«Правило разложения простой дроби на сумму двух аликвотных дробей»

Научно-исследовательская работа

Тема: «Правило разложения простой дроби

на сумму двух аликвотных дробей»

Место выполнения работы:

МБОУ «СОШ им. Героя Советского Союза

А. М. Селютина с. Михайловское»

РСО-Алания

Автор работы:

Багаева Анна Мухаровна

учитель математики

Содержание.

Введение

Основная часть:

. Из истории аликвотных дробей------------- 3

. Основные свойства аликвотных дробей 4

Решение задач --------------------------------- 6

Авторская задача----------------------------- 9

Заключение--------------------------------------------- 10

Используемая литература--------------------------- 11

Введение

Объект исследования: аликвотные дроби

Цель исследования: выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни.

Задачи исследования:

Узнать происхождение аликвотных дробей.

Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.

Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

Составлять и решать задачи практического содержания.

Методы исследования:

Анализ математической литературы по данной теме;

Отбор конкретных задач прикладного характера по данной теме;

В Европе расположены 50 независимых стран и государств. Если бы гуманитарная помощь, выделенная Европе распределялась в равных соотношениях между странами, то России бы досталась 1/50 часть помощи. Но Россия решила распределить данную ей помощь по регионам, учитывая численность населения и климатические особенности. Поэтому эту задачу нельзя решить разделив 1/50 на количество регионов. Я стала интересоваться дробями, числитель которых равен единице и их свойствами

1.Основная часть

1.1. Из истории аликвотных дробей

Аликвотные дроби – это самые первые дроби на земле.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху второго переходного периода. Он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность и Средневековье

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.[[[

Аликвотные дроби применятся и в жизни. В ходе работы я узнала, что бывают аликвотные струны, чаще всего их называют резонансовыми струнами. Это дополнительные струны, к которым исполнитель не прикасается во время игры. Резонансовые струны само возбуждаются от колебания игровых струн, служат для усиления их звучания и для обогащения тембровых возможностей инструмента. Эти струны размещаются под грифом, сбоку или под игровыми струнами. Встречаются у многих индийских инструментов, у хардингфеле, у некоторых виолончелей. [1]

1.2 Свойства аликвотных дробей

Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301.Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.

Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

Если числитель исходной дроби единица, то следует умножить числитель и знаменатель ее на сумму двух взаимно простых делителей знаменателя. Полученную дробь заменяют суммой двух дробей, знаменатели которых равны знаменателю полученной дроби, а числители - слагаемым вышеупомянутой суммы.

Примеры разложения дробей:

1/3=1/(3+1)+1/3*(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5*(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8*(8+1)=1/9+ 1/72.

Если знаменатель исходной дроби составное число, то количество возможных вариантов замены исходной дроби суммой двух аликвотных дробей равно числу пар взаимно простых делителей знаменателя исходной дроби.

1/mn = (m+n)/mn(m+n) = m/mn(m+n)+ n/mn(m+n) = 1/n(m+n) + 1/m(m+n)

В дроби 1/25 имеются две пары взаимно простых делителей: 1 и 5, 1 и 25.

Следовательно, данная дробь может быть представлена суммой двух аликвотных дробей двумя способами .

1/25=(5+1)/25*6 = 1/30 + 1/150 1/25= (25+1)/25*26 = 1/26 + 1/650

Ответ: m =650, n=26 или m=150, n=3 [2]

1.3 Решение задач

1.Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей . [5]

А) трех слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

Б) четырех слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

B) 5-и слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=

1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12) +1/7+1/42=

1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2. Митя обнаружил, что 1/n часть класса написала работу лучше него, а 1/(n-1) часть класса – хуже него. Сколько учеников в классе? . [3]

Если 1/n написало лучше, а 1/(n-1) хуже. В идеале никто не написал работу также как и он, но с таким же результатом могло быть и большее количество учеников.

За нескольких сказать ничего не могу, а за одного: Мы можем взять число всех учеников классе за 1. И тогда получается что мы должны разложить число 1 на 3-и аликвотные дроби.

