Презентация «Функция. Свойства функции»

Функция. Свойства функции. Выполнил: учитель математики и информатики МОУ СШ № 7 Волгограда Изотова Ирина Юрьевна

План: Определение функции. Область определения. Область значений. Способы задания функции. Возрастание, убывание функции. Ограниченность функции. Наибольшее, наименьшее значения функции. Выпуклость, вогнутость функции. Четность, нечетность функции. Элементарные функции, их свойства и графики.

Определение функции Определение функции Зависимость между двумя переменными х и у, при котором каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у называют функцией . Обозначают у = f(х), где х – независимая переменная (аргумент), у = f(x) – зависимая переменная (функция). х2 х1 у2 у1 у х О у х хо у1 у2 О хо у1 у2 у х О Не является функцией Не является функцией Является функцией

Область значений функции х у О Область значений функции Множество всех значений функции у = f(х), где х принадлежит Х (области определения). Обозначение: Е(f) = [m;n] Область определения функции Множество всех допустимых значений х (аргумента, независимой переменной) при которых выражение имеет смысл. Обозначение: D(f) = [а;b] b a х у О n m

Способы задания функции Табличный. Аналитический (формулой) у = 2х + 5; f(x) = n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Описанием (с помощью естественного языка) Например: «Каждому отрицательному числу соответствует – 1, нулю – число 0, а каждому положительному – число 1» Графический х у

Свойства функции Возрастание Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве D(f), если для любых двух точек х1 и х2 области определения, таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(x1 ) < f(x2). (Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции) Убывание Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве D(f), если для любых двух точек х1 и х2 области определения, таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(x1 ) > f(x2). (Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции) у x О Термины «возрастающая», «убывающая» функция объединяют общим названием МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ. x у О

Ограниченность функции Функцию у = f(x) называют ограниченной снизу на множестве D(f), если все значения функции на области определения больше некоторого числа. (Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) > m.) Функцию у = f(x) называют ограниченной сверху на множестве D(f), если все значения функции на области определения меньше некоторого числа. (Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) < m.) Если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = m. Если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = m. у x О m Если функция ограниченна и сверху и снизу, то ее называют ограниченной. у x О m

Наибольшее (наименьшее) значения функции Число m называют наименьшим значением функции у = f(x) на множестве D(f), если: в области определения существует такая точка хо , что f(хо ) = m; для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f(хо). Обозначение: У наим. = у(хо) = m. M хо х О у хо m Если у функции существует У наим, то она ограничена снизу. Если функция не ограничена снизу, то У наим. не существует. Если у функции существует У наиб., то она ограничена сверху. Если функция не ограничена сверху, то У наиб. не существует. Число M называют наибольшим значением функции у = f(x) на множествеD(f), если: в области определения существует такая точка хо , что f(хо ) = M; для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f(хо). Обозначение: у наиб. = у(хо) = M. у х О

Выпуклость, вогнутость функции Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка. О x у Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка. x у О

Четность, нечетность функции Функция у = f(х) называют четной, если: Область определения ее симметрична относительно начала координат; Для любого х из D(у) выполняется равенство f(-x) = f(x). Функция у = f(х) называют нечетной, если: Область определения ее симметрична относительно оси ОУ; Для любого х из D(у) выполняется равенство f(-x) = - f(x). у x О График симметричен относительно оси ОУ. График симметричен относительно начала координат. О у x

Алгоритм исследования функции Область определения. Область значений. Четность, нечетность функции. Возрастание, убывание функции. Ограниченность функции. Наибольшее, наименьшее значения функции. Непрерывность функции. Выпуклость, вогнутость функции.

Линейная функция 1. D(f) = R; 2. Не является ни четной ни нечетной; 3. Если k > 0, возрастает, если k < 0 убывает; 4. Не ограничена ни снизу, ни сверху; 5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 6. Функция непрерывна; 7. 8. Не имеет выпуклости. х у K < 0 О У = kx + m m У = kx + m О у х K > 0 m

Функция 1. 2. Нечетная функция; 3. Если k > 0, то функция убывает на D(f), если k < 0, то функция возрастает на D(f); 4. Не ограничена ни сверху, ни снизу; 5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; 6. Функция терпит разрыв в точке х = 0; 7. 8. Если k > 0, то функция выпукла вверх при х < 0, и выпукла вниз при х > 0; Если k < 0, то функция выпукла вверх при х > 0, и выпукла вниз при х < 0. K > 0 x О у у K < 0 О х

Функция 1. D(f) = [0; + ∞); 2. Не является ни четной ни нечетной; 3. Возрастает; 4. Не ограничена ни снизу, ни сверху; 5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение 0, при х = 0; 6. Функция непрерывна; 7. Е(f) = [0; + ∞) 8. Выпукла вверх. у х О

Функция 1. D(f) = R; 2. Функция четная; 3. Возрастает на [0; + ∞); убывает ( - ∞; 0] 4. Не ограничена сверху, ограничена снизу; 5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение 0, при х = 0; 6. Функция непрерывна; 7. Е(f) = [0; + ∞) 8. Выпукла вниз. 1. D(f) = R; 2. Функция четная; 3. Убывает на [0; + ∞); возрастает ( - ∞; 0] 4. Не ограничена снизу, ограничена сверху; 5. Наименьшего значения нет, наибольшее значение 0, при х = 0; 6. Функция непрерывна; 7. Е(f) = ( - ∞; 0]; 8. Выпукла вверх. О у х a > 0 у О х у a < 0