История развития планиметрия

Сообщение на тему:

«История развития

Планиметрии»

Подготовила: учащаяся 10- А класса Печерская Д.

Планиметрия – один из основных разделов геометрии, изучающий фигуры и пространственные объекты, ограниченные плоскими поверхностями. Она является важной частью математического аппарата и находит применение в различных научных и практических областях.

Первые элементы планиметрии можно отследить ещё в глубокой древности. Они возникли из потребности определять вместимость различных предметов (сосудов, амбаров и т. п.) и площади земельных участков. Древнейшие известные нам письменные памятники, содержащие правила для определения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне около 4 тысяч лет назад.

Знания планиметрии были необходимы для строительства пирамид, первая из которых была построена около 2900 лет до н.э. Пирамиды состояли из прямоугольного основания и треугольных граней. Самая ранняя запись формулы для вычисления площади треугольника датируется 2000 г. До н.э.

Около 2,5 тысяч лет назад греки заимствовали у египтян и вавилонян их геометрические знания. Первоначально эти знания применялись преимущественно для измерения земельных участков. Отсюда греческое название «геометрия», что означает «землемерие».

Греки внесли большой вклад в развитие планиметрии. Фалес Милетский изучил подобные треугольники и написал доказательство того, что соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.

Первым математиком, логически выводившим математические факты,был Пифагор (569 – 475 гг. до н.э.). Математика, как теория, получила развитие в созданной им школе. Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга. Наличие у пифагорейцев учения о параллельных линиях говорит о том, что они владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много столетий раньше была сформулирована вавилонскими, китайскими и индийскими учеными, однако её доказательство им не было известно.

Греческие ученые открыли множество геометрических свойств создали стройную систему геометрических знаний, которая дала начало новому периоду развития геометрии в целом и планиметрии в частности. . В ее основу они положили простейшие геометрические свойства, подсказанные и опытом. Остальные свойства выводились из простейших с помощью рассуждений. Эта система получила завершённый вид в главном труде выдающегося греческого математика Евклида Александрийского – в трактате «Начала» (ок.300 г. до н.э.),- который считается самым влиятельным из когда-либо опубликованных. В этом труде Евклид аксиоматически формулирует основные принципы планиметрии и выводит множество теорем, в том числе о площади прямоугольника и треугольника.

К евклидовой геометрии в Греции добавлялись всё новые и новые результаты, возникали методы определения площадей и объёмов. Выдающихся результатов достиг Архимед Саракузский (287-212) гг. до н.э.), решая проблему квадратуры круга. Он также более точно вычислил число «Пи» - величину отношения длины окружности к диаметру, которая приблизительно была вычислена задолго до Евклида опытным путём, -и доказал, что это число одинаково для любого круга.

Аполлоний Пергский (262-190 гг. до. н.э.) – последователь Евклида и Архимеда – настолько преуспел в изучении геометрических фигур, что его знания оставались непревзойдёнными до 17 века, и его геометрия о круге является фундаментальной темой в планиметрии.

Упадок античного общества привёл к сравнительному застою в развитии планиметрии, однако она продолжала развиваться в Индии, в Средней Азии, в странах арабского Востока. Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший её расцвет. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Р. Декартом, который ввёл в геометрию метод координат. Метод координат позволил связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную. Планиметрия перешла на качественно новую ступень по сравнению с планиметрией древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы. С этого времени начинается третий период развития геометрии и в т.ч. планиметрии. К 1-й половине 17 в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости. Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений геометрии были даны в 18 — начале 19 вв. Эйлером для аналитической геометрии (1748), Монжем для дифференциальной Геометрии (1795), Ж. Понселе для проективной геометрии (1822), причём само учение о геометрическом изображении (в прямой связи с задачами черчения) было ещё раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы (аксиомы, исходные понятия) планиметрии оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.

В XIX веке с развитием аналитической геометрии и введением декартовых координат планиметрия стала еще более популярной. Появились новые методы решения геометрических задач, а также новые понятия. Далее на протяжении века следовали открытия и разработки новых теорем и методов в планиметрии.

Четвёртый период в развитии Геометрии открывается построением Н.И.Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой Геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского. Независимо от Лобачевского в 1832 ту же Геометрию построил Я. Больяй (те же идеи развивал К. Гаусс, но он не опубликовал их). Исходные положения системы Лобачевского отличаются от основных положений Евклида лишь в одном пункте. Но отсюда вытекает множество очень существенных особенностей. Так, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше, чем 180° (в геометрии Евклида она равна 180°). При этом недостаток до 180° тем больше, чем больше площадь треугольника. Все те треугольники, которые доступны нашему измерению, слишком малы, чтобы непосредственными измерениями обнаружить недостаток суммы углов до 180°.

Переворот в планиметрии, произведённый Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван «Коперником геометрии». Главная особенность нового периода в истории Геометрии, начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрических теорий — новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета Геометрия. Принципы, намеченные его идеей, сыграли важную роль не только в планиметрии, но и в математике вообще, в развитии её аксиматического метода, в понимании её отношения к действительности.

При дальнейшем развитии гениальных идей Лобачевского оказалось, что система Евклида недостаточна для исследования многих вопросов астрономии и физики, где мы имеем дело с фигурами огромных размеров. Однако в условиях повседневного опыта она остается вполне пригодной. А так как к тому же она обладает преимуществом простоты, то ее применяют и будут применять в технических расчетах, ее изучают и будут изучать в школах.

Совершенствование технических средств и вычислительной техники в XX веке позволили упростить повседневные планиметрические расчеты и использовать их в различных областях науки и техники.

Планиметрия широко применяется в таких областях, как архитектура, инженерия, геодезия, картография и даже искусство. Изучение планиметрии помогает развивать логическое мышление, приобретать навыки пространственной визуализации, необходимые в различных профессиональных областях.

Планиметрия играет важную роль в науке, обеспечивая необходимые инструменты для решения различных задач в геометрии, картографии, физике и других научных областях.

Она играет важную роль в решении практических задач, связанных с измерением и построением фигур на плоскости. Ее применение находит место в геодезии, инженерии, навигации, картографии, архитектуре и многих других областях, где требуется точное измерение и анализ геометрических объектов.

С развитием компьютерных технологий и программного обеспечения, планиметрия получает новые перспективы в своем развитии.

Одной из перспектив развития планиметрии является использование компьютерных программ для изучения и решения задач. С помощью специализированных программ можно проводить быстрый и точный анализ плоских фигур, находить их площадь, периметр, а также строить графики и геометрические фигуры. Это позволяет не только упростить процесс решения задач, но и увеличить точность результатов.

Другой перспективой развития планиметрии является создание специализированных программ для проектирования и оптимизации различных объектов, например, зданий или дорог. С их помощью можно строить 2D и 3D модели плоских фигур, анализировать их параметры и проводить виртуальные испытания. Это экономит время и ресурсы при проектировании и строительстве различных объектов. Также перспективы развития планиметрии связаны с возможностью её применения в таких областях, как медицина, география, экология и даже изобразительное искусство, где она используется для создания перспективных рисунков и композиций.

Таким образом, намеченные пути развития планиметрии помогут упростить процесс решения задач, повысить точность результатов и эффективность работы в различных сферах деятельности человека.