Алгоритмы математических действий (математика 5-7 класс)

Чтобы научить детей самостоятельно учиться и проявлять творчество необходимо применение деятельностного подхода в обучении. Для этого учащихся нужно замотивировать и обучить их приемам и способам учебной деятельности, которые помогут сформировать необходимые знания, умения и навыки.

Применение алгоритмов при изучении математики способствуют умственному развитию и формированию логического мышления.  Знание алгоритмов помогает избежать многих ошибок.

Алгоритм - одно из основных математических понятий. Слово «АЛГОРИТМ» происходит от имени узбекского математика Хорезми (поарабски ал-Хорезми), который в 1Х веке до нашей эры разработал правила четырёх арифметических действий над числами в десятичной системе счисления. Совокупность
этих правил в Европе стали называть «алгоритм». В последствии это слово сделалось собирательным названием отдельных правил определённого вида (и не только правил арифметических действий). 

Алгоритмы арифметических действий:

Умножение числа на произведение (сочетательное свойство умножения)

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, нужно

1. Умножить его на первый множитель,

2. Полученное произведение умножить на второй множитель.

Вычитание суммы

Для того чтобы вычесть сумму из числа, нужно в

1. Вычесть из этого числа первое слагаемое,

2. Из полученной разности – второе слагаемое;

Вычитание числа из суммы
Чтобы из суммы вычесть число, нужно

1. Вычесть его из одного слагаемого,

2. К полученной разности прибавить второе слагаемое.

Умножение числа на произведение (сочетательное свойство умножения)

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, нужно

1.  Умножить его на первый множитель,

2.  Полученное произведение умножить на второй множитель.

Умножение суммы на число (распределительное  свойство умножения относительно сложения)
Для того чтобы умножить сумму на число, нужно

1. Умножить на это число каждое слагаемое

2.  Сложить получившиеся произведения.

Умножение разности на число (распределительное тельное свойство умножения относительно вычитания)
Для того, чтобы умножить разность на число, нужно

1. Умножить на это число сначала уменьшаемое,  потом вычитаемое

2. Из первого произведения вычесть второе.

Алгоритмы нахождения компонентов:

Нахождение неизвестного слагаемого

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно их суммы вычесть известное слагаемое.

Нахождение неизвестного уменьшаемого

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно сложить вычитаемое и разность.

Нахождение неизвестного вычитаемого
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть и разность.

Нахождение неизвестного множителя
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Нахождение неизвестного делимого
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Нахождение неизвестного делителя
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Решение задач с помощью уравнения

Чтобы решить задачу, нужно
1. Прочитать внимательно условие задачи;
2. Записать кратко условие задачи, записав все величины (единицы их измерения) , названные в задаче, установив связи и зависимости между ними;
3.Выбрать неизвестное задачи;
4. Выразить остальные величины задачи, установить связи их с неизвестным задачи;
5. Составить уравнение задачи, обосновав его условием задачи;
6. Решить уравнение;
7. Сделать проверку;
8. Выписать ответ.

Алгоритмы выполнения порядка математических  действий

1. Если в выражении нет скобок, и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
2. Если выражение содержит действия первой (сложение и вычитание) и второй (умножение и деление) ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, а потом – действия первой ступени.
3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

                                 Алгоритмы действий с обыкновенными дробями

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями,  нужно сравнить числители данных дробей. Больше та дробь, у которой числитель больше.

Сокращение дробей

Для того чтобы сократить дробь необходимо и числитель и знаменатель дроби разделить на их общий делитель, не равный  1.

Сложение и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить / вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно

1.  Сложить/ вычесть  их   числители

 2. знаменатель оставить  тот же;

Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю нужно:
1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их  общим знаменателем;
2. Найти для каждой дроби дополнительный множитель , т.е.разделить наименьший общий множитель на знаменатели данных дробей ;
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель и записать в числители новых дробей;

Сложение и вычитания дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть две дроби с разнвми  знаменателями, нужно :

1) Привести дроби к общему знаменателю (по алгоритму  приведения дробей к общему знаменателю)

4)  сложить  или вычесть  дроби с одинаковыми знаменателями (по алгоритму сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями)

Представление смешанного числа в виде неправильной дроби

Чтобы перевести мешвнное число в неправильную дробь, нужно

1. Умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. Записать полученную сумму в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.

Умножение обыкновенных дробей

Чтобыумножить две обыкновенных дроби, нужно 

1.Выполнить сокращение дробей, если возможно;

2. Числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и записать полученное произведение в числитель новой дроби;

3. Знаменательм первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и записать полученное произведение в знаменатоль  новой дроби ;

Деление обыкновенных дробей

Чтобы разделить двк дроби, нужно:

1.   Первую дробь переписать без изменений,

2. Заменить знак деления на умножение;

3. Записать дробь, обратную делителю, т.е.  вторую дробь переворачиваем, меняя местами числитель и знаменатель дроби;

4. Выполняем умножение дробей (по алгоритму умножения дробей).

