развивается смекалка, интерес к математике.

Опрос–исследование показал, что у школьников возникали некоторые трудности при решении логических задач. Но всем очень понравилось их решать, особенно задачи-шутки.

Также все опрошенные согласились с тем, что надо развивать логическое мышление, что ошибки в рассуждениях приводят к неправильным выводам. Многие выразили желание научиться решать задачи методом таблиц и графов, т.е. заинтересовались этой темой.

В помощь ученикам был составлен сборник логических задач, где разобраны табличный метод решения и метод графов. Ко всем задачам даны решения и ответы. Также в нём собрано много логических задач-шуток. Источники информации

Кордемский Б.А. Математическая смекалка.– «Юнисам», МДС, 1994.

2. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. – С- Пб, 1996.

3. Мадера А.Г., Мадера Д.А. Математические софизмы. – М.: Просвещение, 2003.

4. Нагибин Ф.Ф, Канин Е.С. Математическая шкатулка. – М.: Просвещение, 1988.

5. Фарков А.В. Математические олимпиады. 5-6 классы. ФГОС. – М.: «Экзамен», 2018.

6. Статьи «Википедии» и другие интернет-ресурсы.