Теорема Пифагора

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Буранная средняя общеобразовательная школа им. В.М. Волынцева»

Агаповского муниципального района, Челябинской области

Открытый урок по геометрии на тему: «Теорема Пифагора»

Разработал: отличник народного просвещения РАЕ, учитель математики высшей квалификационной категории,

Шонин Максим Юрьевич

Рецензент: почетный работник сферы образования РФ, учитель математики высшей квалификационной категории,

Авдонина Галина Николаевна

13 февраля 2024 год

КРАТКАЯ МЕТОДОЛОГИЯ УРОКА

Предмет: геометрия.

Класс: 8 класс.

Тема: «Теорема Пифагора».

Тип урока: урок приобретения новых знаний, умений и навыков.

Цель урока: изучить и доказать теорему Пифагора, рассмотреть способы решения типовых задач. Рассмотреть практическое применение теоремы Пифагора.

Задачи:

Актуализировать опорный материал (определение, структура, свойства формула площади);

Сформулировать проблемную задачу, как средство «неустранимого» противоречия между потребностью решить задачу и отсутствием для этого необходимых знаний;

Кратко изложить историческую справку о жизнеописании видного алгебраиста Пифагора Самосского;

Организовать практическую работу исследовательского характера, позволяющую на деятельном уровне установить взаимосвязи между сторонами прямоугольного треугольника;

Сформулировать и доказать теорему Пифагора;

Показать систему ключевых задач с использованием теоремы Пифагора;

Научить применять теорему для решения ключевых задач;

Показать практическую значимость теоремы Пифагора.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор.

Дидактические средства: учебник, презентация, модели треугольников, тест.

Методы и приемы: фронтальная работа, сочетающаяся с обще-классной; частично-поисковый метод; индивидуальная работа, работа парами и группами. 

ФОРМИРУЕМЫЕ УУД:

Личностные: обучающиеся учатся замечать и признавать свои ошибки, прислушиваться к мнениям одноклассников, анализировать, овладевать историческими и математическими знаниями и умениями, навыками их применения в реальной жизни, осознавать ценности исторических и математических знаний как важнейшего компонента научной картины мира, рефлексия.

Коммуникативные: обучающиеся приобретают умения организовать сотрудничество с партнёром, осуществлять оценку действий партнера, умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Регулятивные: осознание учениками качества и уровня усвоения пройденного материала.  Оценивают умение сотрудничать с учителем и одноклассниками.

Познавательные: обучающиеся устанавливают причинно-следственные связи между объектами, осуществляют подведение под понятие, проводят сравнение, классификацию объектов, выбирают наиболее эффективный способов решения задач.

ПЛАНИРУЕМЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Метапредметные. Обучающиеся научатся чувствовать красоту формул и теорем, развивать интерес к истории математических открытий.

Личностные. Обучающиеся обретут умение грамотно излагать свои мысли, анализировать, сравнивать. Научаться самостоятельно приобретать новые знания и практические умения, управлять своей познавательной деятельностью. Обретут положительную динамику активности и находчивости при решении поставленных задач, умении работать в коллективе.

Предметные. Обучающиеся концептуально разберут содержание «теоремы Пифагора», обретут знания, как найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника при ее помощи.

Эпиграф урока: «…Геометрия владеет двумя сокровищами:

Одно из них – это теорема Пифагора,

которую можно сравнить с мерой золота»

немецкий математик, астроном Иоганн Кеплер

I. Мотивационно-организационный этап

Учитель: добрый день! Располагайтесь поудобнее, начинаем наш урок. Мы проведем не обычный урок геометрии, а отправимся с вами в путешествие. Ребят как вы думаете, зачем люди путешествуют?

Ученики: чтобы узнать что-то новое, познакомится с новыми людьми, сделать маленькие или большие открытия.

Учитель: я с вами согласен! С этой целью, на колесе истории, мы отправимся в заочное путешествие! В данный момент мы находимся в Челябинской области, Агаповском муниципальном районе, пос. Буранном, а в конце нашего путешествия мы окажемся в Древней Греции (рис 1.).

Рисунок 1. Траектория перемещения из Челябинской области в Грецию

II. Актуализация опорных знаний

Учитель: но прежде, чем отправится в путешествие, нам необходимо собрать багаж в дорогу. А так как путешествие наше не обычное, то с собой мы возьмем не зонт и шляпу с плащом, а знания и умения, также нам понадобятся ваши внимание и память, запоминайте все самое интересное и полезное. Поэтому предлагаю повторить теоретический материал:

1) Какой треугольник называется прямоугольным?

2) Какие из треугольников являются прямоугольными?

3) Как называются стороны прямоугольного треугольника? Назовите катеты прямоугольного треугольника, гипотенузу.

4) Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник?

5) Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

6) Чему равен угол

Учитель: какая геометрическая фигура должна стать объектом вашего внимания в путешествии?

Ученики: Прямоугольный треугольник.

III. Создание проблемной ситуации

Учитель: итак, наше путешествие началось. На горизонте Остров Незнаек. Я хочу предложить вам такую задачу: для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на палубе на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 14 м троса для крепления мачты? Иллюстрация отображена на рисунке 2.

Рисунок 2. Иллюстрация проблемной задачи

Учитель: предложите идею решения задачи.

(Ответы учеников).

Учитель: возможно ли однозначно, на теоретическом уровне, с математической точностью ответить на поставленный в условие задачи вопрос?

Ученики: нет.

Учитель: в чем причина?

Ученики: недостаточность знаний.

Учитель: помочь выйти из данной ситуации, расширить свои знания нам поможет одна из немногих теорем геометрии, которую помнят все поколения. Должны знать ее и вы – теорема Пифагора, которая позволяет находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника по двум известным сторонам.

IV Сообщение темы и целей урока.

Учитель: давайте сформулируем тему урока?

Ученики: «Теорема Пифагора».

Учитель: а какова цель нашего урока?

(Ответы обучающихся)

Учитель: верно, цель урока (я добавлю): изучить теорему Пифагора и рассмотреть способы решения типовых задач.

Учитель: запишите тему урока.

Учитель: эпиграфом к нашему уроку послужат слова немецкого астронома Иоганна Кеплера: «Геометрия владеет двумя великими сокровищами. Первое – это теорема Пифагора, которую можно сравнить с мерой золота».

Учитель: ребята, я думаю, что вы со мной согласитесь, что представить себе труды ученого отдельно от его биографии невозможно. Обратимся к краткому жизнеописанию видного математика Пифагор? Для доклада слово представляется.

Выступление обучающегося: Пифагор Самосский (около 570–491 гг. до н.э.) – один из самых известных древнегреческих философов, мистиков и математиков, создатель религиозно-философской школы. Если следовать официальной биографии Пифагора, то в 18 лет он отправился в Египет, ко двору фараона Амасиса, к которому его отправил самосский тиран Поликрат. Благодаря протекции, Пифагор попал в обучение к египетским жрецам и был допущен в храмовые библиотеки. Считается, что мудрец провёл в Египте около 22 лет.

Однако мало кто знает, что мыслитель был также спортивным талантом, который достигал невероятных высот в олимпийском спорте. Несмотря на то, что точное число его побед остаётся загадкой, известно, что он был неоднократным олимпийским чемпионом по кулачным боям.

В возрасте 56 лет он вернулся в родной Самос. Свидетельства указывают на то, что после всех своих скитаний Пифагор осел в Кротоне. Там он основал философскую школу, с которой было связано много интересных мифов и легенд:

Например, о том, как он разделил прихожан на математиков и последователей. Первыми могли стать лишь те, кто полностью посвятил себя «ордену», — продал имущество, отказался от мяса и женщин. С ними учитель встречался лично и обсуждал свои открытия. Последователям же тайна лица Мастера не открывалась – они видели лишь профиль Пифагора за натянутой тканью.

Или Убийство Гиппаса. Гиппас – один из самых известных учеников гения – был математиком и постоянно работал с учителем над разгадкой тайн арифметики. По легенде, это его и погубило. Миф рассказывает, что Гиппас открыл иррациональное число, и это полностью противоречило учениям Пифагора. За что последний в буквальном смысле утопил своего верного слушателя в реке.

Вообще и целом, очевидно, что Пифагор был безусловно яркой, разносторонней личностью, знания которого спустя века дошли до нас. Наша задача – грамотно ими распорядится.

V. Практическая работа исследовательского характера

Учитель: Ребята, хотели ли вы попробовать себя в роли ученого?

Ученики: Да.

Учитель: тогда предлагаю выполнить исследовательскую поисковую работу в парах: на каждой парте лежат модели прямоугольных треугольников. Произведите измерения катетов и гипотенузы. Результаты занести в таблицу 1.

Таблица 1. Экспериментальная матрица (до проведения практической работы)

Комментарий: после выполненных измерений у обучающихся должны получится следующие данные – прямоугольные треугольники с катетами 12 см и 5 см, гипотенузой 13 см; 6 см и 8 см, гипотенузой 10 см; 9 см и 12 см, гипотенузой 15 см.

Таблица 2. Экспериментальная матрица (после проведения практической работы)

Учитель: ребята, посмотрите внимательно на таблицу. Видна ли связь между длинами катетов и гипотенузой в прямоугольных треугольниках.

