Вводный урок по теме «Логика. Алгебра высказываний»

Тема: «Основы логики. Алгебра высказываний.»

Планируемые образовательные результаты:

предметные – представления о разделе математики алгебре логики,  высказывании как её объекте, об операциях над высказываниями;

метапредметные – навыки анализа логической структуры высказываний; понимание связи между логическими операциями и логическими связками, между логическими операциями и операциями над множествами;

 личностные – понимание роли фундаментальных знаний как основы современных информационных технологий, развитие логического мышления, внимательности.

Решаемые учебные задачи: 

1) знакомство с понятием высказывания, с простыми и сложными, истинными и ложными высказываниями;

2) знакомство с логическими операциями;

3) решение логических задач

Основные понятия, изучаемые на уроке:

 алгебра логики; высказывание; логическая переменная; логическое значение; логическая операция; конъюнкция; дизъюнкция;  отрицание; импликация, эквиваленция.

Ход урока.

1. Орг. момент.

2. Изучение нового материала.

 На доске написаны три слова:

                     АЛГЕБРА    ЛОГИКА     ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Ответ.  синее       зеленое     красное 

Ребята, посмотрите на эти слова, известно, что все 3 слова были выделены  разными цветами красным, зеленым и синим.

У слов выделенных зеленым и синим цветом, одинаковые третьи буквы, а у выделенных красным и синим  в слове есть буква е. Какой цвет у слова ЛОГИКА?

А) красный             Б) неизвестно               В) синий               Г) зеленый

Для обсуждения 30 секунд.

Запишите тему нашего сегодняшнего урока: «Основы логики. Алгебра высказываний.»

Пока вы отвечали на вопрос уже познакомились с тем, чем мы будем заниматься на уроке. Благодаря рассуждению вы смогли ответить на вопрос задачи.  Логика - это важнейший инструмент для искателя истины. Это "экскаватор", с помощью которого можно раскапывать глубинные пласты знания - как снаружи, так и внутри себя. Логика в переводе с греч. «наука о рассуждении», «искусство рассуждения».

Запишем определение логики.

Логика - наука, изучающая законы и формы мышления. В логике мышление рассматривается как инструмент познания окружающего мира.

Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления.

Коснемся немного истории развития логики.

Основоположник логики - Аристотель (384-322 гг. до н.э.).

Он подверг анализу человеческое мышление и его формы: понятие, суждение, умозаключение. В определении Аристотеля логика представляет собой науку о выводе одних умозаключений из других сообразно их логической форме.

Философ и математик Рене Декарт(1596-1650) рекомендовал в логике использовать общепринятые математические методы. Он считал, что человеческий разум может постигнуть истину, если будет исходить из достоверных положений, сводить сложные идеи к простым, переходить от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких-либо пропусков в логических звеньях исследований.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) предложил использовать в логике математическую символику и высказал мысль о возможности применения в ней 2-ой СС.

Он писал: «Никто не должен бояться, что наблюдение над знаками уведёт нас от вещей: напротив, оно приводит нас к сущности вещей».

Джордж Буль (1815-1864) – разработал раздел математической логики – булеву алгебру.

Основные объекты логики – высказывания. Что же это такое? Запишите в тетрадь.

     Высказывание – предложение, о котором можно однозначно сказать истинное оно  или ложное.  В логике принято истину обозначать – 1, ложь - 0 .

Высказывания в логике обозначают буквами (A,B,C…) и называют логическими переменными.

Теперь я буду говорить предложение, а вы попробуете определить высказывание ли оно. Итак:

1.      Идет снег. (высказывание, истинно, если он идет и ложно, если нет)

2.      Посмотрите в окно. (не высказывание)

3.      Это предложение является ложным. (не высказывание, т.к. о нём нельзя сказать истинно оно или ложно без того, чтобы не получить противоречие.)

4.      Через сколько минут звонок? (не высказывание, это вопрос)

5.      X<2 ( не высказывание, но станет им, если заменить х на конкретное число)

6.      Земля – планета Солнечной системы и Земля – наш дом (высказывание)

Алгебра логики или алгебра высказываний отвлекается от смысловой содержательности высказывания. Здесь важно только истинно оно или ложно. Запишем :

Алгебра логики – определяет правила записи, упрощения и преобразования высказываний и вычисления их значений.

Благодаря тому, что в логике всего 2 значения - 0 и 1, её аппарат положен в основу компьютерных устройств хранения и обработки данных. Собственно поэтому этот раздел математики мы изучаем на уроках информатики.

Высказывания бывают простые и сложные. Сложные строятся из простых с помощью логических операций. Познакомимся с ними. Запишем в тетрадь.

Логические операции.

1. Инверсия (не) – меняет значение логической величины на противоположное.
Обозначение: Не А, ⌐А.

