Тест с открытым ответом по теме «Системы счисления»

ТЕСТ с открытым ответом по теме «Системы счисления»

Мазничевская Лариса Ивановна

Учитель математики и информатики;

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение города Москвы «Школа № 763»

Проблема качественной подготовки обучающихся к сдаче ЕГЭ становится сегодня актуальной. Практически каждый учитель задает вопрос как, с помощью каких форм, методов и приемов обеспечить успешную подготовку и сдачу ЕГЭ по информатике?

Одним из основных приемов развития мыслительной деятельности учащихся, сообразительности, умений увидеть алгоритм решения, считаю регулярное планомерное использование интересных нестандартных задач на каждом уроке. Вашему вниманию предлагается тест с открытым ответом для учащихся 10-11 профильных классов, либо для учащихся, сдающих ЕГЭ. Все задания теста приведены с подробным решением .

Задача 1

 Если каждая четверка битов в каждом элементе последовательности:

000110010110,

00010001100101100110,

0001000100011001011001100110, …

кодирует десятичную цифру, то на седьмом месте последовательности находится элемент, соответствующий десятичному числу:

Ответ: 111111196666666

Решение:

Если перевести четверки битов в десятичную систему, то можно получить последовательность: 196, 11966, 1119666, … . Проанализировав закон построения последовательности, можно обнаружить, что искомое десятичное число должно выглядеть так: 111111196666666.

Задача 2

Чему равно наименьшее количество различных законов логики, максимально упрощающих выражение:

,

Ответ: 3

Решение:

Необходимо:

1) применить наименьшее количество аксиом;

2) применить аксиомы наименьшее число раз.

Одним из законов, позволяющих быстро уменьшать “длину” упрощаемого выражения, является закон поглощения. Попробуем применить этот закон. Проанализируем выражение под “внешним” знаком отрицания: по закону поглощения вида: . Следовательно, (применен второй закон — закон идемпотентности: ). Применяем третий закон — закон исключенного третьего: . Получили, что z = 1.

Задача 3

Ряд вида 01, 01012, 01012010123, 01012010123010120101234, … образован, начиная со второго числа, по единому правилу, определить какая цифра стоит в 766-м разряде (слева направо) числа ряда с номером 9?

Ответ: 8

Решение:

Число номер 1 задано изначально и имеет вид: 01. Определим, анализируя остальные числа, закон построения ряда. Сравнивая каждое число ряда с предыдущим, видим, что этот закон таков: каждое новое число получается путем присоединения к предыдущему его копии и затем добавления номера нового числа. Поэтому порядковые номера чисел расположены соответственно на позициях: 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767 (или в общем виде — на (2n + 1)-й позиции, где n — количество цифр в предыдущем числе ряда). Следовательно, у 9-го числа на предпоследнем, 766-м, месте стоит последняя цифра добавленной копии предыдущего числа, т.е. его номер — 8.

Задача 4

Определить верно ли следующее равенство: 112p + 2= 1214p? В ответе если верно введите 1, если неверно 0

Ответ: 0

Решение.

Прежде всего ясно, что в виде индекса обозначено основание системы счисления. Допустим, что для некоторого p равенство 112p + 2 = 1214p справедливо. Переведем оба числа равенства в десятичную систему — получим:

(p + 2)2 + (p + 2) + 2 = p3 + 2p2 + p + 4

или

p2(p + 1) = 4(p + 1).

Так как p + 1 отлично от 0, то p2 = 4, а p = 2. Так как в записи чисел равенства есть цифра 4, то p > 4, т.е. найденное значение p не подходит. Ответ — отрицательный.

Задача 5

Система команд исполнителя, который работает с положительными однобайтовыми двоичными числами, содержит две команды, которым присвоены номера:

Сдвинь вправо

Прибавь 4

Выполняя первую из них, исполнитель сдвигает число на один двоичный разряд вправо, выполняя вторую, - добавляет к нему 4.

Исполнитель начал вычисления с числа 191 и выполнил цепочку команд: 112112. Запишите результат в десятичной системе.

Решение.

При сдвиге вправо все биты числа в ячейке(регистре) сдвигаются на один бит вправо, в старший бит записывается нуль, а младший бит попадает в специальную ячейку – бит переноса, т. е. он теряется. Следовательно, если число четное, то при сдвиге мы получаем число в два раза меньшее исходного. Если число нечетное, - в два раза меньше ближайшего меньшего четного числа.

Поэтому при выполнении указанной в задаче последовательности команд(112112) мы получаем:

1: 191 перейдет в 95

1: 95 перейдет в 47

2: 47 перейдет в 51

1: 51 перейдет в 25

1: 25 перейдет в 12

2:12 перейдет в16

Ответ: 16

Задача 6

Логическое отрицание восьмиразрядного двоичного числа, записанное в десятичной системе счисления, равно 217. Определите исходное число в десятичной системе счисления.

Решение.

А=21710=27 + 26 + 24 + 23+20= 128+64+16+8+1=110110012

А=001001102=25 +22+ 21 =32+4+2=3810

Ответ: 38

Задача 7

Даны три числа в различных системах счисления : А=2310, В=238, С=1А16

Переведите А, В, С в двоичную систему счисления и выполните поразрядно логические операции:

(АVВ)  С

Ответ дайте в десятичной системе счисления.

Решение.

А=2310=101112

B= 238=100112

C=1A16=110102

АVВ=101112

(АVВ)  С=100102

100102=24+21=1810

Ответ: 18

Задача 8

Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-98) ?

Решение.

Переводим число 98 в двоичную систему счисления:

9810 = 64 + 32 + 2 = 26 +25 +21 = 11000102.

По условию, число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью восьми разрядов, добавляем впереди ноль:

9810 = 011000102.

Делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

011000102 100111012.

Добавляем к результату единицу:

100111012 + 12 = 100111102.

Это и есть число (-98) в двоичном дополнительном коде. В записи этого числа пять единиц.

Ответ. 5.

Задача 9.

Сколько единиц содержится в двоичной записи результата выражения:

(2 ˙ 1016)2048 + 82048 + 4512 – 4?

Решение.

Прекрасный повод повторить технологию «заема» из соседнего старшего разряда при невозможности вычитания, т.е. при вычитании большего числа из меньшего.

Представим выражение в виде:

(2 ˙ 1016)2048 + 82048 + 4512 – 4== (2˙x 24)2048 + (23)2048 +(22)512 – 22 = 210240 +26144 + 21024 – 22.

Значение полученного выражения в двоичной системе счисления представляет собой следующее: на 10241-м месте стоит 1, на 6145-м месте стоит 1, на 1025-м месте стоит 1, в остальных позициях двоичного числа стоят 0, и из полученного двоичного числа вычитается двоичное число 1002.

Так как при вычитании в двоичной системе счисления из нуля единицу мы занимаем в более старшем разряде, а именно в 1025-м, тогда единицы появляются с 1024-го по 2-й разряд:

1024 – 2 +1 + 2 + 1025.

Ответ. 1025.

Задача 10.

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Решение.

Способ простого перебора.

2310 = 101112 = 2123 = 1134 = 435 = 356 = 327 = 278 = 259 = 2111 = 1В12 = 1А13 = 1914 = 1815 = 1716 = 1617 = 1518 = 1419 = 1320 = 1221 = 1122 = 1023.

Оканчиваются на 2 числа в системах счисления по основаниям 3,7,21

Ответ: 3, 7, 21

Способ решения 2 по уравнению с параметром

Пусть х – основание системы счисления. Составим уравнение с параметром. Заметим, что, для того чтобы нечетное число в десятичной системе счисления заканчивалось цифрой, обозначающей четное число, необходимо, чтобы основание системы счисления было нечетным. Для числа 23 минимальное нечетное основание – 3. Переводя 23 в троичную систему счисления, получим три значащих цифры в числе.

а1˙ х2 + а2˙ х + 2=23

В данной ситуации числа а1 и а2 можно считать параметрами:

а1˙ х2 + а2˙ х + 2=23

а1 ˙х2 + а2˙ х =21

Вынесем за скобку х во втором уравнении:

х ˙ (а1˙ х + а2 ) =21

Произведение равно 21, если сомножители равны 7 и 3 или 3 и 7, 1 и 21, 21 и 1. Последний вариант мы не учитываем, так как унарная система счисления в школе не рассматривается.

Рассмотрим все варианты.

7 и 3:

а1˙ х + а2 =7 и х=3

а1˙ 3 + а2 =7

а1=2, а2=1

тогда 2123

3 и 7:

а1˙ х + а2 =3 и х=7

а1˙ 7 + а2 =3

а1=0, а2=3

тогда 327

1 и 21:

а1˙ х + а2 =1 и х=21

а1˙ 21 + а2 =1

а1=0, а2=1

тогда 1221

Ответ: 3, 7, 21