(обучающиеся выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются).

Учитель: Я выслушал ваши гипотезы, но для того, чтобы ответить есть ли среди них правильные давайте заполним таблицу 3. С этой целью, найдите квадраты катетов и гипотенузы.

Таблица 3. Матрица квадратов сторон прямоугольных треугольников

Учитель: а сейчас, кто желает сформулировать зависимость между длинами катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике?

(школьники выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются)

Учитель: поздравляю вас с открытием теоремы Пифагора!

Учитель: давайте запишем формулировку теоремы в тетрадь: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов». Выполним чертеж и запишем равенство, выражающие теорему Пифагора.

VI. Доказательство теоремы Пифагора

Учитель: путешествие продолжается, на горизонте берега Древней Греции. А знаете, почему греки обогнали в математике все другие народы? Потому что греки умели спорить! Они не просто заучивали правила. А разыскивали причины. Давайте и мы с вами порассуждаем, поспорим и докажем теорему Пифагора в современной ее интерпретации.

(Учитель с обучающимися фронтальным образом доказывают теорему) (рис 4.)

Доказательство:

Достроим прямоугольный треугольник до квадрата со стороной

Согласно признаку равенства прямоугольных треугольников, образовавшиеся в углах квадрата треугольники равны (по двум катетам).

Четырехугольник, лежащий на гипотенузе – квадрат (признак квадрата: если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов 90 °, то это квадрат).

Рисунок 4. Иллюстрация к доказательству теоремы

Воспользуемся свойством площади и формулами: (площади квадрата, сокращенного умножения):

ч. т. д.

Учитель: на данный момент в научной литературе зафиксировано более 200 доказательств теоремы Пифагора. Теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Я советую вам обратиться к ресурсам Интернета и узнать очень много интересного и о теореме Пифагора, и о ее истории.

VII. Закрепление материала

Учитель: Давайте вспомним задачу, которую мы не смогли решить в начале урока, ведь теперь мы знаем, какая зависимость связывает стороны прямоугольного треугольника.

Вспомогательные вопросы: 1) Какие стороны треугольника были известны?; 2) Какую сторону необходимо было найти?; 2) Какую использовали теорему, для её вычисления?.

(Обучающиеся решают задачу)

Учитель: Какую сторону можно ещё найти по теореме Пифагора? Какие типы задач решают с помощью теоремы Пифагора?

Ученики: с помощью теоремы можно находить длину катетов и гипотенузы.

Учитель: теорема Пифагора позволяет установить следующие соотношения, применяемые при решении задач:

Учитель: запишите формулы в тетрадь. Обратите внимание на алгоритм нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника.

Указать прямоугольный треугольник;

Записать для него теорему Пифагора;

Выразить неизвестную сторону через две другие;

Подставить известные значения и вычислить неизвестную сторону.

Учитель: для закрепления поработаем в группах (групповая работа). Каждой группе предлагается решить задачу по готовому чертежу. На выполнение задания вам 3 минуты. Вычислите, если возможно:

Сторону АС треугольника АВС (рис. 5); – 1 группа.

Сторону MN треугольника KMN (рис. 6); – 2 группа.

Сторону KP треугольника KPR (рис.7); – 3 группа.

Рисунок 5-7 (слева - направо). Задания для групповой работы

Учитель: Ребята, время вышло. Прошу прокомментировать ваше решение. Кто выступает от первой группы? Вторая группа – ваш выступающий? Очередь третьей группы?

О т в е т ы: а) б) 5; в) строну треугольника вычислить нельзя.

Замечание: Следует обратить внимание учеников на то, что в задаче 1, в) не хватает данных для решения. Неясно, какой вид имеет треугольник KPR. В такой

VIII. Тест с самопроверкой:

В прямоугольном треугольнике стороны имеют длину 9 см, 15 см, 12 см. Как называется сторона, имеющая длину 15 см? а) катет б) основание в) гипотенуза

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найти гипотенузу этого треугольника. а) 49 см б) 13 см в) 289

Запишите теорему Пифагора для треугольника АВС, у которого угол В прямой а) AB²=AC²+BC² б) AC²=AB²+BC² в) BС²=AB²+AC²

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а один из катетов 3 см. Найти второй катет. а) 4 см б) 2 см в)

Учитель: Обменяйтесь тестами, проверьте друг друга. Ответы и критерии оценивания на слайде.

Ответы: 1) б 2) а 3) в 4) б 5) б

Критерии оценивания: 4 – «5» 3 – «4» 2 – «3»

VIV. Итог урока

Учитель: Наше путешествие окончилось. Давайте подведем итоги нашего урока. Перед вами несколько клише. Закончите мысль в аспекте пройденного материала.