Материал опубликовала

Россия, Нижегородская обл., Павлово

#Открытый урок #8 класс #9 класс #10 класс #Математика #Методические разработки #Урок

Урок-лекция по тем "Прогрессии"

Конкурсная работа

Всероссийский конкурс для учителей математики на лучшую методическую разработку урока «Нестандартный урок математики»

Урок-лекция по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия»

Подробный конспект урока

Тип урока: урок-лекция.

Цели урока.

Учебные задачи урока:

Изучить прогрессию как математическую модель процессов реальной действительности. Дать определения арифметической и геометрической прогрессии, изучить свойства и способы их задания. Дать определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии, формулу суммы ее членов.

Диагностируемые цели:

В результате изучения урока ученик должен:

Знать:

- определение арифметической прогрессии,

- понятие разности арифметической прогрессии,

- формулу n-го члена арифметической прогрессии,

- определение геометрической прогрессии,

- понятие знаменателя геометрической прогрессии,

- формулу n-го члена геометрической прогрессии,

- способы задания арифметической и геометрической прогрессии,

- характеристическое свойство арифметической (геометрической) прогрессии.

Уметь:

- распознавать арифметические и геометрические прогрессии,

- находить неизвестный член арифметической и геометрической прогрессии.

Понимать:

- взаимосвязь членов арифметической прогрессии, разности и номера члена арифметической прогрессии,

- взаимосвязь членов геометрической прогрессии, разности и номера члена геометрической прогрессии,

- взаимосвязь между понятием арифметической и геометрической прогрессии и процессами реальной действительности.

Методы обучения: эвристическая беседа, метод УДЕ.

Форма обучения: фронтальная.

Средства обучения: традиционные, презентация, раздаточный материал (канва-таблица).

Структура занятия:

1. Мотивационно-ориентировочная часть (15 мин),

2. Операционно-познавательная часть (27 мин),

3. Рефлексивно-оценочная часть (3 мин).

Конспект урока

1. Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация

Задание 1.

1) 1, 4, 9, 16, …;

2) 3, 5, 7, 9, 11, …;

3) 4, 8, 16, 32, …;

4) –1, –1, –1, …;

5) –1, 2, –4, 8, –16, …;

6) 10, 9, 8, 7, 6, …;

Что изображено на слайде? (последовательности)

Определите для каждой последовательности, с помощью каких формул можно вычислить члены последовательности? (заполняем канву-таблицу)

1) 1, 4, 9, 16, …;	an = n2
2) 3, 5, 7, 9, 11, …;	an+1 = an + 2
3) 4, 8, 16, 32, …;	an+1 = an ∙ 2
4) –1, –1, –1, …;	an =-1
5) –1, 2, –4, 8, –16, …;	an+1 = an ∙ (-2)
6) 10, 9, 8, 7, 6, …;	an+1 = an + (-1)
	an =
	an+1 = an ∙

Давайте выделим группы последовательностей.

Есть ли среди этих формул однотипные? (да, 2 и 6; 3,5 и 8)

Какой общей формулой можно задать вторую и шестую последовательности? (an+1 = an + k, где k – константа)

Какой общей формулой можно задать третью, пятую и восьмую последовательности? (an+1 = an ∙k, где k – константа)

Какие группы у нас получаются? (1 – следующий член определяется через прибавление константы к предыдущему, 2 – следующий член определяется через умножение предыдущего на константу, 3 – другая формула)

Можно ли представить подобным образом последовательность под номером 4? (Да, an+1 = an + 0, an+1 = an ∙ (-1))

Мы можем отнести последовательность под номером 4 и к первой, и ко второй группе.

Распределите последовательности по группам.

