Правила дифференцирования и таблица производных. Производная сложной функции

Цель урока:

1. Формирование у учащихся представлений о правилах дифференцирования и таблице производных, изучить правило нахождения производной сложной функции; закрепить их при решении примеров;
2. Развитие внимания, памяти, логического мышления;
3. Воспитание старательности, организованности.

 

Ход урока

Организационный момент:

Взаимное приветствие, проверка рабочих мест, проверка отсутствующих.

Создать благоприятный психологический настрой на работу.

Знания по данной теме будет нами использоваться на следующих уроках при исследовании функции для построения графика.

Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания.

Что изучили на прошлом уроке и что было задано на дом? На прошлом уроке мы познакомились с понятием производной. Научились находить производную по её общему правилу (по определению) и обобщили эти знания, составив алгоритм нахождения производной по определению.

Самостоятельная работа по теме: «Пределы»

Вариант 1

Найти следующие пределы:

Изучение нового материала.

Историческая справка о дифференциальном исчислении

Дифференциальное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к исследованию функций. Приращения вида , представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Поэтому естественно появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский язык французского слова derivee, которое ввел в 1797 году Ж. Лагранж. Он же ввел современные обозначения f′ и y′. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как df/dx. Это обозначение встречается и в современной литературе.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII в. в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь для определения скорости прямолинейного движения и построения касательной к кривой.

Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат исчисления, которым мы пользуемся в настоящее время. Ньютон исходил в основном из задач механики (опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и, сводя к нему другие случаи производной), а Лейбниц по преимуществу исходил из геометрических задач (использовал понятие бесконечно малой).Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. Но задолго до этого многие ученые решали задачи, связанные с производной.

Учёные, которые внесли свой вклад в развитие дифференциального исчисления.

Теорема 1. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

Доказательство (доказательство проводит учитель):

Есть функции u(x) и v(x); и .

Нужно доказать, что (u(x)+v(x))' = u'(x)+v'(x).

Пусть u(x) + v(x) = f(x).

Значит, (u(x)+v(x))' = u'(x)+v'(x). ЧТД

Замечание 1: Аналогично можно доказать, что (u(x)-v(x))'=u'(x)-v'(x).

Замечание 2: Можно доказать справедливость теоремы 1 для суммы любого конечного числа дифференцируемых функций, т.е.

Задача 1: Найти производную функции f(x)=x2+x – 7. Вычислить f(-1), f(0), f(3)

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой.

Доказательство (доказательство проводит учитель):

Есть функции u(x) и v(x); и .

Нужно доказать, что .

Пусть

Множители и не зависят от . Функция v(x) имеет производную, поэтому она непрерывна и .

Имеем:

Мы доказали, что .

Эта формула называется формулой Лейбница.

Замечание: Можно доказать, что производная произведения любого конечного числа множителей равна сумме произведений производной каждого из них на все остальные.

Следствие 1. (доказательство проводят ученики самостоятельно)

Постоянный множитель можно выносить за знак производной. .

Доказательство:

По теореме 2 имеем:

Но , поэтому

Следствие 2. Производная функции f(x)=xn, где равна произведению показателя n на степень .

Доказательство (доказательство проводят ученики самостоятельно):

Но , ,а число слагаемых равно числу множителей n, поэтому имеем .

Эта формула верна любого n.

Таким образом, производная степной функции:

Задача 2. Найти производную функции f(x)=x3(x-1)

Решение:

Учитель обращает внимание на то, что ранее мы искали производную, используя только определение, теперь же, зная правила дифференцирования, процесс отыскания производной стал гораздо проще.

Теорема 3. Производную частного двух дифференцируемых функций можно найти по формуле:

, где

Доказательство (доказательство проводится совместно учителем и учениками) :

Есть функции u(x) и v(x); и

Нужно доказать, что .

Пусть .

Умножим обе части равенства на v(x) и найдем производную от обеих частей равенства.

Получим или .

Но . Тогда

или .

Мы доказали, что .

Задача 3: Найти производную функции

Решение:

;

Задача 4: Доказать, что

Доказательство:

Задача 5: Доказать, что (самостоятельно)

Рассмотреть таблицу производных.

 

Производная сложной функции

Сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение: Функция вида y = f ( g (x) ) называется сложной функцией, составленной из функ­ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Пример: Функция у =ln(cos x) есть сложная функция, составленная из функций

у = ln u и u = cos x .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u), где u = g(x).

Внешняя функция Промежуточная функция

При этом аргумент х называют независимой перемен­ной, а u - промежуточным аргументом.

Вернемся к примеру. Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.

Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци­руема в некоторой точке х0, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u0 = g(x0), то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x0.

При этом или ,

т.е. производная от у по переменной х равна производной от у по переменной и, умноженной на производную от и по переменной х.

Правило:

Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;

Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;

Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;

Производную находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере:

Пример 1: Функция у =ln (cos x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия косинуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

.

Функция читается так: логарифмическая функция от тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию: у = ln( cos x)=ln u, u=cos x.

.

На практике такое дифференцирование производится гораздо короче и проще, во всяком случае, без введения записи и.

Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно - дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

Будем использовать при дифференцировании дополненную таблицу производных.

.

Пример 2: Найти производную функции у = (x3 - 5х + 7)9.

Решение: Обозначив в «уме» u = х3 – 5x +7, получим у = u9. Найдем:

и

По формуле имеем

Применение на практике полученных знаний.

Найти производные следующих функций.

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10+

11 12 1314. ;

15. .

При решении активизирую внимание класса путем рецензирования, исправления и дополнения ответов. Также даю возможность задавать вопросы преподавателю и отвечающим, что позволяет вовлекать большее число учеников в проверку знаний и способствует активному повторению материала.

Контроль знаний.

6. Итоги урока.

Вопросы для самопроверки:

1) Верно ли, что:

а) если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке , то в этой точке дифференцируема и функция ?

б) если функция f(x)=v(x)+u(x) дифференцируема в точке ,то функции u(x) и v(x) тоже дифференцируемы в этой точке.

2) Чему равна производная функции f(x) в точке , если, и функции u(x) и v(x) дифференцируемы в этой точке?

3) Чему равна производная функции f(x) в точке, если и функции u(x) и v(x) дифференцируемы в этой точке?

Отметить учащихся, активно работавших на уроке.

 

Рефлексия. Домашнее задание.

Выучить 45-47 решить №810, №814