2. Конъюнкция (и) – логическое умножение, результат истина, если оба высказывания истинны.
Обозначение: А и В, А * В, А ˄ В.

3. Дизъюнкция (или) – логическое сложение, результат ложь, если оба высказывания ложь.

Обозначение: А или В, А + В,  А ˅ В.

4. Импликация (если, то)– логическое следование, результат ложь, если 1 высказывание истина, 2 – ложь.

Обозначение: А → В

5. Эквиваленция (тогда и только тогда, когда) – логическое равенство, истина, когда оба высказывания одинаковы.

Обозначение: А ∞ В (знак подобия)

Удобно объединить все эти определения в таблицу истинности – специальную таблицу, в которой приведены все возможные значения логических переменных.

Запишем в тетрадь:

Таблица истинности.

Так же как и в математике тут есть порядок выполнения логических операций: (), не, и, или, →, ∞.

К следующему уроку выучите эти определения, мы попробуем с помощью законов алгебры логики, с которыми мы познакомимся на следующем уроке и знаний, полученных на этом уроке решать различные логические задачи.

Несколько задач из  ОГЭ и ЕГЭ по информатике мы попробуем решить прямо сейчас на основе уже полученных знаний.

Задача. Для какого имени истинно высказывание:

1 буква гласная ˄ 4 буква согласная ˅ в слове 4 буквы

1) Сергей   2) Вадим  3) Антон      4) Илья

Проверяем для каждого 1) 0 ˄ 1 ˅ 0=0 ˅ 0=0  2) 0 ˄ 0 ˅ 0=0 ˅ 0=0   3) 1 ˄ 0 ˅ 0=0 ˅ 0=0 

4) 1 ˄ 0 ˅ 1=0 ˅ 1=1 

Ответ 4) Илья

Задача. Для какого из указанных значений числа Х истинно высказывание:

(Х>4) ˅((Х>1) →(Х>4))

1) 1     2) 2     3) 3       4) 4

Проверяем: 1) 0 ˅(0→0)=1      2) 0 ˅(1→0)=0     3) 0 ˅(1→0)=0     4) 0 ˅(1→0)=0.  Ответ. 1)

Задача. Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на математической олимпиаде 4 первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:
1.Сергей – первый, Роман – второй;
2.Сергей – второй, Виктор – третий;
3.Леонид – второй, Виктор – четвертый.
Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределились места?

Ответ. Рассуждение: Пусть 

             С - 1,  тогда     Р - не 2,

           тогда  С - не 2,   тогда В-3

             Л - 2,      В - не 4 , Тогда Роман - 4.

 Пусть наоборот:

             С – не  1,       Р - 2,

             С -  не 2,        В - 3

             Л – не 2,        В -  4  . С осталось 4 , а оно уже занято – противоречие.

Решить задачу, если успеваем по времени: Один король хотел сместить своего премьер-министра, но при этом не хотел его слишком обидеть. Он позвал премьер-министра к себе, положил при нем два листка бумаги в портфель и сказал: "На одном листке я напи­сал "Уходите", а на втором — "Останьтесь". Листок, который вы вытащите, решит вашу судьбу". Премьер-министр догадался, что на обоих листках было написано "Уходите". Как же, однако, умудрился он при этих условиях сохранить свое место?

Практическая работа за компьютером.
В конце уроке практическая работа. Сесть за компьютеры. Написать в поисковом запросе «шесть лягушек». httpsфгос:// 4brain.ru/blog /головоломка-6-лягушек. Это логическая задача. 7 кочек. Справа на 3 кочках сидят лягушки одного цвета, посредине 1 свободная кочка, и слева 3 лягушки другого цвета. Благодаря логическим рассуждениям нужно лягушек на болоте поменять местами (прыгать можно только на соседнюю кочку или через 1 лягушку, если есть за ней свободная кочка). На решение отводится примерно 3 минуты.

Ответ. 3-4, 5-3, 6-5, 4-6, 2-4, 1-2, 3-1, 5-3, 7-5, 6-7, 4-6, 2-4, 3-2, 5-3, 4-5.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

Итак, урок подошел к концу. Вы молодцы, справились со всеми заданиями на уроке.

Что сложного для вас было на уроке? Что понравилось?

Выставление оценок.

Домашнее задание. Выучить конспект. 

Решить задачу. В XIX веке один учитель задал своим ученикам вычислить сумму всех целых чисел от единицы до ста. Компьютеров и калькуляторов тогда еще не было, и ученики принялись добросовестно складывать числа. И только один ученик нашел правильный ответ всего за несколько секунд. Им оказался Карл Фридрих Гаусс - будущий великий математик. Как он это сделал?

Ответ Он выделил 49 пар чисел: 99 и 1, 98 и 2, 97 и 3 ... 51 и 49. В сумме каждая пара чисел равнялась ста, и оставалось два непарных числа 50 и 100. Следовательно, 49х100+50+100=5050.