Медиана. Вероятность и статистика. 7 класс.

МЕдиана

В качестве центральной меры чаще используется среднее арифметическое, но есть числовые наборы, в которых одно или несколько чисел намного больше или намного меньше всех остальных.В таких случаях используют медиану.

Медианой числового массива называют такое число m , что хотя бы половина чисел массива не больше числа m и хотя бы половина чисел массива не меньше числа m .

Пример №1

В 2021 году в России насчитывалось 15 городов с числом жителей более 1 миллиона человек. Дисперсией ряда чисел называется среднее арифметическое Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Волгоград 1004 Москва 12655 Ростов –на −Дону 1137 Воронеж 1050 Нижний Новгород 1244 Самара 1144 Екатеринбург 1495 Новосибирск 1620 Санкт-Петербург 5384 Казань 1257 Омск 1139 Уфа 1125 Красноярск 1092 Пермь 1049 Челябинск 1187

Предположим, что мы хотим описать население российского города – миллионера одним числом. Дисперсией ряда чисел называется среднее арифметическое Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Волгоград 1004 Москва 12655 Ростов –на −Дону 1137 Воронеж 1050 Нижний Новгород 1244 Самара 1144 Екатеринбург 1495 Новосибирск 1620 Санкт-Петербург 5384 Казань 1257 Омск 1139 Уфа 1125 Красноярск 1092 Пермь 1049 Челябинск 1187

Дисперсией ряда чисел называется среднее арифметическое Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Волгоград 1004 Москва 12655 Ростов –на −Дону 1137 Воронеж 1050 Нижний Новгород 1244 Самара 1144 Екатеринбург 1495 Новосибирск 1620 Санкт-Петербург 5384 Казань 1257 Омск 1139 Уфа 1125 Красноярск 1092 Пермь 1049 Челябинск 1187 Найдём среднее арифметическое:

Но в России в большинстве городов население лишь немного превышает 1 млн. чел. Исключение Москва и Санкт-Петербург. Дисперсией ряда чисел называется среднее арифметическое Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Волгоград 1004 Москва 12655 Ростов –на −Дону 1137 Воронеж 1050 Нижний Новгород 1244 Самара 1144 Екатеринбург 1495 Новосибирск 1620 Санкт-Петербург 5384 Казань 1257 Омск 1139 Уфа 1125 Красноярск 1092 Пермь 1049 Челябинск 1187

Данные о населении в Москве и Санкт-Петербурге можно рассматривать как выбросы. Дисперсией ряда чисел называется среднее арифметическое Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Волгоград 1004 Москва 12655 Ростов –на −Дону 1137 Воронеж 1050 Нижний Новгород 1244 Самара 1144 Екатеринбург 1495 Новосибирск 1620 Санкт-Петербург 5384 Казань 1257 Омск 1139 Уфа 1125 Красноярск 1092 Пермь 1049 Челябинск 1187

Значит, среднее арифметическое не дает верного представления о населении типичного крупного города России. Дисперсией ряда чисел называется среднее арифметическое Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Волгоград 1004 Москва 12655 Ростов –на −Дону 1137 Воронеж 1050 Нижний Новгород 1244 Самара 1144 Екатеринбург 1495 Новосибирск 1620 Санкт-Петербург 5384 Казань 1257 Омск 1139 Уфа 1125 Красноярск 1092 Пермь 1049 Челябинск 1187

Лучше использовать медиану. Упорядочим значения: Дисперсией ряда чисел называется среднее арифметическое Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Волгоград 1004 Ростов -на -Дону 1137 Казань 1257 Пермь 1049 Омск 1139 Екатеринбург 1495 Воронеж 1050 Самара 1144 Новосибирск 1620 Красноярск 1092 Челябинск 1187 Санкт-Петербург 5384 Уфа 1125 Нижний Новгород 1244 Москва 12665

Медианой является восьмое по порядку значение: 1144 тыс. чел. Дисперсией ряда чисел называется среднее арифметическое Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Волгоград 1004 Ростов -на -Дону 1137 Казань 1257 Пермь 1049 Омск 1139 Екатеринбург 1495 Воронеж 1050 Самара 1144 Новосибирск 1620 Красноярск 1092 Челябинск 1187 Санкт-Петербург 5384 Уфа 1125 Нижний Новгород 1244 Москва 12665

