Теория вероятностей и комбинаторные правила решения задач

ГБПОУ НО «Нижегородский медицинский колледж» Теория вероятностей и комбинаторные правила решения задач Белова Лариса Григорьевна Преподаватель

<номер> Эпиграф урока: . . «Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи». Дж. Сильвестр

<номер> Классическое определение вероятности Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями. Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт); выпадает двойка (событие). Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным. Пример: В мешке лежат три картофелины. Опыт – изъятие овоща из мешка. Достоверное событие – изъятие картофелины. Невозможное событие – изъятие кабачка.

<номер> Классическое определение вероятности Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Примеры: 1) Опыт - выбрасывается монета. Выпадение орла и выпадение решки – равновозможные события. 2) В урне лежат три шара. Два белых и синий. Опыт – извлечение шара. События – извлекли синий шар и извлекли белый шар - неравновозможны. Появление белого шара имеет больше шансов..

<номер> Классическое определение вероятности Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны. 2) В результате двух выбрасываний выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз не исключает выпадение решки во второй

<номер> Классическое определение вероятности Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета. Элементарные события: выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу. События образующие полную группу называют элементарными.

<номер> Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу . P(A) = m/n Классическое определение вероятности

* <номер> Общая схема решения вероятностных задач (единичные испытания) Определить, в чем состоит случайный эксперимент. Определить, какие в эксперименте элементарные события. Убедиться, что события равновероятны. Найти общее число элементарных исходов (n). Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, найти их количество (m). Найти вероятность события А по формуле P(A)=m/n Приложение 1

<номер> Для конечных множеств событий при нахождении m и n широко используют правила комбинаторики. Задача №1: Сколько двузначных чисел можно составить используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? В данном случае легко перебрать все комбинации. 77 78 79 88 87 89 99 97 98 9 вариантов

<номер> Задача №2: Сколько пятизначных можно составить используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен. Решим задачу иначе. На первом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На втором месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На третьем месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На четвертом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На пятом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. Комбинаторное правило умножения

<номер> Задачи открытого банка

<номер> Задача 1.Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число 56? Число возможных исходов - 100 (сто чисел). Верно названное число одно. Это 56, значит благоприятный исход один. Вероятность того, что он назовёт число 56 будет один к ста или 0,01. Ответ: 0,01

<номер> Задача 8. В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 1 жёлтая и 4 зелёных. На вызов выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси. Возможное число исходов - 10. Число благоприятных исходов - 1 (жёлтая машина одна). Искомая вероятность равна 1 к 10 или 0,1. Ответ: 0,1

Задача 11. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. * <номер> Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству гимнасток из Канады. m=50-(24+13)=13 Соответствует количеству всех гимнасток. n=50

Задача 12. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? <номер> Выясним, как распределятся выступления по дням: 1 день – 8 выступлений, остальные поровну, значит по 18 выступлений в день. 2 день - 18 выступлений, 3 день – 18 выступлений, 4 день – 18 выступлений, 5 день – 18 выступлений Вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна 18 к 80 или 18/80=0,225. Ответ: 0,225

Задача 13. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? <номер> В данном случае нужно поставить себя на место Руслана Орлова. Он будет играть кем-то из 25 спортсменов (на чемпионат приехали Руслан и ещё 25 спортсменов), значит возможных исходов 25. Из них осталось 9 спортсменов из России. Это и есть число благоприятных исходов. Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России 9 к 25 или 0,36.

Вероятность и правило произведения. Решение: Всего 6 монет. Возможны варианты перекладывания: 1 карман 2 карман 5 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 5 1 5 1 1 5 1 Р = ( 2/6 * 4/5 * 3/4 ) * 3 =3/5 = 0,6 «5» «1» «1» Задача 16. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах. <номер>

Задача 19. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. * <номер> Опыт: бросают три игральные кости. Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков. К-во благоприятных событий m=? 331 313 133 223 232 322 511 151 115 412 421 124 142 214 241 К-во всех событий группы n=? 1-я кость - 6 вариантов 2-я кость - 6 вариантов 3-я кость - 6 вариантов

Задача 23. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, первые два броска окончатся одинаково.   1-й бросок 2-ой бросок 3-ий бросок 1 орёл орёл орёл 2 орёл орёл решка 3 орёл решка решка 4 орёл решка орёл 5 решка решка решка 6 решка решка орёл 7 решка орёл орёл 8 решка орёл решка <номер> Найдём число возможных исходов, переберём все варианты бросков. В подобных задачах составляйте таблицу, так считать удобнее Первые два броска одинаково могут окончиться в четырёх случаях это 1,2,5,6 варианты, то есть благоприятных исходов 4. Искомая вероятность равна 4/8=0,5.

<номер> Задача 24. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. В данной задаче составляется та же таблица, что и предыдущей. Орёл не выпадет ни разу только в одном варианте из восьми (пятый вариант). Искомая вероятность равна 1 к 8 или 0,125. Ответ: 0,125

Задача 25. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Всего исходов – 36 Благоприятных исходов – 6 Р=6/36=1/6 <номер> 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12