Презентация "Виды комбинаторики"

Виды комбинаторики Подготовила : Копецкая М.Г преподаватель математики ГАПОУ»СЛТ»

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Особая примета комбинаторных задач – это вопрос, который можно сформулировать таким образом, что он начинался бы словами: «Сколькими способами…?», «Сколько вариантов…?».  

Задача1 . В студенческой столовой предлагают 2 первых блюда: борщ и рассольник и 4 вторых блюда: гуляш, котлеты, плов, сосиски. Сколькими способами обучающийся может выбрать себе обед из первого и второго блюда? Задача1 . В студенческой столовой предлагают 2 первых блюда: борщ и рассольник и 4 вторых блюда: гуляш, котлеты, плов, сосиски. Сколькими способами обучающийся может выбрать себе обед из первого и второго блюда?

Решение. Решение. Составим все возможные пары. Для краткости будем писать первую букву блюда. БГ РГ БК РК БП РП БС РС Итак, мы получили 8 пар, значит, всего существует 8 вариантов выбора обеда. Ответ: 8 способами.

Задача 3 . Сколькими способами можно выполнить замену двух занятий на понедельник в группе МЦ-11, если в этот день могут работать преподаватель математики, преподаватель физики, преподаватель информатики и преподаватель английского языка? Задача 3 . Сколькими способами можно выполнить замену двух занятий на понедельник в группе МЦ-11, если в этот день могут работать преподаватель математики, преподаватель физики, преподаватель информатики и преподаватель английского языка?

Составим все возможные пары Составим все возможные пары 1 занятие М М М Ф Ф Ф И И И А А А 2занятие Ф И А М И А М Ф А М Ф И мы получили 12 пар, значит, всего существует 12 вариантов изменения расписания. Ответ: 12 способами.  

Задание для группы1 Задание для группы1 Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трёх горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой, отличный от других стран, флаг?

Задание для группы 2. Задание для группы 2. Пяти обучающимся предлагается поздороваться, т.е. пожать друг другу руку и ответить на вопрос: сколько всего было рукопожатий? Решение: Каждый из пяти обучающихся пожал руку четырём обучающимся. Однако произведение даёт удвоенное число рукопожатий (т.к. в этом расчёте учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому). Итак, число рукопожатий равно Ответ: 10 рукопожатий.

Задание для группы 3. Задание для группы 3. Используя подготовленный заранее материал из цветной бумаги, решить следующую задачу: Для праздничного чаепития испекли пирожные четырёх видов. Сколькими способами можно выбрать два из них для угощения?

Немного истории С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, по вертикалям и главным диагоналям была одной и той же.

В Древней Греции изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата. В Древней Греции изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата.

Значительный толчок к развитию комбинаторики дали азартные игры, существовавшие еще в глубокой древности, но получившие особенное распространение после крестовых походов. Наибольшее распространение получила игра в кости – два или три кубика с нанесенными на них очками выбрасывали на стол, и ставку брал выбросивший большую сумму очков. Значительный толчок к развитию комбинаторики дали азартные игры, существовавшие еще в глубокой древности, но получившие особенное распространение после крестовых походов. Наибольшее распространение получила игра в кости – два или три кубика с нанесенными на них очками выбрасывали на стол, и ставку брал выбросивший большую сумму очков.

Несмотря на древность игр, в которых применялись кости, они долго не подвергались математическому исследованию. Но игроки, неустанно упражнявшиеся в бросании костей, заметили, что некоторые суммы очков выпадают часто, а другие – редко. Пытаясь понять, в чем тут дело, составляли таблицы, показывающие, сколькими способами можно получить то или иное число очков. Несмотря на древность игр, в которых применялись кости, они долго не подвергались математическому исследованию. Но игроки, неустанно упражнявшиеся в бросании костей, заметили, что некоторые суммы очков выпадают часто, а другие – редко. Пытаясь понять, в чем тут дело, составляли таблицы, показывающие, сколькими способами можно получить то или иное число очков.

Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино. Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино.

Не только игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Ещё с древних пор дипломаты, стремясь к тайне переписке, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов. Не только игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Ещё с древних пор дипломаты, стремясь к тайне переписке, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов.

Многие учёные проводили исследования по комбинаторике. И только в 1666 году была опубликована работа Готфрида Вильгельма Лейбница «Об искусстве комбинаторики». С этого момента комбинаторику стали рассматривать как самостоятельный раздел математики. Многие учёные проводили исследования по комбинаторике. И только в 1666 году была опубликована работа Готфрида Вильгельма Лейбница «Об искусстве комбинаторики». С этого момента комбинаторику стали рассматривать как самостоятельный раздел математики.

Комбинаторика – важный раздел математики, знание которого необходимо представителям самых разных специальностей. А появление компьютеров резко увеличило возможности комбинаторики и расширило сферу ее применения. Комбинаторика – важный раздел математики, знание которого необходимо представителям самых разных специальностей. А появление компьютеров резко увеличило возможности комбинаторики и расширило сферу ее применения.

