Определение арифметической прогрессии. Формула n – го члена арифметической прогрессии.

Учитель: Объясните, как вы понимаете, что такое последовательность.

Ученик: Последовательность – это числовой ряд, заданный некоторой формулой или правилом.

Учитель: Приведите примеры последовательности.

Ученик: а) последовательность четных положительных чисел 2,4,6,8…

               б) последовательность нечетных положительных чисел 3,5,7…

               в) дроби с числителем 1 в порядке убывания ½,1/3, ¼,1/5….

Учитель: Какими могут быть последовательности?

Ученик: Последовательности могут быть конечными и бесконечными.

Учитель: Как называются числа образующие последовательность?

Ученик: Числа, образующие последовательность называются членами последовательности.

Учитель: Ребята, на экране домашняя работа, выполненная учеником нашего класса. Необходимо проверить, верно ли он выполнил задание.

№562( все верно)

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.

а20= 400,  а40 = 1600,  аn = n2.

№565(г)

хn = (-1) n + 1 * 2

х1 = (-1) 1 + 1 * 2 = -12 * 2 = -2 (неверно, получится 2)

х2 = (-1) 2 + 1 * 2 = (-1)3 * 2 = -2 (верно)

х3 = (-1) 3+ 1 * 2 = (-1)4 * 2 = -2 (неверно, получится 2)

х4 = (-1) 4 + 1 * 2 = (-1)5 * 2= -2(верно)

х5 = (-1) 5 + 1 * 2 = (-1)6  * 2 = 2 (верно)

х6 = (-1) 6 + 1 * 2 = (-1)7 * 2 = -2 (верно)

№566

bn = 2n2 + 3n

b5 = 2 * 52 +3 * 5 = 50 + 15 = 65 (верно)

b10 = 2 * 102  + 3 * 10 = 200 + 30 = 230 (верно)

b50 = 2 * 502 + 3 * 50 = 500 + 150 = 650 (неверно, 5000+150=5150)

№569(г)

а1 = 3, аn = аn-1

а1 = 3, а2 = -3, а3 = 3, а4 = -3, а5 = 3 (неверно 3; 1/3; 3;1/3; 3; 1/3)

III. Изучение нового материала.

На доске плакат с высказыванием:

Куда стремится человек?

Изучены космос и море,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков

 зовет известный лозунг:

«Прогрессио – движение вперёд!»

Учитель: Эти слова, ребята, написаны не случайно. Мы начинаем изучать одну из интереснейших тем алгебры «Арифметическая прогрессия». Сегодня на уроке мы познакомимся с определением арифметической прогрессии, формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Учитель: ребята, а где мы уже встречали задания со словами «арифметическая прогрессия».

Ученик: Мы встречали такие слова в сборнике заданий для подготовки к экзамену.

 Учитель: Верно, эта тема включена в экзамен, значит, отнестись к ней надо очень серьезно.

Учитель: А сейчас посмотрите на экран, здесь приведены последовательности. Назовите номера последовательностей, которые можно объединить в одну группу.(1,3,4)

1)1; 3; 5; 7; 9…

    2)6; 12; 24; 48; …

3)2; 7; 12; 17…

       4)-16; -13; -10; -7…

  5) 50; 25; 5; 1…

Учитель: По какому признаку вы их объединили?

Ученик: Каждый следующий член последовательности больше предыдущего на одно и то же число.

Учитель: Такие последовательности называются арифметической прогрессией. Сделайте вывод: какая последовательность называется арифметической прогрессией?

Ученик: Арифметической прогрессией  называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Учитель: Значит, в арифметической прогрессии выполняется условие

аn + 1 = аn  + d

Учитель: Посмотрим на арифметические  прогрессии, чему равно d?

Ученик: d = 2

Учитель: Как вы его нашли?

 Ученик: Из следующего члена отняли предыдущий (аналогично с 3 и 4)

Учитель: Это правило можно записать в виде формулы

d = аn+1 - аn

d – называют разностью арифметической прогрессии.

Учитель: Проверим, какие из следующих конечных последовательностей являются арифметическими прогрессиями.  В арифметической прогрессии указать а1 и d.

Учитель: Какое условие должно выполняться?

Ученик: разность арифметической прогрессии должна быть постоянна.