1) 1, 4, 9, 16, …; (3)	an = n2
2) 3, 5, 7, 9, 11, …; (1)	an+1 = an + 2
3) 4, 8, 16, 32, …; (2)	an+1 = an ∙ 2
4) –1, –1, –1, …; (1,2,3)	an =-1
5) –1, 2, –4, 8, –16, …; (2)	an+1 = an ∙ (-2)
6) 10, 9, 8, 7, 6, …; (1)	an+1 = an + (-1)
(3)	an =
(2)	an+1 = an ∙

Такие последовательности, которые мы выделили, часто встречаются в жизни и используются при решении многих задач. Давайте рассмотрим задачу 1.

Мотивация

На доску проецируется таблица, состоящая из двух столбцов. В первой строчке слева задача, приводящая к арифметической, а справа – к геометрической прогрессии. Ученикам раздаются соответствующие таблицы. Осуществляется поэтапный анализ каждой из задач.

Задание 2.

Задача 1

Задача 2

Отдыхающий, по совету врача, загорал в первый день 10 минут, а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 минут. Сколько времени отдыхающий будет загорать в седьмой день своего отпуска?

Турист идет в гору. Так как он устает, его скорость снижается, и за каждый следующий час он проходит расстояние, в два раза меньшее, чем за предыдущий час своего пути. Какое расстояние пройдет турист за седьмой час, если за первый час он прошел 800 м?

Прочитаем условие задачи.

Что нам известно?

Первый день – 10 мин, каждый последующий день время пребывания на солнце увеличивается на 5 минут.

Первый час – 800 м, а в каждый последующий час пройденное за час расстояние уменьшается в два раза.

Что требуется найти в задаче?

Сколько времени отдыхающий будет загорать в седьмой день своего отпуска?

Какое расстояние пройдет турист за седьмой час?

Как будем решать задачу (прибавим к десяти пять шесть раз, умножим 800 на ½ 6 раз)

Что получим?

Ответ: в седьмой день отдыхающий будет загорать 40 минут

Ответ: за седьмой час турист пройдет 12,5 м

Назовите последовательность в соответствии с условием задачи.

10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; ...

800; 400; 200; 100; 50; 25; 12,5; ...

Укажите последующий, предыдущий члены последовательности. Чем они отличаются?

an+1 = an + 5

an+1 = an ∙ 1/2

К какой группе последовательностей мы можем отнести получившуюся последовательность? (к 1 (2)). Мы видим с вами, что в повседневной жизни встречаются последовательности первой (второй) группы.

Мы видим с вами, что из всех последовательностей выделяются особые виды числовых последовательностей. Поэтому сегодня на уроке мы должны изучить эти последовательности, дать им названия, рассмотреть их определения и свойства. Это цель нашего урока сегодня.

Обе эти последовательности называются прогрессиями.

Первый вид последовательностей называется арифметической, а второй геометрической прогрессией.

Записываем тему урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

2. Операционно-познавательная часть.

Историческая справка:

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.)

Само слово "Прогрессия", означающее "движение вперед", было введено римским автором Боэцием (VI век) и понималось в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.

Предлагается в таблицах слева написать "Арифметическая прогрессия", а справа "Геометрическая прогрессия". Всю работу школьники проделывают на доске и в таблицах одновременно для обеих прогрессий.

Запишем в таблицу рассматриваемые нами прогрессии и отношения между их членами.

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Попробуйте сами сформулировать определение арифметической (геометрической) прогрессии.

Заполните пропуски в таблице.

Определение

Числовая последовательность

a1, a2, …, an, … называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство an+1 = an + d, где d – некоторое число.

Число d называется разностью арифметической прогрессии.

d = an+1 – an.

Числовая последовательность

b1, b2, …, bn, … называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bn q, где bn ≠0, q – некоторое число, не равное нулю.

Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Вернемся к нашим задачам (дальнейшая работа сначала ведется с одной задачей, затем по аналогии с другой).

Чему равна разность прогрессии? (5) (Чему равен знаменатель прогрессии? (1/2))

Что еще кроме разности нам известно в задаче? (первый член прогрессии a1 = 10) (Что еще кроме знаменателя нам известно в задаче? (первый член прогрессии b1 = 800))

Как узнать седьмой член прогрессии? (по формуле зависимости последующего члена последовательности от предыдущего и разности (знаменателя))

Для того чтобы найти седьмой член последовательности, нам нужно проделать данную операцию 6 раз. А если бы нам требовалось найти двадцатый член прогрессии?

Согласитесь, это неудобно. Для облегчения данной задачи выведем формулу n-го члена прогрессии, который не зависит от значения предыдущего члена прогрессии.

В тетради:

Запишем первый член прогрессии, второй выразим через первый и т. д.

Формула n-го члена прогрессии

a1 = 10

a2 = 10 + 5 = 15

a3 = 10 + 5 = (10 + 5) + 5 = 10 + 2∙5 =20

…

b1 = 800

b2 = 800 ∙ 1/2

b3 = 800 ∙ 1/2 = (b1 ∙ 1/2) ∙ 1/2 = 800 ∙ 1/22

…

Какая закономерность прослеживается? (Усматривая закономерность, получаем формулу n-го члена прогрессии)

Как записать формулу n-го члена?

an = a1 + (n-1)d, n – натуральное

bn = b1 ∙ qn-1, n – натуральное, q≠0, b1≠0

Аналогичным образом можно вывести эту формулу в общем виде. Эти выводы вы можете посмотреть в учебнике.

В таблицах:

Формула n-го члена прогрессии
an = a1 + (n-1)d, n – натуральное	bn = b1 ∙ qn-1, n – натуральное, q≠0, b1≠0

Вернемся к вопросу задачи.

Ответим на первый вопрос задачи, используя формулу.

a7 =10 + (7-1)5 = 40

b7 = 800 ∙ (1/2)7-1 = 12,5

Как мы видим, ответы совпадают, но нашли мы их гораздо быстрее.

Возникает вопрос, почему их так назвали: арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия? Ответ на этот вопрос нам откроют свойства, которые являются для них характеристическими. Решим следующую задачу.

Задание 3

Задача 3	Задача 4
Петя заметил, что на первой полке стояло 2 книги, а на третий – 8. При этом на второй полке стояло число книг, равное среднему арифметическому числу книг с первой и третей полок. Сколько книг на второй полке?	Петя заметил, что на первой полке стояло 2 книги, а на третий – 8. При этом на второй полке стояло число книг, равное среднему геометрическому числу книг с первой и третей полок. Сколько книг на второй полке?

Решим эту задачу.

Как найти среднее арифметическое (геометрическое) двух чисел?

Запишите результат с данными числами в порядке возрастания.

Является ли последовательность из этих трех чисел арифметической (геометрической) прогрессией? (Да)

Докажите, что для членов прогрессии справедлива закономерность (доказательство проводится по вариантам, затем происходит обсуждение):

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.	Каждый член положительной геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

Доказательство:

an - an-1 = d;

an+1 - an = d;

an - an-1 = an+1-an

2an = an+1+an-1

bn/bn-1 = d;

bn+1/bn = d;

bn/bn-1 = bn+1/bn

bn2 = bn+1·bn-1

Это верно для любой геометрической прогрессии.

Для положительной прогрессии:

Так как bn-1 и bn+1 всегда принимают положительные значения, получаем

Данная закономерность называется характеристическим свойством.

Оказывается, верно и обратное утверждение:

Если каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

Если каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов, то эта последовательность является положительной геометрической прогрессией.

3. Рефлексивно-оценочная часть.

Итак, подведем итоги урока.

Какова была цель урока? (Изучить арифметическую и геометрическую прогрессии)

Достигли ли мы ее? (Да)

Что мы изучили? (Определения арифметической и геометрической прогрессии, формулу n-го члена прогрессии, характеристическое свойство, формулу суммы n первых членов прогрессии)