в производстве (распределение нескольких видов работ между рабочими), в производстве (распределение нескольких видов работ между рабочими),

в агротехнике (размещение посевов на нескольких полях), в агротехнике (размещение посевов на нескольких полях),

в учебных заведениях (составление расписаний) в учебных заведениях (составление расписаний)

в химии (анализ возможных связей между химическими элементами в химии (анализ возможных связей между химическими элементами

в сфере общественного питания (составление меню), в сфере общественного питания (составление меню),

на почте (рассмотрение вариантов пересылки), на почте (рассмотрение вариантов пересылки),

в спортивных соревнованиях (расчёт количества игр между участниками) в спортивных соревнованиях (расчёт количества игр между участниками)

в биологии (расшифровка кода ДНК), в биологии (расшифровка кода ДНК),

в географии (раскраска карт) в географии (раскраска карт)

в астрологии (анализ расположения планет и созвездий). в астрологии (анализ расположения планет и созвездий).

в экономике (анализ вариантов купли-продажи акций), в экономике (анализ вариантов купли-продажи акций),

Комбинаторика повсюду. Комбинаторика везде. Комбинаторика вокруг нас.

А что мы обозначаем с помощью восклицательного знака? А что мы обозначаем с помощью восклицательного знака?

С помощью восклицательного знака обозначается произведение всех натуральных чисел от до включительно: С помощью восклицательного знака обозначается произведение всех натуральных чисел от до включительно: n!= 1·2·3·…·(n-1)n

Как называется это произведение? Who (англ.) 3 2 4 1

произведение называется « факториал», и считается, что1!=1 произведение называется « факториал», и считается, что1!=1 0!=1 2!= 1· 2 =2 3!= 1·2·3=6 4!=1·2·3·4=24 5!=1·2·3·4·5=120 5!=2!3·4·5=3!4·5=4!5 n!=(n-1)!n

Пусть даны три буквы АВС. Составим все возможные комбинации только из двух букв: АВ,ВА,АС,СА,ВС,СВ Всего 6 комбинаций. Видим, что они отличаются или буквами, или их порядком. Комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов, называются размещениями. Размещения обозначаются символом Пусть даны три буквы АВС. Составим все возможные комбинации только из двух букв: АВ,ВА,АС,СА,ВС,СВ Всего 6 комбинаций. Видим, что они отличаются или буквами, или их порядком. Комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов, называются размещениями. Размещения обозначаются символом

Число размещений вычисляется по формуле .

Теперь составим все возможные комбинации из двух букв, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом: АВ,ВС,АС, Всего 3 комбинации. Комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Сочетания обозначаются символом. Число сочетаний вычисляется по формуле . Теперь составим все возможные комбинации из двух букв, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом: АВ,ВС,АС, Всего 3 комбинации. Комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Сочетания обозначаются символом. Число сочетаний вычисляется по формуле .

Составим все возможные комбинации из этих трёх букв: Всего 6 комбинаций. Видим, что они отличаются друг от друга только порядком расположения букв. Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками. Перестановки обозначаются символом . Число перестановок вычисляется по формуле Р=n! Составим все возможные комбинации из этих трёх букв: Всего 6 комбинаций. Видим, что они отличаются друг от друга только порядком расположения букв. Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками. Перестановки обозначаются символом . Число перестановок вычисляется по формуле Р=n!

Сколькими способами можно рассадить за столом 10 человек?» Сколькими способами можно рассадить за столом 10 человек?» Р10 =10! =3628800 Если каждый день приходить в ресторан и размещаться в ином порядке, понадобится почти 10000 лет. Кажется невероятным, чтобы 10 человек могли размещаться таким большим числом различных способов, но расчёты именно таковы.

Комбинации Порядок элементов (важен/не важен) Состав (важен/не важен Формула

комбинации Порядок элементов Состав (важен/не важен Формула перестановки важен - P!= n! Размещения важен важен Сочетания Не важен важен

В группе 25 обучающихся. Сколькими способами можно составить список группы? Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя? Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных? В группе 25 обучающихся. Сколькими способами можно составить список группы? Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя? Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных?

решение Список группы можно составить 25! способами. Старосту и его заместителя можно выбрать способами.

Трёх дежурных можно выбрать способами

1.Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков? 1.Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков? 1)30 2)100 3)120 4) 5   2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?   1)128 2) 35960 3) 36 4) 46788   Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?   1)100 2)30 3) 5 4) 120   2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей? 1)3 2)6 3)2 4)1  

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными? 3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?   1)10 2) 60 3) 20 4) 30   4. Вычислить: 6! -5!   1)600 2)300 3)1 4) 1000 3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.  10000 2)60480 3)56 4) 39450 4. Вычислите:  1) 2 2)56 3)30 4)

Домашнее задание 1.Сколькими способами можно переставить буквы слова «Ананас»? 2. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера? 3. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?