Методические рекомендации к решению уравнений с параметрами

Прием «Корзина» идей, понятий, имен…

Задача 1.11. Перечислить все, что вам известно про касательную, проведенную к графику функции в точке . (Работа в группе, представление информации на листах А4 маркером).

Это прямая, которую можно задать, например, с помощью углового коэффициента.

Касательную можно задать в общем виде:

Если – касательная к графику функции в точке , то

Если возрастает в окрестности точки ,

если убывает в окрестности точки ,

если достигает экстремума в точке .

Учащиеся получили на данный урок Д/З:

Прием «заготовки» Д/З на урок и метод дифференцированного обучения

Решить задачу 1) и на выбор одну из зада 2)-7).

1). Решить уравнение тремя способами (2 балла)

2). Построить график функции (2 балла)

3). Построить график функции (2 балла)

4). Построить график функции (2 балла)

5). Построить график функции (3 балла)

6). Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение на промежутке имеет 1 корень. (3 балла)

7). (экзамен ЕГЭ 2012) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение на промежутке имеет более двух корней. (4 балла)

Метод мозгового штурма, технология групповой работы (работы в группе 4 учащихся с представлением результатов на листе А4 маркером).

Проверка домашнего задания. 1).

1 способ.

А).

Ответ:

1 способ. Б).

Ответ:

Метод применения ИКТ  выполнение домашних заданий;  использование компьютера для построения графиков (программа «Graph»), что позволяет учащимся проверить правильность решения, а также во многих ситуациях прогнозировать результат.

2 способ. А).
Ответ:

2 способ. Б).

Ответ:

2 способ. В).

Ответ:

2 способ. Г).

Ответ:

2 способ Д).

Ответ:

Итак, решая уравнения графическим способом, получили пять вариантов решения уравнения.

Толстый вопрос: Установите закономерность в полученных графиках.

Тонкий вопрос: Какова зависимость между решаемыми уравнениями и полученными графиками? (Прямая, входящая в формулу уравнения как правая или левая его часть, - касательная к параболе, задаваемой уравнением).

Тонкий вопрос: Можем ли мы решить каждое уравнение, используя свойства касательной, проведенной к параболе? Значит, напрашивается еще один способ решения заданного уравнения.

Толстый вопрос: Какое свойство из «Корзины» идей, понятий, имен… применим?

 

Составление опорной схемы.

Решим домашнее задание 1) используя геометрический смысл производной.

1.Значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной, значение производной в точке касания равен 1, (Определить угловой коэффициент прямой-касательной).

2.Производная функции равна (Найти производную функции).

3. Составим уравнение откуда получаем ответ: (Геометрический смысл производной в точке:, где – точка касания. Приравнять угловой коэффициент прямой к производной функции и, решив полученное уравнение, записать ответ).

Ответ:

Методический приём «комментируемое управление», приём «Вопросы к тексту», прием «Тонких» и «Толстых» вопросов.

Решим задачу. К доске приглашается учащийся по желанию. Отработаем выработанный алгоритм решения задачи.

Тонкий вопрос: Согласны ли вы, что к данной задаче можно применить выработанный алгоритм?

Тонкий вопрос: Достаточно ли данных в задаче для её решения? Уточните, каких данных не хватает?

Тонкий вопрос: Что нужно найти?

Тонкий вопрос: Каким свойством прямых необходимо воспользоваться, чтобы определить угловой коэффициент прямой-касательной?

Задача 1.11. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

24. 1. Так как касательная параллельна прямой , их угловые коэффициенты равны .

       Производная функции

       Составим уравнение Геометрический смысл производной в точке:, где – точка касания.

Решим уравнение: , откуда .

Ответ: .

Технология групповой работы (работа в парах), методика «Взаимообмен заданиями», приёмы обработки графической и текстовой информации, приём «смыслового чтения и работа с текстом», технология развития критического мышления, прием «Тонких» и «Толстых» вопросов.

Задача 2.11.1 и Задача 2.11.2

Задача 2.11.1 Прямая является касательной к графику функции

. Найдите значение параметра .

Задача 2.11.2 Прямая является касательной к графику функции

. Найдите значение параметра .

«Вызов»: Тонкий вопрос: Достаточно ли данных в задаче для её решения? (восприятие текста, поиск информации и понимание прочитанного).

Толстый вопрос: Можно ли применить выработанный алгоритм?

Толстый вопрос: С какой проблемой столкнулись? (извлечение смысла, преобразование и интерпретация текста).

«Осмысление»: Толстый вопрос: Что нужно сделать, чтобы решить эту проблему? (Обратиться в «Корзины» идей, понятий, имен… или найти другой выход), (оценка полученной информации, сопоставление с условием).

Задача 2.11.1 и Задача 2.11.2

Задача 2.11.1 Прямая является касательной к графику функции

. Найдите значение параметра .

Решение.

Воспользуемся условием касания графика функции и прямой :

Ответ:

Задача 2.11.2 Прямая является касательной к графику функции

. Найдите значение параметра .

