Презентация «Преобразование графиков функций»

Преобразования графиков функций Цель презентации: дать теоретическое обоснование и практический прием выполнения основных преобразований графиков функций

Пусть y=f(x)- заданная функция. График этой функции может быть подвергнут преобразованиям: y = f(x)+a y = f(x+a) y = - f(x) y = f(-x) y = |f(x)| y = f(|x|) y = аf(x) y = f(аx) комбинации преобразований Примечание: После рассмотрения каждого из выделенных видов преобразований Вы можете вернуться на этой слайд, воспользовавшись гиперссылкой «Возврат».

Заметим, что в уравнении функции y = f(x)+a «а»- слагаемое при f(x). Значит: при одном значении аргумента значение функции y = f(x)+a отличается от значения функции y= f(x) на «а», то есть:  Если а>0, то значение функции y = f(x)+a больше значения функции y = f(x) на «a».  Если а<0, то значение функции y = f(x)+a меньше значения функции y = f(x) на «|a|». Взаимное расположение графиков в выделенных случаях проиллюстрировано на Рис.1. Преобразование y=f(x)+a

Практический прием построения графика функции y = f(x)+a преобразованием графика функции y = f(x): Чтобы построить график функции y = f(x)+a , можно график функции y = f(x) подвергнуть параллельному переносу на |a| единиц вверх, если а>0, вниз, если а<0. y = f(x) y = f(x)+a (а>0) y = f(x)+a (а<0) У О Х

Возврат Элементы самоконтроля (правильности построения графика): Аналитическим путем найти область определения функции и сопоставить с соответствующим свойством графика; найти множество значений функции и сопоставить с соответствующим свойством графика; найти корни функции и сравнить их с абсциссами (абсциссой) точек пересечения графика с осью абсцисс; найти ординату точки пересечения графика функции с осью ординат и сравнить с соответствующей характеристикой точки графика Замечание: если график основной функции y = f(x) имеет асимптоты, то и результатирующий график, полученный в результате преобразования (композиции преобразований) также имеет асимптоты.

Преобразование y=f(x+a) 1. Сравнивая уравнения функций y = f(x) и y = f(x+a), заметим, что «a» - слагаемое при аргументе. 2. Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций. 3. Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(x+а). То есть верны равенства: y0= f(х0), y0= f(х1 +а). Отсюда верно равенство: х0= х1 +а или х1 = х0- а Последнее равенство говорит о том, что:     #    если а0, то х1х0 на «а», #  если а 0, то х1х0 на «а».

Полученные выводы дают обоснование взаимному расположению графиков функций y=f(x) и y=f(x+a): если а0, то для получения графика функции y=f(x+a) можно график функции y=f(x) «сдвинуть» на «а» влево; если а 0, то для получения графика функции y=f(x+a) можно график функции y=f(x) «сдвинуть» на «а» вправо (движение вдоль оси абсцисс). У О Х а а y=f(x) y=f(x+a) y=f(x+a)

Преобразование y=-f(x) Уравнение функции y = - f(x) можно привести к виду y = (-1)f(x). Не трудно заметить, что при одном значении аргумента значение функции y = - f(x) противоположно значению функции y= f(x). Это означает, что если точка с координатами (х0,y0) – точка графика y=f(x), то точка с координатами (х0,- y0) – точка графика y= - f(x). По свойству взаимного расположения точек координатной плоскости: точки с равными абсциссами и противоположными ординатами симметричны относительно оси абсцисс. Вывод: График функции y = - f(x) можно получить из графика функции y = f(x), выполнив преобразование «осевая симметрия относительно оси абсцисс». Взаимное расположение графиков продемонстрировано на Рис.3

У О Х При выполнении симметрии относительно оси абсцисс целесообразно помнить: отрезки переходят в равные отрезки, прямые – в прямые, кривые – в равные им кривые; характеристические точки основного графика переходят в симметричные им точки относительно оси абсцисс; точки пересечения основного графика с осью абсцисс отображаются на себя (остаются на месте) если мысленно перегнуть плоскость по оси абсцисс, графики функций «наложатся» друг на друга y = f(x) y = - f(x)

Преобразование y=f(-x) 1. Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций. 2. Сравнивая уравнения функций y = f(- x) и y = f(x), заметим, что аргументы противоположны. 3. Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(- x). То есть верны равенства: y0=f(х0), y0=f(х1). Отсюда верно равенство: х0= - х1 или х1 = - х0 Вывод: Если аргументы функций противоположны, то значения функций равны.

Геометрической интерпретацией полученного вывода является утверждение: если точка с координатами (х0,y0) – точка графика y=f(x), то точка с координатами (- х0, y0) – точка графика y= f(- x). По свойству взаимного расположения точек координатной плоскости: точки с противоположными абсциссами и равными ординатами симметричны относительно оси ординат. Вывод: График функции y = f(- x) можно получить из графика функции y = f(x), выполнив преобразование «осевая симметрия относительно оси ординат». Взаимное расположение графиков продемонстрировано на Рис.4

У О Х При выполнении симметрии относительно оси ординат целесообразно помнить: отрезки переходят в равные отрезки, прямые – в прямые, кривые – в равные им кривые; характеристические точки основного графика переходят в симметричные им точки относительно оси ординат; точка пересечения основного графика с осью ординат отображается на себя (остается на месте) если мысленно перегнуть плоскость по оси ординат, графики функций «наложатся» друг на друга y=f(x) y=f(-x)