Самара – медианный представитель данного выбора. Дисперсией ряда чисел называется среднее арифметическое Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Город Население тыс.чел. Волгоград 1004 Ростов -на -Дону 1137 Казань 1257 Пермь 1049 Омск 1139 Екатеринбург 1495 Воронеж 1050 Самара 1144 Новосибирск 1620 Красноярск 1092 Челябинск 1187 Санкт-Петербург 5384 Уфа 1125 Нижний Новгород 1244 Москва 12665

Правило нахождения медианы числового массива

Правило нахождения медианы числового массива 1.Упорядочить массив по возрастанию. Получится вариационный ряд. 2. Если в массиве нечётное количество чисел, то медианой является число, стоящее посередине вариационного ряда. 3. Если в массиве чётное количество чисел, то медианой обычно считают среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине вариационного ряда.

Найти медиану числового массива: 4, 9, 1, 7, 11. ПРИМЕР №2

Найти медиану числового массива: 4, 9, 1, 7, 11. ПРИМЕР №2

Найти медиану числового массива: 1, 6, 11, 3. ПРИМЕР №3

Найти медиану числового массива: 1, 6, 11, 3. ПРИМЕР №3

Вопросы

В каких случаях среднее арифметическое не очень хорошо описывает большинство значений в числовом наборе? ВОПРОС №1

В каких случаях среднее арифметическое не очень хорошо описывает большинство значений в числовом наборе? ВОПРОС №1 Если в числовом наборе есть одно или несколько чисел, которые намного меньше или намного больше всех остальных, то среднее арифметическое не очень хорошо описывает большинство значений этого набора.

В упорядоченном числовом наборе 19 чисел. Каким по счёту числом является медиана в этом наборе? ВОПРОС №2

В упорядоченном числовом наборе 19 чисел. Каким по счёту числом является медиана в этом наборе? ВОПРОС №2 Медиана упорядоченного числового набора, состоящего из 19 чисел, стоит на 10 месте.

В упорядоченном числовом наборе 24 числа. Между какими двумя числами ( по счёту) заключена медиана этого набора? ВОПРОС №3

В упорядоченном числовом наборе 24 числа. Между какими двумя числами ( по счёту) заключена медиана этого набора? ВОПРОС №3 Медиана упорядоченного числового набора, состоящего из 24 чисел, заключена между числами 12 и 13.

Что такое выброс? ВОПРОС №4

Что такое выброс? ВОПРОС №4 Выброс − одно или несколько чисел, которые намного меньше или намного больше всех остальных чисел числового массива.

В чём достоинство медианы как центральной меры? ВОПРОС №5

В чём достоинство медианы как центральной меры? ВОПРОС №5 Достоинство медианы − устойчивость относительно выбросов числового массива.

ТЕСт

Найти медиану числового набора: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Задание №1 Ответ: а) 5 б) 7 в) 9

Найти медиану числового набора: 1, 3, 5, 7, 9, 11. Задание №2 Ответ: а) 5,5 б) 6,5 в) 6

Найти медиану числового набора: 11, 3, 21, 4, 17. Задание №3 Ответ: а) 21 б) 11 в) 13

Найти медиану числового набора: 11, 25, 3, 21, 4, 17. Задание №4 Ответ: а) 14 б) 12 в) 13

Назовите выброс числового набора: 11, 25, 23, 61, 14, 17. Задание №5 Ответ: а) 11 б) 25 в) 61

Ответы к тЕСту

Найти медиану числового набора: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Задание №1 Ответ: б) 7

Найти медиану числового набора: 1, 3, 5, 7, 9, 11. Задание №2 Ответ: в) 6

Найти медиану числового набора: 11, 3, 21, 4, 17. Задание №3 Ответ: б) 11

Найти медиану числового набора: 11, 25, 3, 21, 4, 17. Задание №4 Ответ: а) 14

Назовите выброс числового набора: 11, 25, 23, 61, 14, 17. Задание №5 Ответ: в) 61