Решение.

Воспользуемся условием касания графика функции и прямой :

Ответ:.

Итак, какими способами мы пользовались, решая уравнения?

Аналитически: используя геометрический смысл производной, уравнение касательной-прямой с угловым коэффициентом.

Графически.

Эффективным приёмом является работа в группах над творческим заданием. Его можно применять в основной части занятия. Работа в группе формирует умения слышать друг друга, высказывать собственное мнение, находить компромиссы,  работать в команде и проявить лидерские качества. Все эти умения очень важны не только для профессиональной деятельности, но и для любой жизненной ситуации. А для подростков умения выстроить коммуникацию особенно важно.

Выработайте хотя бы три решения следующей задачи. Прием мозгового штурма, технология групповой работы, прием презентации полученных результатов на уроке путем сканирования материала, решения.

Задача 3.11. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение? (Работа в группе 4 учащихся).

Решение 1. Если прямая касается графика функции в точке с абсциссой , то получаем систему уравнений:

Ответ:

Решение 2. Если прямая касается графика функции в точке с абсциссой , то получаем систему уравнений:

Ответ:

Решение 3. Общий вид уравнения касательной

уравнение прямой

Касательная к графику функции

Ответ:

Прием мозгового штурма, технология групповой работы, прием презентации полученных результатов на уроке путем сканирования материала, решения, приём «Фантастическая добавка».

Задача 4.11. (Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», издательский дом «Первое сентября», №16, 2004) При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение.

1 способ. Аналитический способ. Рассмотрим два случая:

При этом значении параметра а уравнение принимает вид откуда Это единственное решение.

Тогда - квадратное уравнение, дискриминант которого

Ответ:

2 способ.

При этом значении параметра а уравнение принимает вид откуда Это единственное решение.

Ответ:

Приём «Вопросы к тексту».

Какой способ (метод) реше­ния задач с параметром применяли?
Способ I (аналитический). Это способ так называемо­го прямого решения, повторяющего стандартные проце­дуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Комментарий. Аналитический способ ре­шения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Найдите в тексте следующего предложения, описывающего графический способ решения уравнений с параметром необычное в учебной ситуации.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной х и параметром а) рассматриваются графи­ки или в координатной плоскости (х; у), или в координат­ной плоскости (х; а).

Прием заготовки Д/З на урок.

Решим Задачу 4.11 3 способом. Выполняя Д/З, построили график функции

Путем тождественных преобразований выразим из уравнения функцию

Собственно можно рассмотреть отсканированный график, выполненный дома или построенный с помощью программ Интернета.

Исследуем свойства функции с помощью производной.

1. 

   

   График не пересекает ось Оа.

   Прямая - вертикальная асимптота.

   Прямая - горизонтальная асимптота.

   Функция непрерывна на , найдем производную:

1. Найдем критические точки первого рода:

.

1. Функция убывает, если , функция возрастает, если .

   Значение максимума функции:

   Функция непрерывна на , найдем вторую производную:

Строим график функции , который подтверждает полученный ответ, а также указывает, что у уравнения нет решений, если , имеет два решения, если .

1. Найдём точку перегиба графика функции: .

Приём «кластер», прием «Тонких» и «Толстых» вопросов, технология группового обучения (работа в парах), приёмы обработки графической и текстовой информации:  «смысловое чтение и работа с текстом», метод создания заданий творческого характера, задачи на поиск закономерностей.
«Толстый вопрос»: Что объединяет уравнения, решенные на уроке? Какое условие накладывается на уравнение? Решите задачу в паре, применяя любой известный вам способом и составьте «кластер» решения уравнения.

Задача 5.11. (Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», издательский дом «Первое сентября», №16, 2004) При каких значениях параметра параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение.

1 способ. Аналитический.

При исходное уравнение решений не имеет.

При уравнение является квадратным и примет вид: Искомые значения параметра – корни дискриминанта, который обращается в нуль: .

Ответ: .

2 способ. Аналитический.

При исходное уравнение решений не имеет.

Используем геометрический смысл производной: значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной.

откуда подставим найденное значение в исходное уравнение и получим, что .

Ответ: .

Прием заготовки Д/З на урок.

3 способ. Путем тождественных преобразований выразим функцию

В ходе выполнения Д/З построили график функции

Ответ: .

Исследуем свойства полученной функции с помощью производной.

1. 

   

   График не пересекает ось Оа.

   Прямая - вертикальная асимптота.

   Прямая - горизонтальная асимптота.

   Функция непрерывна на , найдем производную:

1. Найдем критические точки первого рода:

.

1. Функция убывает, если , функция возрастает, если .

   Значение минимума функции:

Строим график функции , который подтверждает полученный ответ, а также указывает, что у уравнения нет решений, если , имеет два решения, если .

