Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Методическая разработка урока по алгебре

«Характеристическое свойство геометрической прогрессии»

Организация: МБОУ «Поселковская средняя школа №1» Атяшевского муниципального района Республики Мордовия

Учитель математики Шалунова Юлия Петровна

Класс: 9

Тип урока: изучение нового материала

Цели урока:

Образовательные: вывести характеристическое свойство геометрической прогрессии, научиться его применять при решении задач;

Развивающие: формирование учебных компетентностей (умения анализировать, умения обобщать);

Воспитательные: развитие самостоятельности, умения общаться.

Задачи урока:

- сформулировать определение геометрической прогрессии;

- познакомиться с понятием «знаменатель» геометрической прогрессии;

- вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии;

- применять на практике полученные знания.

Планируемые образовательные результаты

Предметные:

- уметь применять индексные обозначения;

- распознавать арифметическую прогрессию и геометрическую прогрессию при разных способах задания, устанавливать закономерность, если даны несколько ее первых членов;

- вычислять члены последовательностей, заданных формулой n-го члена или рекуррентной формулой;

- уметь анализировать текстовые задачи;

- грамотно применять математическую терминологию и символику;

- уметь применять формулы арифметической и геометрической прогрессии;

Метапредметные:

Познавательные УУД

– составлять схемы определения понятия, подведение под понятие;

- постановка и решение проблемы при составлении задачи;

– проводить сравнение,

- проводить обобщение,

– проводить анализ;

– выбирает задачи в соответствии с целью;

– проводить дедуктивные рассуждения (от правил к примеру);

Регулятивные УУД

– уметь формулировать цель учебной деятельности;

- осуществляет самоконтроль;

- осуществлять самопроверку с использованием образцов, приёмов;

- оценивать свою итоговую деятельность по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями;

– осуществлять контроль, оценку и коррекцию;

- уметь контролировать процесс и результат учебной деятельности

Коммуникативные УУД

- организовывать взаимоконтроль, взаимопроверку и др. на всех этапах учебно-познавательной деятельности по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием;

– уметь делать выбор;

- уметь ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи.

Личностные:

– самоопределение;

– рефлексия собственной деятельности;

– понимание значение умений для решения задач на геометрическую прогрессию;

- способность к эмоциональному восприятию математических объектов;

- креативность мышления, инициатива, находчивость, активность;

- готовность и способность обучающихся к саморазвитию и личностному самоопределению.

Технология обучения - системно-деятельностного типа

Методы обучения - частично-поисковый, объяснительно-иллюстративный, проблемно-поисковый

Средства обучения - учебник, презентация,работа на платформе Учи.ру

Используется учебно-методический комплект: Учебник- Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова Л.Б., Алгебра-9

Дидактические материалы . Москва, «Просвещение», 2014. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева, Алгебра-9.

ХОД УРОКА

Актуализация знаний

Учитель: Рассмотрите записи на доске. Являются ли данные последовательности чисел арифметической прогрессией или геометрической прогрессией?

-3,5;-7;-10,5;…; ? ; -17,5; …

-4;-8;-16;…;?; … Какой знак будет иметь 165 член?

4;-12;36;-108;… Какой знак имеет член последовательности, стоящий на 128 месте?

3;1;1/3;?; …

Ученик: Первая последовательность – арифметическая убывающая прогрессия, первый член которой равен -3,5, разность равна –3,5. Для данной последовательности можно найти любой ее член, используя формулу n члена или характеристическое свойство арифметической прогрессии «каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.» Ответ х= -14.

Ученик: Вторая последовательность – геометрическая монотонно убывающая прогрессия, первый член которой равен -4, знаменатель равен 2>0, 2>1. Сто шестьдесят пятый член будет отрицательный, т.к. q >1.

Ученик: Третья последовательность – геометрическая прогрессия, первый член которой равен 4, знаменатель равен -3<0,знаки чередуются. На сто двадцать восьмом месте находится число 324 .

