Задание №16 ОГЭ по математике часть 1

Задание №16

Задача №1 Четырехугольник АВСD вписан в окружность. ∠ АВС равен 38°, ∠САD равен 33°. Найдите угол АВD. Ответ дайте в градусах. Дано: ∠АВС = 38°, ∠САD = 33°. Найти: ∠АВD. Решение: 1) ∠DBC = ∠CAD = 33°, так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу DC. 2) ∠АВD = ∠AВC – ∠DBC = 38° – 33° = 5° Ответ: 5.

Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°. Дано: Sкруга = 69, угол кругового сектора равен 120°. Найти: Sсектора. Решение: Ответ: 23. Задача №2

Угол А четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол С этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. Дано: АВСD вписан в окружность, ∠А = 33°. Найти: ∠С. Решение: ∠C = 180° – ∠A = 180° – 33° = 147°, так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Ответ: 147. Задача №3

Отрезки АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 53°. Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах. Дано: АС и BD – диаметры окружности, ∠АСВ = 53°. Найти: ∠ АОD. Решение: 1) АCВ = 53° – вписанный угол, опирающийся на ᴗ АВ, поэтому ᴗ АВ = 53°  2 = 106°, так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Ответ: 74. 2) BD – диаметр, значит ᴗ ВАD = 180°. 3) ∠ АОD – центральный угол, опирающийся на ᴗ АD, следовательно ∠ АОD = ᴗ АD = 180° – 106° = 74°. Задача №4

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20,5. Найдите ВС, если АС = 9. Дано: АВ – d; r = 20,5; АС = 9. Найти: ВС. Решение: 1) ∠C = 90°, так как угол, опирающийся на диаметр, значит треугольник АВС прямоугольный. Ответ: 40. 2) r = 20,5, следовательно АВ = 20,5  2 = 41 3) По теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2 412 = 92 + ВС2 ВС2 = 1681 – 81 ВС2 = 1600 ВС = 40 Задача №5

Точка О – центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ∠АВС = 61° и ∠ОАВ = 8°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах. Дано: ∠АВС = 61°, ∠ОАВ = 8°. Найти: ∠ ВСО. Решение: 1) Проведем радиус ОВ, АО = ВО = СО = r. Ответ: 53. 2) Треугольник АОВ – равнобедренный, значит ∠А = ∠АВО = 8°. 3) Треугольник ВОС – равнобедренный, значит ∠ВСО = ∠ОВС= 61° – 8° = 53°. Задача №6

На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что : ∠АОВ = 45°. Длина меньшей дуги равна 91. Найдите длину большей дуги. Дано: ∠АОВ = 45°, длина меньшей дуги равна 91. Найти: длину большей дуги. Решение: Ответ: 637. Задача №7

Угол А четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол С этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. Дано: АВСD вписан в окружность, ∠А = 77°. Найти: ∠С. Решение: ∠C = 180° – ∠A = 180° – 77° = 103°, так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Ответ: 103. Задача №8

Четырехугольник АВСD описан около окружности, АВ = 8, ВС = 12, СD = 13. Найдите АD. Дано: АВСD описан около окружности, АВ = 8, ВС = 12, СD = 13. Найти: АD. Решение: АD + ВС = АВ + СD, так как суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны. Ответ: 9. 2) АD + 12 = 8 + 13 АD = 21 – 12 АD = 9 Задача №9

Треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 73°. Дано: треугольник АВС вписан в окружность, ∠АОВ = 73°. Найти: ∠АСВ. Решение: ∠ АОВ = 73° – центральный угол, опирающийся на ᴗ АВ, следовательно ᴗ АВ = 73°. Ответ: 36,5. 2) ∠АСВ = 73° : 2 = 36, 5° , так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Задача №10

Задача №11 Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 12. Найти высоту этой трапеции. Дано: трапеция вписана в окружность, r = 12. Найти: h. Решение: Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, поэтому h = 2  r = 2  12 = 24 . Ответ: 24.

Задача №12 Сторона АВ треугольника АВС проходит через центр описанной около него окружности . Найдите ∠ А, если ∠В = 44°. Ответ дайте в градусах. Дано: треугольник АВС вписан в окружность, ∠В = 44 °. Найти: ∠А. Решение: 1)∠C = 90°, так как угол, опирающийся на диаметр, значит треугольник АВС прямоугольный. 2)По теореме о сумме углов треугольника ∠А = 180° – (90° + 44°) = 46° Ответ: 46.

Задача №13 Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВD равен 37°, а угол САD равен 58°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах. Дано: АВСD вписан в окружность, ∠АВD = 37°, ∠САD = 58°. Найти: ∠АВС. Решение: 2) ∠САD = 58° – вписанный угол, опирающийся на ᴗ СD, поэтому ᴗ СD = 58°  2 = 116°. ᴗ АDС = ᴗ АD + ᴗ DС = 74° + 116° = 190°, значит ∠АВС = 190° : 2 = 95°. Ответ: 95. ∠АВD = 37° – вписанный угол, опирающийся на ᴗ АD, поэтому ᴗ АD = 37°  2 = 74°.

Задача №14 Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и ∠АВС = 107°. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах. Дано: АВС вписан в окружность, АВ = ВС, ∠АВС = 107°. Найти: ∠ВОС. Решение: 1)Треугольник АВС равнобедренный, поэтому в нем углы при основании равны, то есть ∠А = ∠АСВ = (180° – 107°) : 2 = 36,5°. 2)∠ВАС = 36,5° – вписанный угол, опирающийся на ᴗ ВС, поэтому ᴗ ВС = 36,5°  2 = 73°. 3)∠ ВОС – центральный угол, опирающийся на ᴗ ВС, следовательно ∠ ВОС = ᴗ ВС = 73°. Ответ: 73.

Задача №15 Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника. Дано: треугольник АВС описан около окружности, r = 6. Найти: h. Решение: 1) В равностороннем треугольнике любая высота является медианой и биссектрисой и все они пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной и описанной окружности. 2) Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины, значит h = 6  3 = 18. Ответ: 18.

Задача №16 Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причем АВ = 2, АК = 4. Найдите АС. Дано: АК – касательная, АС – секущая, АВ = 2, АК = 4 Найти: АС. Решение: АК2 = АВ  АС 42 = 2  АС АС = 16 : 2 АС = 8 Ответ: 8.