Метод обучения на опережение, метод «Д/З по задачам ЕГЭ с дальнейшей презентацией решений» позволяет учащимся детально разобраться с задачей, при необходимости воспользоваться Интернет-ресурсами, столкнуться с проблемой и перейти к решению этой проблемы альтернативным путем.\

 

Метод проектов, прием «Д/З по задачам ЕГЭ с дальнейшей презентацией решений», прием опережающего обучения, прием презентации полученных результатов на уроке путем сканирования материала, решения, метод создания заданий творческого характера.
Решим домашнюю задачу 6), выбрать наиболее рациональный вариант решения. Внести такие изменения в уравнение или в условие задачи, чтобы применение выработанного алгоритма было невозможным. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение на промежутке имеет 1 корень.

Решение.
1 способ.

Ответ: Один корень при .

2 способ. 1 кусок функции

2 кусок функции

Как видим, появляется совокупность двух систем, решение которых станет трудо- и времяемким.

Технология группового обучения, метод проектов, прием «Д/З по задачам ЕГЭ с дальнейшей презентацией решений», прием опережающего обучения, прием презентации полученных результатов на уроке путем сканирования материала, решения, приём «Вопросы к тексту», технология развития критического мышления.

Задание группе. Прочитайте текст домашней задачи 7). 

Какие слова выделены жирным шрифтом? Почему? 

Если бы вы читали текст вслух, то, как бы вы дали понять, что это словосочетание главное?

Появляется проблемная ситуация. Какая (какие)?
Можем ли использовать выработанные алгоритмы?
Какой видите выход?
Знаете ли вы способ решения этой задачи?
Решите задачу, оформив ее решение на листе А4.

Задача7). (экзамен ЕГЭ 2012) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение на промежутке имеет более двух корней.

1 способ. (ФИПИ). Рассмотрим функции Исследуем уравнение на промежутке .

При все значения функции на промежутке отрицательны, а все значения второй функции неотрицательны, поэтому уравнение на промежутке не имеет решений при .

При функция возрастает. Функция убывает на промежутке , поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда когда , откуда получаем

На промежутке уравнение примет вид , которое сводится к квадратному уравнению: . Будем считать, что , так как случай был рассмотрен ранее. Дискриминант этого уравнения , поэтому при уравнение не имеет корней, при имеет единственный корень , при имеет два решения.

Если уравнение имеет два корня , то при , больший корень ., поэтому он принадлежит промежутку . Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда , то есть

Таким образом, уравнение на промежутке имеет следующее число корней:

Нет корней при ; 2. Один корень при ; 3. Два корня ; 4. Три корня Ответ:

2 способ. Комментарий: Ограниченность времени мастер–класса не позволяет раскрыть технологию проектирования, которая является основной технологией работы с учащимися. В этой связи участникам мастер–класса наглядно демонстрируются основные результаты, а именно реализованный проект.

Путем тождественных преобразований выразим функцию

Ответ:

Путем тождественных преобразований выразим функцию

Исследуем функцию на непрерывность в точках 0, :

В точке функция терпит разрыв, а в точке функция непрерывна.

Исследуем свойства функции с помощью производной.

1. График не пересекает ось Оа.

   Прямая - вертикальная асимптота.

   Прямая - горизонтальная асимптота.

   Функция непрерывна на , найдем производную:

1. Найдем критические точки первого рода:

.

1. Функция убывает, если , функция возрастает, если .

   Значение максимума функции:

   Функция непрерывна на , найдем вторую производную:

Исследуем свойства функции с помощью производной.

1. Найдём точку перегиба графика функции: .

   

   

   График не пересекает ось Оа.

   Прямая - вертикальная асимптота.

   Прямая - горизонтальная асимптота.

   Функция непрерывна на , найдем производную:

1. Найдем критические точки первого рода:

.

1. Функция убывает, если , функция возрастает, если .

   Значение минимума функции:

   Функция непрерывна на , найдем вторую производную:

Строим график функции (рис. 9), который подтверждает полученный ответ

1. Найдём точку перегиба графика функции: .

 

Итак, сегодня мы с вами повторили свойства функции. Какие именно?

Составьте кластер.

Методический приём «комментируемое управление» с составлением опорный схемы.

Д/З: 1).Найдите всевозможные значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно одно решение.

2). №18, Вариант 12, 23, 26 Типовые экзаменационные варианты ЕГЭ 2018,профильный уровень, под ред. И.В. Ященко.

Работа в группах.

С/Р: Задача 7.11. 1

Найдите все значения параметра , при каждом из которых графики функций

и имеют ровно одну точку пересечения.

Решение.

1 способ. Графиком является парабола, пересекающая ось в точках и , а ось в точке

Графиком при каждом фиксированном является прямая:

1). При это прямая Она имеет ровно одну точку пересечения с , а именно, точку

2). При это пучок прямых проходящих через точку

Графики будут иметь ровно 1 точку пересечения при тех значениях , при которых прямая будет касаться параболы. Условия касания в точке

 

Ответ:

2 способ. Выразив из уравнения параметр , построим график полученной функции:

Искомые значения параметра соответствуют значениям экстремума полученной функции и в начале отсчета.