Урок:«Предел числовой последовательности»

Этап урока

Действия учителя

Действия обучающихся

Формируемые УУД

Организационный этап

На прошлых уроках говорили о том, что такое числовая последовательность, способах ее задания и какими свойствами она обладает. Так давайте еще раз вспомним это

Отвечают на вопрос: что такое последовательность, способы ее задания, свойства.

Познавательные:

умение строить речевые высказывания при ответе на вопрос;

умение выделять необходимые понятия (о свойствах и способах задания последовательности)

Регулятивные:

целеполагание;

Коммуникативные:

умение выражать свои мысли при ответе на вопрос;

Актуализация знаний

Мы повторили, что такое числовая последовательность. Теперь мы продолжаем развивать эту тему и переходим к теме «Предел числовой последовательности»

Записывают тему в тетрадь

«Открытие» новых знаний

Рассмотрим две числовые последовательности: (хn) и (уn):

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой.

Что можно заметить?

Говорят, последовательность (хп) сходится, а последовательность (у п) расходится.

Возникает вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности? Чтобы ответить на этот вопрос, используем понятие окрестности точки.

Пусть, а — точка прямой, а г— положительное число. Интервал (а-г,а + г) называют окрестностью точки а (рис. 100), а число г— радиусом окрестности.

Приведите пример окрестности точки!

Теперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но сразу уточним: математики не любят термин «точка сгущения для членов заданной последовательности», они предпочитают использовать термин «предел последовательности».

Определение: Число b называют пределом последовательности (уп), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут либо так: , либо так: 

Давайте теперь просмотрим видео-ролик, про предел последовательности (http://www.youtube.com/watch?v=f9_YksH_AiA )

Для закрепления материала на этом этапе давайте решим номера 38.1 38.2 38.3 (устно) 38.4 38.5 38.6 (письменно)

Замечаем, что члены второй последовательности (хп) как бы "сгущаются" около точки 0, а у первой последовательности (уп) такой «точки сгущения» нет.

Например, (5,98, 6,02) — окрестность точки 6, причем радиус этой окрестности равен 0, 02.

Записывают определение в тетрадь

Смотрят видео-ролик

Учащиеся решают номера на местах и один учащиеся возле доски.

Познавательные:

установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений;

умение выделять необходимые понятия в зависимости от ситуации

Коммуникативные:

постановка вопросов;

умение выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации;

Регулятивные:

целеполагание;

планирование;

Познавательные:

самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

умение строить речевые высказывания в устной и письменной речи;

умение выделять необходимые понятия в зависимости от ситуации, выделение следствий;

установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений;

Коммуникативные:

постановка вопросов;

умение выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации;

Регулятивные:

целеполагание;

прогнозирование

Необходимо вывести формулы для вычислении пределов последовательности.

Пример 1. Дана последовательность (y„):
В соответствии с определением это и означает, что

Выделяем это формулу в рамочку!

Пример 2. Найти предел последовательности:

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, последовательность сходится к 0:

Результат: полученный в примере 2, является частным случаем более общего утверждения:

Выделяем это формулу в рамочку!
А что будет с последовательностью  ? Вообще, справедливо утверждение: 
Пример 3. Найти предел последовательности: 

Ответ:

Один ученик у доски. Другие решают в тетради.

Познавательные:

самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

структурирование знаний;

универсальные логические действия

способность и умение учащихся производить простые логические действия.

Коммуникативные:

● постановка вопросов – инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

● формирование умения объяснять свой выбор, строить фразы, отвечать на поставленный вопрос, аргументировать;

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;

Регулятивные:

● целеполагание;

планирование;

А теперь обсудим результаты, полученные в примерах 1—3, с геометрической точки зрения. Для этого построим графики последовательности.

Замечаете ли вы кое-что общее в характере трех построенных графиков последовательностей?

Смотрите: на всех трех рисунках точки графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой. Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.
Подведем итоги на данном этапе!

Один ученик строит графики функции на доске, другие обучающиеся в тетради.

Итоги:

Имеем:

 и прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции 
 и прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции 
 и прямая у = 2 является горизонтальной асимптотой графика функции 

Познавательные:

● самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

● универсальные логические действия;

способность и умение учащихся производить простые логические действия;

Коммуникативные:

● постановка вопросов – инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации( при решение примера);

● формирование умения объяснять свой выбор, строить фразы, отвечать на поставленный вопрос, аргументировать;

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;

Регулятивные:

целеполагание;

прогнозирование;

Теперь переходим к свойства схохящимся последовательностей и вычислению пределов.

Свойства сходящихся последовательностей:

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограниченна.
Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Вычисление пределов последовательностей
К установленным ранее двум важным результатам:

записывают свойства и теорему о вычислении пределов в тетрадь

Познавательные:

установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений;

умение выделять необходимые понятия в зависимости от ситуации

Коммуникативные:

постановка вопросов;

умение выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации;

Регулятивные:

целеполагание;

планирование;

Пример 4. Найти пределы последовательностей:

Пример 5. Даны числа 

Пример 6. Вычислить 

Пример 7:

Пример 8:

Пример 9:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Пример 10. Найти сумму геометрической прогрессии:

Ответ: S = 8.
Пример 11. Сумма геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее членов 40,5. Найти пятый член прогрессии.
 

Вычисляют пределы последовательности используя формулы и постоянные

Познавательные:

самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

структурирование знаний;

универсальные логические действия;

способность и умение учащихся производить простые логические действия;

выбор эффективных способов решения задачи

Коммуникативные:

постановка вопросов – инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

формирование умения объяснять свой выбор, строить фразы, отвечать на поставленный вопрос, аргументировать;

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;

Регулятивные:

контроль своей деятельности при вычислении пределов;

коррекция и исправление возможных ошибок в решении пределов;

прогнозирование результата (какой ответ должен получится используя формулу)

Самостоятельная работа

Вариант 1:

Вариант 2:

2.

Выполняют задания на листочках

Регулятивные:

● контроль своей деятельности;

● коррекция и исправление возможных ошибок в решении;

прогнозирование результата.

Познавательные:

● универсальные логические действия

● способность и умение учащихся производить простые логические действия

● выбор эффективных способов решения задачи;

Что нового вы узнали на сегодняшнем уроке?

Делятся своими впечатления, что у них получилось или нет, что понятно или нет. Задают вопросы.

Коммуникативные:

постановка вопросов – инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

формирование умения объяснять свой выбор, строить фразы, отвечать на поставленный вопрос, аргументировать;

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;

Регулятивные:

планирование способов достижения деятельности;

контроль и оценка ситуации;

коррекция и исправление ошибок;