Сложение смешанных чисел

Чтобы сложить смешвнные числа, нужно

1. Сложить  целые части ,

2. Сложить дробные  части ;

3. Если получилась неправильная дробь то выделить целую часть из полученной дробной части 

4. Сложить целые части

Вычитание смешанных чисел

Чтобы вычесть смешвннные числа, нужно

1. Вычесть  целые части;

2.  Вычесть  дробные части;

3. Если дробная  часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то занять  из целой части 1, увеличивая числитель первой дроби на  число, равное знаменателю

4. Выполнить  вычитание дробной части.

Умножение смешанных чисел

Чтобы умножить смешанные числа, нужно:

1. Перевести  смешанные числа в неправильные дроби ( если один ихз сомножителей целое число, то представитьего  как дробь со знаменателем 1)

2. Умножить  по правилу умножения обыкновенных дробей.

Деление смешанных чисел

Чтобы разделить смешанные числа, нужно

1.   Перевести  смешанные числа в неправильные дроби ( если один ихз сомножителей целое число, то представитьего  как дробь со знаменателем 1)

2. Разделить  по правилу деления обыкновенных дробей.

Нахождение  дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, нужно  умножить число на эту дробь

Нахождение числа по его дроби

Чтобы найти число по значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.

Алгоритмы действий с десятичными дробями

Сложения (вычитания) десятичных дробей

Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:
1. уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;
2. записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;
3. выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;
4. поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Округление десятичных дробей

Чтобы округлить десятичную дробь, нужно:

1. Найти цифру разряда, до которого нужно выполнить округление;

2. Увеличить ее на 1, если первая отбрасываемая  или замененная нулём цифра равна 5, 6,7, 8, 9;

3. Оставить ее без изменения, если первая отбрасываемая  или замененная нулём цифра равна 0, 1, 2, 3, 4.

Умножение десятичной дроби на натуральное число

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно:
1. Умножить её на это число, не обращая внимания на запятую;
2. В полученном произведении отделить запятой столько цифр справа , сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000, ….

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, … нужно перенести  в этой дроби  запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Деление десятичных дробей на натуральные числа

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:
1. Разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
2. Поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, ….

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …нужно перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно:
1. Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;
2. Посчитать количество цифр в обоих множителеях, стоящих после запятой;

3. Отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе;
3. Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то дописать впереди недостающее количество  нулей.

Умножение числа на 0,1; 0,01, 0,001 …

Для того чтобы умножить десятичную дробь  на 0,1; 0,01, 0,001 нужно :
перенести запятую влево  на столько цифр, сколько нулей стоит в множителе  перед единицей (т.е. разделить на 10, 100, 1000...).

Деление числа на десятичную дробь

Для того чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно:
1. В делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;
2. Выполнить деление по правилу деления на  натуральное число.

Деление числа на 0,1; 0,01, 0,001

Для того чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01, 0,001…, нужно:
перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько  нулей стоит в делителе перед единицей ( то есть умножить её на 10, 100, 1000).

Нахождение среднего арифметического

Чтобы найти  среднее арифметическое нескольких чисел, нужно:
1.Найти сумму этих чисел;
2. Разделить полученную сумму на количество  слагаемых;
3. Записать частное в ответ.

Перевод десятичной дроби в проценты :

Чтобы перевести  десятичную дробь в проценты нужно умножить дробь на 100.

Перевод процентов в десятичную дробь

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Признаки делимости

Признак делимости на 10

Если натуральное число оканчивается цифрой 0, то это число делится  на 10 без остатка.

Признак делимости на 5
Если натуральное число оканчивается цифрами 0 и 5, то это число делится  на 5 без остатка.

Признак делимости на 2
Если натуральное число оканчивается четной цифрой (2, 4, 6, 8) или нулем,  то это число четно и делится  на 2 без остатка.

Признак делимости на 3
Если сумма цифр в записи натурального числа  делится на 3, то и число делится на 3.

Признак делимости на 9

Если сумма цифр в записи натурального числа делится на 9, то и число делится на 9.

Признак делимости на 4

На 4 делятся те и только те числа, две последние цифры которого образуют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 6

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3. 

Признак делимости на 12

Чтобы число делилось на 12, надо, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

И так далее, так можно составить правила деления и на другие числа.

Разложение на простые множители

Нахождение НОД (наибольшего общего делителя)
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, нужно :
1. Разложить их на простые множители;
2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3. Найти произведение оставшихся множителей.

Нахождение НОК (наименьшего общего кратного)
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, нужно:
1. Разложить их на простые множители;
2. Выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3. Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4. Найти произведение оставшихся множителей.


Арифметические действия с положительными и отрицательными числами

Сложение отрицательных чисел

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно:
1. Сложить их модули;
2. Поставить перед полученным числом знак « - »..

Сложение чисел с разными знаками

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно:
1. Найти слагаемое с большим модулем

2. Из слагаемого с  большим  модулем  вычесть  слагаемое с меньшим модулем;
3. Поставить перед полученным числом знак того слагаемого , модуль которого больше.