1=1/n+1/(n-1)+1/x

1/x=1/n*(n-1) тогда получается что в классе n*(n-1) учеников.

1=1/(n-1)+1/n+1/(n*(n-1))

Методом подбора мы видим что 1 раскладывается на аликвотные дроби только следующим образом :

1=1/2+1/2=1/2+1/3+1/6 во всех других случаях мы не сможем получить из суммы других аликвотных дробей 1.

Так что, в случае , если он один написал работу с таким результатом, можно утверждать, что в классе 6 человек.

А если таких учеников было несколько, то задача имеет множество решений.

1/x=(n*(n-1)-n –n+1)/(n*(n-1))

3.Найди сумму

1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=? [4]

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100

И вычесть из нее сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10

99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0.09

4. (авторская задача)

Миша, Ваня, Катя, Лена, Витя, Дима, Эля и Костя помогали фермеру собрать урожай картофеля. После окончания работы (12 дней) предприниматель решил отдать в знак благодарности 8 школьникам 1/47 часть урожая. Миша работал -2 дня Ваня -10 дней ,Катя -9 дней, Лена -5 дней , Витя -11 дней , Дима -3 дня , Костя -8 дней и Эля- 1 день. Какая часть выделенного урожая достанется Лене.

Решение:

1/47=1/48*47+1/48*49+1/49*50+1/50*51+1/51

Ответ: Лене достанется 1/2550 часть урожая.

5. (авторская задача)

В сказке «Репка» дедка, бабка, внучка, Жучка, кошка и мышка тянули репку 16 минут. Но все разное количество времени: дедка-16 минут, бабка – 14 минут, внучка – 11 минут, Жучка – 10 минут, кошка – 7 минут, мышка – 2 минуты, Так как дедка тянул все 16 минут он забрал себе ½ часть репки, остальные ½ часть репки достались бабке, внучке, Жучке, кошке и мышке. Какая часть от репки достанется кошке?

Решение:

1/2 = 1/5+1/7+1/12+1/20+1/42

Ответ: кошке достанется 1/20 часть репки.

1.4. Авторская задача

Чтобы узнать какая часть гуманитарной помощи, выделенной России достанется Северной Осетии (учитывая численность населения и климатические особенности), нужно дробь 1/50 представить в виде суммы 85 аликвотных дробей ( для ответа на наш вопрос достаточно разложить на сумму 66 аликвотных дробей, так как РСО-Алания на 65 месте по численности населения и климатическим условиям). Вариантов разложения достаточно много. Рассмотрим одно из них:

Решение:

1/50=

=1/50*51+1/51*52+1/52*53+1/53*54+1/54*55+1/55*56+1/56*57+1/57*58+1/58*59+1/59*60+1/60*61+1/61*62+1/62*63+1/63*64+1/64*65+1/65*66+1/66*67+1/67*68+1/68*69+1/69*70+1/70*71+1/71*72+1/72*73+1/73*74+1/74*75+1/75*76+1/76*77+1/77*78+1/78*79+1/79*80+1/80*81+1/81*82+1/82*83+1/83*84+1/84*85+1/85*86+1/86*87+1/87*88+1/88*89+1/89*90+1/90*91+1/91*92+1/92*93+1/93*94+1/94*95+1/95*96+1/96*97+1/97*98+1/98*99+1/99*100+1/100*101+1/101*102+1/102*103+1/103*104+1/104*105+1/105*106+1/106*107+ +1/107*108+1/108*109+1/109*110+1/111*112+1/112*113+1/113*114+1/114*115+1/115*116+1/116

Ответ : Республике Северная Осетия – Алания достанется 1/13340 часть .

3. Заключение.

Таким образом, при разработке данной темы, мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснили, что каждое рациональное число вида a/b может быть разложено на единичные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести , разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

4.Используемая литература:

Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.

Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994.

Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.

4.Фарков А.В.Математические олимпиады в школе. 5-11класс.– М.: Айрис-пресс, 2005.

5.Петерсон Л. Г. Математика. 5класс. – М.:Ювента, 2009.