Решение систем линейных уравнений

М Е Т О Д И Ч Е С К А Я К А Р Т А

З А Н Я Т И Я №__7__

Дисциплина Математика

Тема: Решение систем линейных уравнений.

Цель: Показать применение определителей, метода Гаусса, Крамера и закрепить умения и навыки при решении упражнений. Развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу. Воспитывать самостоятельность и активность обучающихся.

Вид занятия: практическое занятие

Оборудование: ноутбук, проектор, презентация, раздаточный материал (карточки для индивидуальной работы).

Х О Д З А Н Я Т И Я

Подпись преподавателя: _________Т.Н.Пащенко

Тема: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Вид занятия: практическое занятие

Оборудование: ноутбук, проектор, презентация, раздаточный материал (карточки для индивидуальной работы).

Ход занятия:

І Организационные вопросы:

(приветствие, отметка отсутствующих)

II Проверка домашнего задания

Проверка наличия выполненных заданий

III Подготовка к восприятию нового материала

(Сообщение темы, цели, эпиграфа занятия. Актуализация.

Решение у доски системы линейных уравнений матричным столбом.)

Эпиграф

Приобретение любого познания всегда полезно для ума, ибо он сможет впоследствии отвергнуть бесполезное и сохранить хорошее. Ведь ни одну вещь нельзя ни любить, ни ненавидеть, если сначала ее не познать.

Леонардо да Винчи.

Актуализация. 
Мы продолжаем рассматривать системы линейных уравнений.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Фронтальный опрос:

Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

Предполагаемый ответ учащихся:

Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной).

Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете?

Предполагаемый ответ учащихся:

Метод подстановки, сложения, графический метод, матричный метод.

Ответ:

IV Изучение нового материала

4.1 Решение систем двух уравнений с помощью определителей.

Условимся под символом

понимать выражение

Примеры:

Символ

называется определителем 2-го порядка.

Числа называется элементами определителя.

Решим системы

Знаменатель каждой из написанных дробей есть определитель ,

составленный из коэффициентов , при неизвестных x и y. Этот определитель называется главным определителем системы уравнений.

Пример:

Ответ:

4.2 Решение системы трех уравнений с помощью определителей (метод Крамера).

Символ

называется определителем 3-го порядка.

Числа называются элементами определителя.

Если решить систему

то можно убедиться в справедливости следующих формул:

определитель, стоящий в знаменателях, называется главным определителем системы.

Формулы Крамера:

Имея систему

получим

После этого дело сведется к решению такой, например, системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Решив эту последнюю систему, найдем единственное решение данной системы с тремя неизвестными в следующем виде:

4.3 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений.

Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто!

Метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных.

Напомню, что к элементарным преобразованиям системы относятся следующие:

1) Перемена местами двух уравнений в системе;

2) Умножение какого - либо уравнения системы на действительное число, не равное нулю.

3) Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число, не равное нулю.

На практике более удобным оказывается применение метода Гаусса не, собственно, к самой системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице. Когда расширенная матрица будет приведена к треугольному виду, на этом цепь элементарных преобразований над матрицей завершается.

Решим эту систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу:(решает студент у доски с полным объяснением, опережающее обучение)

↔  ↔ ↔

↔, получили

В результате решения системы получили, что х1=1, х2=2, х3=2, х4=3. 

V. Закрепление материала.

(решение упражнений)

5.1 Решение системы уравнений методом Гаусса (работа одного студента у доски, остальные самостоятельно в тетрадях)- 2 системы.

Во время решения второй системы 3 студента выполняют задания на карточках.

Карточка № 1

Дана система линейных уравнений. Решить с помощью определителей.

Ответ:

Карточка № 2

Дана система линейных уравнений. Решить с помощью определителей.

Ответ:

Карточка № 3

Дана система линейных уравнений. Решить с помощью определителей.

Ответ:

5.2 Работа в группах (решение системы линейных уравнений двумя способами – методом Крамера, Гаусса)в виде игры «Заморочки из бочки»

I группа

Ответ: (3,2,1)

II группа

Ответ:(0;2;-3)

III группа

Ответ: (11;-2;-3)

VІ. Подведение итогов занятия (рефлексия, анализ работы студентов и мотивация выставленных оценок)

Рефлексия. 
Выбери вариант соответствующий твоим ощущениям после сегодняшнего занятия. 
1. Я все знаю, понял и могу объяснить другим! 
2. Я все знаю, понял, но не уверен, что смогу объяснить другому. 
3. Я сам знаю, понял, но объяснить другому не смогу. 
4. У меня остались некоторые вопросы. 

VІІ. Домашнее задание: задания № 1-2 в тетрадях

Решить системы уравнений методом Гаусса:

Ответ: бесконечное множество решений.

.