Умножение чисел с разными знаками

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, нужно:
1. Перемножить модули этих чисел;
2. Поставить перед полученным числом знак « - ».

Умножение отрицательных чисел

Чтобы перемножить два  отрицательных числа, нужно перемножить их модули.

Деление отрицательного числа на отрицательное

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, нужно  разделить модуль делимого на модуль делителя.

Деления чисел с разными знаками

При делении чисел с разными знаками, нужно :
1. Разделить модуль делимого на модуль делителя;
2. Поставить перед полученным числом знак « - ».

Раскрытие скобок

а) Чтобы раскрыть скобки  перед которыми  стоит знак «+», нужно 

1. Опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

2. Перед   первым слагаемым  в скобках записать  знак «+».

б) Чтобы раскрыть скобки  перед которыми  стоит знак « - », нужно 

1. Заменить этот знак на « + », поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные,

2. Раскрыть скобки (по правилу а).

Решение линейных уравнений

Чтобы решить линейное уравнение нужно:  

1)  Если есть скобки, раскрыть их по правилу раскрытия скобок;

2)  Выражения с переменной  перенести  в левую часть уравнения , без переменной в правую, меняя знак у числа.

3)  Выполнить вычисления в каждой части уравнения и  получить  уравнение вида  ах = в

4)  Найти  неизвестное, разделив правую часть равенства на числовой коэффициент из левой части   х= в : а.

5) Записать  ответ. 

Алгоритмы действий над одночленами

Запись одночлена в стандартном виде

Чтобы записать одночлен в стандартном виде, нужно: 

1. Найти  произведение всех числовых множителей  одночлена и запись его на первом месте.

2. Записать все переменные, входящие в одночлен,   в алфавитном порядке в виде их стереней  и только один раз.

Умножение одночленов.

Чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно:

1. Отдельно умножить их коэффициенты

2. Отдельно умножить буквенные части одночленов (по свойсвам степеней с одинаковыми основаниями).

Возведение одночлена в степень.

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно:

1. Возвести в эту степень числовой коэффициент;

2. Возвести в эту степень буквенную часть одночлена, применив свойство возведения произведения в степень и  свойство возведения степени в степень. 

Алгоритмы действий над многочленами

Запись многочлена в стандартном виде

Чтобы записать многочлен в стандартном виде, нужно:

1. Записать все члены многочлена в стандартном виде.

2. Привести подобные слагаемые.

3. Определить степень каждого одночлена и записать их в алгебраическую сумму в порядке убывания степеней.

Сложение и вычитания многочленов

Чтобы найти алгебраическую сумму многочленов, нужно:

1. Записать их в скобках и расставить знаки

2. Раскрыть скобки следующим образом: если перед скобкой стоит знак плюс, то знаки членов многочлена не меняются, если перед скобкой стоит знак минус, то знаки членов многочлена меняются на противоположные

3. Привести  получившийся многочлен к стандартному виду.

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно:

1. Умножить этот одночлен на каждый член многочлена

2. Полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно:

1. Каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена

2. Полученные одночлены сложить, предварительно приведя их в стандартный вид

Алгоритмы применения формул сокращенного умножения

Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения

Возведение в куб суммы и разности двух выражений.

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.  

Умножение разности двух выражений на их сумму

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Разложение разности квадратов на множители

Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.

Разложение на множители суммы и разности кубов

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Выражение можно разложить на множители различными способами:

Вынесение общего множителя за скобки

Чтобы вынести общий множитель за скобки нужно :

1. Найти число, на которое делятся без остатка числовые коэффициенты каждого одночлена.

2. Найти буквенные множители, которые повторяются в каждом одночлене.

3. Вынести их за скобку в наименьшей степени.

4. В скобках записать оставшиеся части  многочленов. Если одно из слагаемых оказалось равно общему  множителю, то в скобках на его месте остается 1).

Использование формул сокращённого умножения

a²−b²=(a−b)(a+b) (разность квадратов)

a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) (разность кубов)

a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²) (сумма кубов)

a²+2ab+b²=(a+b)² (квадрат суммы)

a²−2ab+b²=(a−b)² (квадрат разности)

Способ группировки

1. Объединить  члены  многочлена в группы, имеющие общий множитель, и вынести  из каждой группы общий  множитель (в одной из групп общего множителя может и не быть).

2) Вынести  полученный  общий  для всех групп множитель за скобки.

Комбинированный способ

Чтобы разложить многочлен на множители, нужно :

1. Вынести общий множитель за скобку. ( Если он есть);

2. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам   сокращенного умножения

3. Попытаться  применить способ группировки (если п. 1 и 2 не применимы).

Алгоритм построения графика функции у=кх и у=кх+в.

1. Отметить на координатной плоскости Оху точку О с координатами (0;0).

2. Выбрать некоторые  значения  х1 (достаточно два значения).

3. Вычислить значения  у1 , соответствующие значениям х.

4. Отметить на координатной плоскости Оху точку О и точки  с координатами (х1;у1).

5. Через эти точки  провести прямую.