Методические рекомендации на тему «Решение финансовых задач»

Государственное казенное общеобразовательное учреждение

«Казачий кадетский корпус»

 

Практикум

«Решение финансовых задач»

(профильный ЕГЭ, № 17)

 

Автор: Берсункаев Д. Д.,

учитель математики

высшей категории.

 

Буденновск, 2018

Содержание

Введение ………………………………………………………………….……...…….. 3

1. Критерии проверки и оценка решений задания № 17 ЕГЭ–2018 ………...……... 4

2. Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж …………….……...………. 5

3. Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж ………...……….. 6

4. Задачи про банковский кредит: другие схемы платежей……………...………….. 8

5. Задачи на нахождение наибольшего/наименьшего значения величины ……..…. 9

6. Основные ошибки при решении задания № 17 ЕГЭ 2018 …………………….… 10

Заключение ………………………………………………………………….……….. 13

Использованные источники ……………………………………………….…............ 14

 

Введение

ЕГЭ по математике направлен на контроль сформированности математических компетенций, предусмотренных требованиями Федерального компонента государственного стандарта общего образования, и с 2015 г. проводится на двух уровнях: базовом и профильном. Варианты КИМ составлялись на основе спецификации и кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения в 2018 г. ЕГЭ по математике.

Общее число участников основного периода ЕГЭ по математике профильного уровня в 2018 г. – более 391 тыс. человек, что сопоставимо с аналогичным показателем 2017 г. Характер распределения первичного балла за два года заметным образом не изменился, что позволяет говорить о сопоставимости результатов ЕГЭ 2017 и 2018 гг.

Среди заданий с полным решением наибольшее количество полных баллов, как и в 2017 г., получено по заданиям 13 и 15: решение тригонометрических уравнений и логарифмических неравенств. Выросла доля получивших полный балл за стереометрическое задание, что связано с некоторым ростом геометрической подготовки наиболее сильных участников, мотивированных на высокий результат.

Одной из причин снижения доли участников, набравших полный балл за задание 17 (экономическая задача), стало использование при подготовке к экзамену типовых заданий вместо систематического изучения курса и грамотного итогового повторения. Многие участники не прочитали полностью и внимательно условие задачи и допустили существенные ошибки, следуя «типовому алгоритму».

Более 60% участников профильного экзамена набрали от 6 до 11 первичных баллов (27–61 т.б.). Это означает, что из первых 12 заданий базового и повышенного уровней с кратким ответом они выполнили не более 11 заданий. С заданиями 14–19 в этой группе справились менее 1,5% участников.

Существенно лучше результаты участников экзамена из группы с хорошей подготовкой (12–19 п.б. / 62–80 т.б.). Они выполняют задания 1–6, 9, 11 с результатом, близким к максимальному, задания 7, 8, 10, 12, 13 в диапазоне 75–90%; треть из этой группы справились с решением логарифмического неравенства (задание 15); четверть – со стереометрической задачей (задание 14). С наиболее сложными заданиями 16–19 эти участники справились в диапазоне 1,6–7%, при этом самым сложным оказалось задание 18 (система с параметром), а более простым – планиметрическая задача.

Максимально возможные результаты группы высокобалльников очевидны. Как и в других группах, заметно небольшое снижение результатов по заданиям 7 и 8. Видимые различия начинаются с задания 14, с которым справились 81% участников этой группы, с заданием 15 – 87%, с заданием 16 – 53%, с заданием 17 – 49%, с заданием 18 – 31% и с заданием 19 – 26%.

1. Критерии проверки и оценка решений задания № 17 ЕГЭ–2018

Задание №17 – это текстовая задача с экономическим содержанием.

Несколько подробнее: 1 балл можно выставлять в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи. Именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию и т.п. Грубо говоря, предъявленный текст должен включать направление, «продолжаемое» до верного решения. Оценка в 2 балла, разумеется, включает в себя условие выставления 1 балла, но существенно ближе к верному решению задачи.

Здесь предполагается завершенное, практически полное решение соответствующей математической задачи. Типичные допустимые погрешности здесь – вычислительные ошибки (при наличии всех шагов решения) или недостаточно полные обоснования.

Отметим, что термин «математическая модель», быть может, излишне высокопарен для сравнительно простых задач экономического содержания, предлагаемых на ЕГЭ. Однако, по нашему мнению, он наиболее лаконичен, общеупотребим и достаточно ясен для того, чтобы пытаться отыскать ему адекватную замену. Следует подчеркнуть, что один и тот же сюжет может быть успешно сведен к различным математическим моделям и доведён до верного ответа. По этой причине в критериях проверки нигде нет жесткого упоминания о какой-либо конкретной (арифметической, алгебраической, геометрической, функциональной) модели.

Вообще, способов верного решения заданий этого типа никак не меньше, чем для привычных текстовых задач. Возможен и стиль, приближенный к высшей математике, и наивный подход, напоминающий арифметический способ решения текстовых задач, и метод использующий специфические для математической экономики понятия (целевая функция, симплекс-метод и т.п.).

2. Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж

Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (месяц) равными платежами.

При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов.

В случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула:

где A – сумма, взятая в кредит, r % – процентная ставка в банке, x – сумма платежа, n – количество лет (месяцев), на которое взят кредит.

Например, если Вы взяли кредит в банке на сумму 500 тыс. рублей сроком на 3 года под 14% процентов годовых, то справедливо следующая формула:

 

Задача 1. Банк предлагает кредит на 3 года на покупку машины стоимостью 546000 рублей на следующих условиях: – раз в год банк начисляет на остаток долга 20%; – после начисления процентов клиент обязан внести некоторую сумму в счет погашения части долга; – выплачивать кредит необходимо равными ежегодными платежами. Сколько рублей составит переплата по такому кредиту?

Решение:

3. Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц). При этом платежи каждый год разные.  

 

Таким образом, если кредит взят на n лет, то это значит, что сумму кредита A разделили на n равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на A по сравнению с долгом на начало года.

Задача 2. 15-го января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условие его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно сделать платеж в размере 29,6 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

 

Решение:

 

Пусть A тыс. рублей – сумма, взятая в кредит. Фраза “долг должен быть на одну и ту же величину меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами.

 

Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая часть всегда одинаковая – это часть от A; вторая часть состоит из процентов, “набежавших” на долг в этом месяце.

 

Составим таблицу:
 

4. Задачи про банковский кредит: другие схемы платежей

Задача 3. В январе банк предоставляет кредиты на сумму A рублей на 6 лет на следующих условиях: – в ноябре каждого года, начиная с первого (когда был взят кредит) сумма долга возрастает на некоторое целое число y процентов; – в декабре каждого года, начиная с первого, клиент должен внести платеж в счет погашения части текущего долга; – платежи подбираются так, чтобы в январе каждого года сумма долга менялась соответственно таблице:

Какой наибольший процент годовых, выраженный целым числом, должен выставить банк, чтобы переплата клиента не превысила половину от суммы взятого кредита?

Решение:

Ответ: 14.

5. Задачи на нахождение наибольшего/наименьшего значения величины

Задача 4. На двух заводах, которыми владеет Александр, производят одинаковый товар. Если на первом заводе рабочие суммарно трудятся t2 часов в неделю, то они производят t товаров. Если на втором заводе рабочие трудятся t2 часов в неделю, то они производят 2t товаров. Заработная плата рабочего за час работы составляет 300 рублей. Найдите наименьшую сумму, которую должен потратить на зарплаты рабочим в неделю Александр, чтобы оба завода произвели 600 единиц товара. Ответ дайте в млн. рублей.

Решение:

 

6. Основные ошибки при решении задания № 17 ЕГЭ 2018

На основной волне ЕГЭ-2018 по математике профильного уровня предлагалась следующая задача:

Задача 5. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Ответ: 5.

Рассмотрим некоторые ошибки и трудности учащихся, с которыми сталкивались эксперты при проверке № 17:

Пример 1.

Комментарий.

Модель построена неверно. Если подставить вместо число 3 в таблицу, то сумма долга уже на 1 число второго месяца должна составить 4 млн рублей, кроме того, еще и неравенство решено неверно.

Оценка эксперта: 0 баллов.
 

Пример 2.

Комментарий.

Модель построена верно. Усложняет проверку отсутствие вычислений. В таблице все результаты вычислений по формулам, записанным справа, верные. Логика решения верна.

Оценка эксперта: 3 балла.

 

Пример 3.

Комментарий.

Почти правильное решение, содержащее ошибки (вычислительного характера). Две ошибки: 1) , а не ; 2) , т.е. должно быть – не позволяют выставить 2 балла.

Оценка эксперта: 1 балл.

 

Заключение

В 2018 году среди заданий с полным решением наибольшее количество полных баллов (как и в 2017 г.), получено по заданиям 13 (решение тригонометрического уравнения) и 15 (решение логарифмического неравенства). При этом следует отметить наличие существенного разрыва в результатах по группам участников; это свидетельствует о том, что для выполнения данных заданий (отнесенных к заданиям повышенного уровня сложности) необходим серьезный уровень математической подготовки. Повлиять на результаты выполнения данных заданий возможно только работая по трем направлениям:

через повышение качества математической подготовки за основную школу,

через усиление внимания к соответствующим разделам курса математики старшей школы,

через выявление учащихся, потенциально способных справляться с такого рода заданиями, и выстраивание с каждым из них на этапе подготовки к экзамену грамотной диагностической работы, направленной на выявление конкретных проблемных зон, что позволит вести адресную работу.

Отметим еще два момента. Положительный момент: увеличилась доля получивших полный балл за задание 16 (стереометрия), что может быть 14 связано с некоторыми подвижками в общей геометрической подготовке участников данного экзамена, связанного с возвращающимся вниманием к этому разделу школьной математики. Отметим также негативную тенденцию: произошло снижение процента участников, набравших полный балл за задание 17 (экономическая задача). На данный результат могло повлиять натаскивание, так как эта задача не поддерживается самостоятельной линией в программе курса и отрабатывается лишь при подготовке к экзамену.

 

Использованные источники

Унифицированные учебные материалы для подготовки экспертов предметных комиссий ЕГЭ 2018 года. Математика (профильный уровень). Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки. Федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Федеральный институт педагогических измерений», 2018;

http://fipi.ru/ege-i-gve-11/demoversii-specifikacii-kodifikatory - Демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ 2018. Математика.

Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2018 года по математике. И.В. Ященко,

А.В. Семенов, И.Р. Высоцкий. Федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Федеральный институт педагогических измерений», 2018;

https://shkolkovo.net/catalog/ - Портал для подготовки к ЕГЭ с использованием гранта Президента Российской Федерации на развитие гражданского общества, предоставленного Фондом президентских грантов при поддержке Научно-исследовательского института Проблем развития научно-образовательного потенциала молодежи.