Презентация по теме "Применение производной к исследованию функций

ГБПОУ ПО «Кузнецкий многопрофильный колледж» Применение производной к исследованию функций. Возрастание и убывание функций.Экстремумы Преподаватель:Мустакаева Г.Р.

Физический смысл производной Производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0  x'(t). = (t)

Убывающая функция Возрастающая функция

Функция Производная Монотонность функции на промежутках, где f/(x) > 0 Монотонность функции на промежутках, где f/(x) < 0 f(x) = х3-3х f(x)=2x3

Функция Производная Монотонность функции на промежутках, где f/(x) > 0 Монотонность функции на промежутках, где f/(x) < 0 f(x) = х3-3х f/(x) = 3х2-3 (-оо;-1)u(1;оо) (-1;1) f(x)=2x3 f/(x) = 3х2-3 (-оо;оо) -

Признаки возрастания и убывания Если f/(x) >0 в каждой точке интервала,то функция f(x) возрастает на этом интервале. Если f/(x) <0 в каждой точке интервала,то функция f(x) убывает на этом интервале.

Алгоритм 1. Указать область определения функции. Найти производную функции y=f(x). Определить промежутки, в которых f/(x) )>0 и  f / (x)<0. Сделать выводы о монотонности функции.

f(x)=2x3 f(x) = х3-3х монотонно возрастает на всей числовой прямой Xmin=1 Xmax=-1

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех хх0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x)< f(x0) 

Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех хх0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x) f(x0) 

Наибольшее значение данная функция в этой окрестности принимает вточке х=-1, точку х=-1 называют точкой максимума функции. Наименьшее значение данная функция в этой окрестности принимает в точке х=1. Точку х=1 называют точкой минимума функции.

f / (x)=0 Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими точками. Внутренние точки области определения функции, при которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

Задание 2. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции у = х5–5х4 +5х3 – 4. Задание 1. Определите промежутки монотонности функции у = -3х3 + 4х2 + х – 10.

Решение 1. 1. Область определения функции: D(y )=  (-оо;+оо) 2. Производная функции: y/=-9x2+8x+1 ; y/ = (x – 1)(-9x – 1) 3. Промежутки монотонности: функция возрастает на функция убывает на Решение 2. 1. D(y)=(-oo;+oo) 2.у/=5х4-20х3+15х2=5х2(х-1)-(х-3) 3. Функция возрастает на (-оо;1]u[3;+оо); функция убывает на [1;3]. 4.Экстремумы: хmax=1; хmin=3

Задание 3.Определить область определения,промежутки монотонности функции. Задание 4.Определить количество промежутков возрастания, найти длину наибольшего.

Задание 5.На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−0,5;4,3). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции положительна.

Задание 6.На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−0,5;4,3). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции отрицательна.