Треугольник Паскаля в школьном курсе математики

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

 

Тема: «Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля»

Цели:

• Формировать представление о биномиальных коэффициентах и их свойствах.
• Способствовать самостоятельному применению знаний и умений для решения комбинаторных задач.

Структура занятия:

1. Оргмомент
2. Анализ самостоятельной работы
3. Проверка д.з.
4. Лекция
5. Решение примеров
6. Подведение итогов

Ход занятия.

Проверка д.з.

Сколькими способами из мешка с шарами (всего 90 шаров) можно сделать выборки по 5 штук?

Ответ: N = 

Сколькими способами в выборке окажется шар, помешенный числом 90?

Ответ: N = 

 

Лекция

Числа  часто называют биномиальными коэффициентами.Числа обладают целым рядом свойств.

Доказательство:

1) , , ч.т.д.

2) Вытекает из 1)

3) · =,

=· =, ч.т.д.
4) ,

== ==, ч.т.д.

Заметим, что при k=0 =+, т.к. =1 и =1, то следует положить, что =0. Аналогично положить, что=0 для k>n, тогда формула верна для k=n.

5) ++…+=2n – примем пока без доказательства (доказательство приведем после изучения темы «Бином Ньютона».

Свойства 1) и 2) позволяют расположить биномиальные коэффициенты в виде треугольника.

Построенная таблица чисел известна как треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля — это бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел.

В такой форме треугольник Паскаля появился в сочинении Паскаля "Трактат об арифметическом треугольнике", изданном в 1665 г. уже после смерти автора. В указанном сочинении была опубликована следующая таблица, в которой каждое число А равно сумме предшествующего числа в том же , что и А, горизонтальном ряду, и предшествующего числа в том же, что и А, вертикальном ряду:

Таким образом, наш треугольник отличается от "треугольника" рассматриваемого самим Паскалем, поворотом на 45 градусов.

Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего "треугольника". Приведем для примера лишь 3 свойства "треугольника", найденные самим Паскалем; при этом будем исходить из того расположения "треугольника" на плоскости, какое было указанно Паскалем, и говорить о горизонтальных и вертикальных рядах.

Свойство 1:

Свойство 2:

Свойство 3:

Решение примеров

Самостоятельная работа 2 варианта.