Презентация "Некоторые примеры решения комбинаторных задач"

Алгебра, 9 класс Примеры комбинаторных задач

ПЕРЕСТАНОВКИ Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Число перестановок из n элементов обозначается символом Рn (Р из n элементов).

ПЕРЕСТАНОВКИ В книжном шкафу на полке стоят 3 книги, как эти книги можно переставить? Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения? Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках? Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0,2,4,6?

решение 1. Р3= 3*2*1= 6 = 3! 2. Р5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120 3. Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что Р8=8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320. 4. из цифр 0,2,4,6 можно получить Р4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. Число таких перестановок равно Р3. значит, искомое число четырехзначных чисел равно Р4-Р3 = 4!-3! = 24 – 6= 18.

Задачи для самостоятельного решения Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова «брак»? Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом? В турнире участвуют семь команд. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?  Сколькими способами 5 человек могут занять очередь в железнодорожную кассу? Сколько вариантов расписания уроков возможно составить, если в день шесть уроков: математика, русский язык, география, биология, физкультура, информатика, если: а) урок математики должен быть только первым? б) урок физкультуры не может быть первым? в) урок русского языка не может быть ни первым, ни шестым? г) урок биологии может быть или четвертым, или шестым? д) урок математики и урок информатики должны стоять рядом

Размещения Размещением из n элементов по k (k меньше или равно n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. Обозначение:

Задачи Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета? В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день? В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различны? Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?

Решения 8*7*6*5 = 1680. 10*9*8*7*6 = 30240 способов. из 15 предметов 5 любых можно выбрать А155= 15*14*13*12*11= 360360. 8*7*6 = 336.

Задачи для самостоятельного решения Сколько трёхзначных чисел может быть составлено из нечётных цифр так, чтобы цифры в каждом числе не повторялись?  Сколькими способами могут быть заняты пер­вое, второе и третье места (по одному человеку на место) на сорев­нованиях, в которых участвуют: 1) 5 человек; 2) 6 человек? Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м? На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4x100 м на первом, вто­ром, третьем и четвертом этапах? Сколькими способами 6 студентов, сдающих эк. замен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноме­стных столов?

Сочетания Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

Задачи Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор? На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек? Сколько существует способов выбрать троих ребят из четверых желающих дежурить по столовой? В классе 7 человек успешно занимаются матема­тикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для уча­стия в математической олимпиаде?

Решения Количество сочетаний из 4 по 3 (порядок выбора не имеет зна­чения) равно Иначе можно рассуждать так. Вместо выбора троих дежурных выберем одного, который не будет дежурить, а трех оставшихся отправим на дежурство. Количество способов выбрать одного из четверых ребят равно 4. Выбираем 2 учащихся из 7, порядок выбора не имеет значения (оба выбранных пойдут на олимпиаду как полностью равноправ­ные); количество способов выбора равно числу сочетаний из 7 по 2:  = 4  способ.

Задачи для самостоятельного решения В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора? Учащимся дали список из 10 книг, которые ре­комендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг? Из лаборатории, в которой работают заведую­щий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если: а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку; б) заведующий лабораторией должен остаться? В отделе работают 5 ведущих и 8 старших на­учных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трех старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в команди­ровку?