а) 1;4;7;10;   а2 – а1 = 3     разность постоянна, значит последовательность

                      а3 –  а2 = 3      является арифметической прогрессией.

                      а4 – а3  = 3      а1 = 1, d = 3

б) 1;4;15;18;   а2 – а1 =  3 разность не постоянна, значит последовательность

                        а3 – а2 = 11  не является арифметической прогрессией.

в) 1;-1;-3;-5;   а2 – а1 = -2      разность постоянна, значит последовательность

                        а3 –  а2 = -2          является арифметической прогрессией.

                        а4 – а3  = -2      а1 = 1, d = -2

г) 4;4;4;4;     а2 – а1 = 0       разность постоянна, значит последовательность

                      а3 –  а2 = 0             является арифметической прогрессией.

                       а4 – а3  = 0      а1 = 4, d = 0

Учитель: Какой вывод из этих прогрессий можно сделать?

Ученик: Можно сказать, что если разность арифметической прогрессии положительна, то прогрессия  возрастает, отрицательна – убывает, разность равна нулю – постоянна.

Учитель: Это хорошо видно на графиках.(звуковой слайд)

Учитель: Ребята, как вы думаете, что необходимо знать, чтобы найти любой член арифметической прогрессии.

Ученик: Необходимо знать а1  и d.

Учитель: В арифметической прогрессии известны  а1  и d.. Найти а2, а3, а4, а5, а100.

Дано: (аn) - арифметическая прогрессия, а1  и d.

Найти: а2, а3, а4, а5, а100.

Решение: а2 =  а1 + d;

                 а3 = а2  + d = а1 + d + d = а1 + 2d;

                 а4 = а3 + d = а1 + 2d + d = а1 + 3d;

                 а5 = а4 + d = а1 + 3d + d = а1 + 4d;

Учитель: Какую закономерность вы увидели?

Ученик: Число перед d на 1 меньше номера.

                  а100 = а1  + 99 d

Учитель: Как бы вы записали формулу для нахождения n – го члена арифметической прогрессии.

Ученик:   аn = а1 + d(n – 1)

Учитель: Решим задачу «курс воздушных ванн начинают с 15 минут в день и увеличивают время приема на 10 минут ежедневно. Сколько времени будет длиться процедура на пятый день?»

Дано: (аn) - арифметическая прогрессия, а1 = 15,  d = 10.

Найти: а5.

Решение: а5 = а1 + 4 d

                 а5 = 15 + 4 * 10

а5 = 55

Ответ: на пятый день процедура будет длиться 55 минут.

Учитель: Ребята, кто разобрался в данной теме, садятся за компьютеры для выполнения теста.

Компьютерный тест.

№1 Найти первые  пять членов арифметической прогрессии 4; -12…

а) 4;-12; -26; 41; 18;   б) 4;-12;-28;-44;-60; 

 в) 4;-12; -22;-38;-49;  г) 4;-12;4;-12;4

№2 Найдите первый член арифметической прогрессии, двенадцатый член которой равен 5, а разность арифметической прогрессии -3.

а)16    б) 46    в) 52   г)38

№3 Найти разность арифметической прогрессии, если  а1 =16, а8 = 37.

а) 5  б)3  в)7   г)14

№4 В арифметической прогрессии (b n) b1 = -0,8 и d = 4. Найти b17.

а)63,2  б)36,2  в)17,5  г) 23,4

№5 В арифметической прогрессии (хn) х1 = 14 и d = 0,5. Найти номер члена прогрессии равного 19.

а)6   б) 12   в)9   г)64

Учитель: Остальные ребята выполняют самостоятельную работу обучающего характера.

В – 1  №577(а), №578(а), №580(а)

В – 2  №577(б), №578(б), №580(б)

IV. Рефлексия

Ученики отвечают на вопросы:

    Что нового я узнал на уроке?

    Понял ли я тему?

    Каков мой вклад в урок?

    Что мне необходимо для того, чтобы хорошо владеть темой?

    С каким чувством я покидаю урок?

V. Домашнее задание.

1 уровень: стр. 141, 142 правила, №575(а,в), №576(а,в,д), №579(а),№599

2 уровень: стр. 141, 142 правила, придумать задачи по новой теме, решить их и приготовить презентации к ним.