О происхождении приближенных чисел

О ПРОИСХОЖДЕНИИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ

Беседа по истории математики для учащихся 6 класса

Арифметика родилась из практических нужд человека, из необходимости считать предметы, измерять величины. Числа, получаемые в результате измерения, всегда приближенные. Это объясняется главным образом следующими двумя обстоятельствами: 1) измерительные инструменты никогда не бывают точными и 2) при различных измерениях на практике всегда допускаются те или иные неточности. Различные измерения длины пути или взвешивания тела дают очень близкие друг к другу, но не одинаковые результаты.

Все геодезические измерения, относящиеся к площади поверхности и объёму Земли, как бы тщательно они ни производились, выражаются приближёнными числами. То же имеет место в точнейших измерениях современной физики и астрономии. Так, например, астрономы устанавливали, что расстояние до наиболее далеких галактик - грандиозных звездных систем, доступных для наблюдения современными телескопами  -составляет около 3*1022 км, или 3 млрд. световых лет. Конечно, это число приближенное.

Во многих случаях и счет предметов приводит к приближенным числам, например, когда речь идет об определении числа деревьев в лесу или числа жителей большого города.

При составлении планов развития народного хозяйства нашей страны в любой отрасли сельского хозяйства и промышленности, в науке и технике мы пользуемся приближенными числами. Поэтому приближенные вычисления имеют особенно важное значение в настоящее время.

Правило А.Н. Крылова

Рассмотрение математических задач, решавшихся в Древнем Египте и Вавилоне, показывает, что еще в глубокой древности возникли некоторые приемы приближенных вычислений. Под влиянием запросов техники в настоящее время разработаны разные методы приближенных вычислений.

Большие заслуги в развитии теории приближенных вычислений имеет академик Алексей Николаевич Крылов (1863 - 1945). Он в 1942 году писал: «Во всех справочниках, как русских, так и иностранных, рекомендуемые приемы численных вычислений могут служить образцом, как эти вычисления делать не надо… вычисление должно производиться с той степенью точности, которая необходима для практики, причем всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра – половину ошибки».

Для того чтобы в приближенных вычислениях можно было бы из самой записи приближенного числа судить о степени его точности, Крылов предложил следующее правило: «Приближенное число следует записать так, чтобы все цифры, кроме последней, были бы надежными», т.е. верными.

Пример: Записывая 142,35, мы должны быть уверенными в том, что абсолютно верна не только целая часть дроби, но и три десятых. Сомнительным может быть только число 5 сотых.

А.Н. Крылов был не только видным математиком, но и выдающимся механиком-кораблестроителем, сделавшим ряд важнейших  технических открытий. Он отличался большим умением применять математическую теорию к решению практических и технических задач.

За большие заслуги в деле развития отечественной математики и советского кораблестроения А.Н. Крылов был награжден тремя орденами Ленина, ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда.

О приближенном и графическом решении уравнений

Одной из важнейших заслуг Декарта явилось введение общих методов графического решения уравнений, которое основывается на применении изложенного им в «Геометрии» метода координат. Отдельные уравнения решались с помощью геометрических построений и в древности, и в средние века, до Декарта. Однако благодаря введению системы координат графический метод решения уравнений стал общеприменимым. В дальнейшем методы графического решения задач были развиты Ньютоном, Яковом Бернулли и другими учеными.

Издавна ученые сталкивались с решением уравнений третьей и высшей степеней. Отдельные виды кубических уравнений решали геометрическими способами (Архимед и другие в древности, Омар Хаяйями, ал-Коши и другие в средние века). Однако общего алгебраического решения уравнений третьей степени, т.е. правила для выражения корней через коэффициенты уравнения, не нашли ни древние греки, ни индийцы, ни арабские и среднеазиатские ученые.

Формула для решения общего уравнения третьей степени была открыта лишь в 16 веке итальянским математиком Ферро,  Тортальей и Кардано.

Тогда же итальянский математик Феррари открыл формулу для решения общего уравнения четвертой степени.