Ученик: Четвертая последовательность – геометрическая убывающая прогрессия, первый член которой равен, знаменатель  равен 1/3. Для данной последовательности можно найти любой ее член, используя формулу n члена. Четвертый член равен 1/9.

II. Постановка проблемы

Учитель: Обобщая сказанное, подумайте и скажите существует ли правило, помогающее другим способом определить энный член геометрической прогрессии?

Ученик: Нужно  вывести новые свойства геометрической прогрессии.

III. Изучение нового материала

Учитель: Итак, запишем тему урока. Чтобы вывести характеристическое свойство  каждый из вас должен  последовательно выполнить ряд заданий.

Задание 1

1.Рассмотрите три члена геометрической прогрессии, следующие друг за другом в,в,в.

2.Выразите в и в через в и q.

3.Перемножьте полученные равенства.

4.Выразите из полученного равенства в.

Задание 2

1.Возведите в квадрат обе части равенства =.

2.Разделите полученное равенство на в в.

3.Проанализируйте полученное равенство. Что оно означает?

Вывод: модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов.

Учитель: где мы еще встречались с понятием среднее геометрическое?

Ученик: при нахождении высоты, проведенной из вершины прямого угла и его катетов в прямоугольном треугольнике.

Задание для самоконтроля:

Найдите члены геометрической прогрессии (b), обозначенные буквами

b; -8; b; - 2; b; -, если известно, что все они отрицательны.

Решение.

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии

= = = 4, b= -4.

== =1, b= -1.

q = b: b= - 4: (-8) =

b= b: q = -8 : = -16.

Ответ: b= -16, b= - 4,b= -1.

IV. Закрепление

Учитель: Используя платформу Учи.ру выполните задания, используя  характеристическое свойство геометрической  прогрессии.

Задания вида:

b=4,b=16. Найти b(b>0).

Найти те значения  переменной t, при которых числа t, 4t, 8 являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Результаты выводятся на слайд.

Учитель: геометрическая прогрессия встречается не только в алгебре, но и в других школьных предметах:

- в биологии: как мы уже увидели деление бактерий в благоприятных для них условиях происходит по закону геометрической прогрессии, а также размножение одуванчиков, кроликов, птиц, млекопитающих в благоприятной для них среде происходит по закону геометрической прогрессии;

- в физике: ядра урана при ударе об нейтрон делятся по закону геометрической прогрессии.

- в химии: при повышении температуры по закону геометрической прогрессии скорость химических реакций растет в геометрической прогрессии.

- в повседневной жизни:

Решим задачу:

Необходимо положить в банк 10000 рублей. Известно, что первый банк предлагает 20% годовых, а второй банк - 3% ежемесячно. Условие вкладов: сумма не снимается и не пополняется в течение года. Какой банк выбрать?

12

Банк 1: 10000·1,2=12000 рублей будет через год

Банк2: S12= 10000·1.03=14257рублей.

Ученик: Второй банк предлагает более выгодные условия.

V. Рефлексия

Учитель: С чем познакомились на уроке?

Ученик: С  характеристическим свойством геометрической  прогрессии.

Учитель: Имеют ли данное свойство практическое применение?

Ученик: Да. При решении некоторых заданий невозможно обойтись без изученных сегодня свойств.

Учитель: В каких случаях применяются изученные свойства?

Ученик: При нахождении неизвестных членов прогрессий, при составлении прогрессий с заданными соотношениями между ее членами.

Учитель: Я надеюсь, что знания, полученные на уроке, вам обязательно пригодятся в дальнейшей жизни. Желаю, чтобы вы выбрали такую профессию, которая оплачивалась бы так, чтобы у вас возникала проблема, в какой банк и под какие проценты вложить деньги!

VI. Домашнее задание

№  631(б), №  628(а), или заменить один номер составлением задания для устной работы по изученной теме.