Преобразование y=|f(x)| Значит, для построения графика функции y=|f(x)|, можно в одной системе координат построить графики функций y=f(x) (основной график) и y=- f(x) (симметрия основного графика относительно оси абсцисс). Графиком функции y=|f(x)| будет объединение множеств точек: графика функции y=f(x) на том множестве области определения, на котором f(x)  0, графика функции y=- f(x) на том множестве области определения, на котором f(x)<0. Этапы построения графиков выделены на Рис.5-6. Уравнение функции y=|f(x)| можно записать в виде: y= f(x), если f(x)  0 - f(x), если f(x) <0

y=f(x) y=- f(x) Результатирующий график y=|f(x)| Практический прием: Для построения графика функции y=|f(x)| преобразованием графика y=f(x) можно: множество точек графика y=f(x), расположенных в верхней полуплоскости, оставить на месте, множество точек графика y=f(x), расположенных в нижней полуплоскости, отобразить в верхнюю полуплоскость преобразованием «осевая симметрия» относительно оси абсцисс. У О Х У О Х

Преобразование y=f(|x|) Уравнение функции y=f(|x|) можно записать в виде: y= f(x), если x  0 f(-x), если x < 0 Значит, для построения графика функции y=f(|x|) можно в одной системе координат построить графики функций y=f(x) (основной график) и y=f(-x) (симметрия основного графика относительно оси ординат). Графиком функции y=f(|x|) будет объединение множеств точек: графика функции y=f(x) на том множестве области определения, на котором x  0, графика функции y= f(-x) на том множестве области определения, на котором x <0. Этапы построения графиков выделены на Рис.7-8.

У О Х У О Х y=f(x) y= f(- x) Результатирующий график y=f(|x|) Практический прием: Для построения графика функции y=f(|x|) преобразованием графика y=f(x) можно: множество точек графика y=f(x), расположенных в правой полуплоскости, оставить на месте, множество точек графика y=f(x), расположенных в правой полуплоскости, отобразить в левую полуплоскость преобразованием «осевая симметрия» относительно оси ординат, Замечание: Множество точек основного графика y=f(x), расположенные в левой полуплоскости «исчезают».

Преобразование у=af(x) Преобразование у=af(x) рассмотрим при а>0, выделяя случаи: 0<а<1 и а >1. Замечание: Если а<0, то график функции у=af(x) можно построить подвергнув график функции y=f(x) композиции преобразований y=-f(x) и у=af(x) при а>0. Заметим, что в уравнении функции y = аf(x) «а»- сомножитель при f(x). Значит: при одном значении аргумента модуль значения функции y = аf(x) равен произведению модуля значения функции y= f(x) и «а», то есть:  Если 0<а<1 , то модуль значения функции y = аf(x) меньше модуля значения функции y = f(x).  Если а >1, то модуль значения функции y = аf(x) больше модуля значения функции y = f(x). Дадим иллюстрацию взаимного расположения графиков в выделенных случаях при а=1/2 (Рис.9) и а=2 (Рис.10).

У О Х У О Х y=f(x) y=f(x) y=1/2f(x) y= 2f(x) В этом случае говорят: произошло сжатие графика функции y=f(x) к оси абсцисс. В этом случае говорят: произошло растяжение графика функции y=f(x) от оси абсцисс. Заметьте, что во всех рассмотренных случаях точки оси абсцисс не изменили своего положения, то есть остались на месте.

Преобразование y=f(ax) Преобразование у=f(аx) рассмотрим при а>0, выделяя случаи: 0<а<1 и а >1. Замечание: Если а<0, то график функции у=f(аx) можно построить подвергнув график функции y=f(x) композиции преобразований y=f(-x) и у=f(аx) при а>0. Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций. Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(аx). То есть верны равенства: y0=f(х0), y0=f(ах1). Отсюда верно равенство: х0=ах1 или х1 =1/а  х0 Последнее равенство позволяет сделать следующие выводы: 1. Если 0<а<1, то (1/а )>1, то есть |х1 | > | х0 | в (1/а) раз.

Геометрическая интерпретация этого факта: соответствующие точки графиков функций y=f(x) и у=f(аx) имеют равные ординаты, а соотношение модулей их абсцисс равно (1/а), причем модуль абсциссы графика функции у=f(аx) в 1/а раз больше. Иллюстрацию этого случая рассмотрим на примере взаимного расположения графиков функций y=f(x) и у=f(1/2·x). У О Х y=f(x) у=f(1/2·x) В этом случае говорят: произошло растяжение графика функции y=f(x) от оси ординат. Заметьте, что точка оси ординат не изменила своего положения, то есть осталась на месте.

2. Если а>1, то (1/а ) <1, то есть |х1 | < | х0 | в (а) раз. Геометрическая интерпретация этого факта: соответствующие точки графиков функций y=f(x) и у=f(аx) имеют равные ординаты, а соотношение модулей их абсцисс равно (1/а), причем модуль абсциссы графика функции у=f(аx) в (а) раз меньше. Иллюстрацию этого случая рассмотрим на примере взаимного расположения графиков функций y=f(x) и у=f(2·x). y=f(x) у=f(2·x) В этом случае говорят: произошло сжатие графика функции y=f(x) к оси ординат. Заметьте, что точка оси ординат не изменила своего положения, то есть осталась на месте. У О Х

Комбинации преобразований y=f(x) y=|f(x)| Преобразование y=f(|x|) y=f(|x|) у=af(x) Преобразование у=af(x) y=f(ax) Преобразование y=f(ax)

У О Х

У О Х