Решение задач на проценты, смеси и сплавы

Решение задач на проценты, смеси и сплавы Учитель МБОУ СОШ №4 г.Янаул РБ Рощина Г.Ф.

Решение Задач на проценты 1. Семь одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов 10 таких рубашек же дороже куртки?

Семь одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов 10 таких рубашек же дороже куртки? Куртку принимаем за 100% 7 рубашек принимаем за 100-2=98% узнаем, сколько процентов составляет одна рубашка: 98:7=14% узнаем, сколько процентов составляет десять рубашек: 14·10=140% Десять рубашек дороже куртки на 140-100=40% ответ: 40%

2. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 82 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды? вода Сухое вещество виноград 90% 10% изюм 5% 95%

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 82 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды? Узнаем, сколько сухого вещества содержится в 82кг изюма: 82 – 100% =77,9 х – 95% узнаем, сколько винограда потребуется, чтобы получить из него 77,9 кг сухого вещества; т.к. это составляет 10%=0,1 , тогда 77,9:0,1=779 (кг) ответ: 779кг  

3. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 112%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Пусть в семейный бюджет муж приносит х%; жена – у%; дочь – z% , тогда составим систему уравнений: х+у+z=100 3х+у+z=212 <=> 2х=112 <=> х=56 х+у+0,5z=97 0,5z=3 z=6 Осталось найти процент вклада жены в общий доход семьи: 100 – 56 – 6 = 38% ответ: 38%

4. Митя, Артем, Паша и Женя учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 18% уставного капитала, Артем — 60000 рублей, Паша — 0,18 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Женя. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1100000 рублей причитается Жене? Ответ дайте в рублях.

Узнаем, какая доля кому принадлежит: доля паши: 0,18; Мити : 18% = 0,18. найдем долю артема : 200000 – 100% 60000 – х% х==30%=0,3 найдем долю жени: 1 - 0,18 - 0,3 - 0,18 = 0,34 т.е. от прибыли 1100000 рублей Женя получит 0,34 · 1100000 = 374000 рублей ответ: 374000 рублей

5. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 900 рублей, через два года был продан за 16 929 рублей.

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число % от предыдущей цены. Определите, на сколько % каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 900 рублей, через два года был продан за 16 929 рублей. Пусть цена холодильника ежегодно снижается на х% , тогда за 1 год – на (1- 0,01х) за 2 года – на (1-0,01х)² составим и решим уравнение: 20900 (1-0,01х)²=16929 (1-0,01х)²=0,81 1-0,01х =0,9 х=10, т.е. на 10% каждый год уменьшалась цена холодильника ответ: 10%

6. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

пусть банк начисляет х% годовых по вкладам; тогда за 1 год вклад клиента а. составит 7700(1+0,01х); через 2 года - 7700(1+0,01х)² по условию задачи клиент а. получил на 847 рублей больше клиента б., т.е. 7700(1+0,01х)² - 7700(1+0,01х)=847 пусть 1 + 0,01х = у, тогда 7700у² -7700у-847=0 /:77 100у² -100у-11=0 д=14400; (не подходит) вернемся к замене: 1+0,01х=1,1 х=10, т.е. процентная ставка банка 10% Ответ: 10%

Решение Задач на смеси и сплавы Предлагаю краткую запись задач оформлять с помощью «бочонков»

7. Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Итак, 4л - 15%; 6л – 25%; требуется найти х% полученного раствора Составим и решим уравнение: 0,6+1,5=0,1х 0,1х = 2,1 х = 21, т.е. концентрация получившегося раствора равна 21% Ответ: 21%

8. Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Т.к. смешивают равные массы, обозначили массу через m Составим и решим уравнение: 0,15m+0,19m=0,02mx 0,02x=0,15+0,19 0,02x=0,34 х=17, т.е. концентрация получившегося раствора равна17% Ответ: 17% Или  

9. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Т.к. неизвестны массы сплавов, обозначили их через х и у кг Составим и решим систему уравнений: 0,1х+0,3у=50,/·(-10) х+у=200; -х-3у=-500, х+у=200; -2у=-300, у=150, х=200-150=50. Вернемся к вопросу задачи и ответим на него: 150-50=100 Ответ: 100кг

10. В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Обратим внимание на то, что водный раствор имеет 0% вещества Составим и решим уравнение: 0,6=0,12х х=0,6:0,12 х=5 т.е. концентрация получившегося раствора 5% Ответ: 5%

11. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Здесь речь идет о двух смешиваниях Составим и решим систему уравнений:

0,3х+0,6=0,36х+0,36у+3,6 0,3х+0,6у+5=0,41х+0,41у+4,1; -0,06х+0,24у=3,6 /(-0,06) -0,11х+0,19у=-0,9 /·100; х-4у=-60 /·11 -11х-44у=-90; 11х-44у=-660, -11х+19у=-90; -25у=-750, у=30; х=4у-60=430-60=60 ответ: 60 кг

12. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

В этой задаче неизвестны массы сплавов и масса полученного сплава Составим и решим уравнение: 0,6х+0,45у=0,55(х+у), 0,6х+0,45у=0,55х+0,55у 0,05х=0,1у /·20 х=2у, т.е. отношение, в котором надо взять сплавы равно Ответ: