Задания с параметрами, окружности

Задания с параметром Окружности

ВВЕДЕНИЕ Задания с параметрами представляют наибольшую трудность у выпускников школ. В учебных программах по математике общеобразовательных школ задачам с параметрами отводится незначительное место. Эти задачи обладают высокой позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности. Решение задач с параметрами требует наличия определенной математической культуры. В данной работе представлены материалы по теме «Решение задач с параметром в 7-9 классах». Эту работу можно использовать на уроках алгебры как в классах с базовым уровнем, так и в классах с расширенным или углубленным изучением алгебры. Работа будет интересна учителям при объяснении нового материала, а также при формировании навыков решения задач с параметром. Для учащихся эта работа может быть пособием при самостоятельном изучении данной темы.

Существуют два основных способа решения заданий с параметрами: аналитический и графический. В моей работе упор сделан на графическом способе, причем показать примеры решения задач, в которых присутствуют системы уравнений или неравенств с окружностями. Были использованы различные ресурсы, в которых были разобраны задания с параметром. В работе представлены графические способы решения систем уравнений и неравенств с параметром. Для того, чтобы научиться решать такие задания, необходимо иметь хорошую базовую подготовку по основному школьному курсу, знать алгоритмы решения заданий с параметрами. Какими знаниями и умениями нужно обладать, прежде чем начать решать такие задания? Нужно знать «в лицо» все элементарные школьные функции, уметь изображать решения уравнений и неравенств в координатной плоскости. Нужно уметь строить семейства различных линий: у = kх + а, у = х + а, у = ах, у = |x| + a; y = 3) Уметь производить преобразования графиков (параллельный перенос вдоль координатных осей, растяжение и сжатие).  

Алгоритм решения задач с параметром графическим методом заключается в следующем: Преобразовываем исходное условие задачи к системе уравнений или неравенств для того, чтобы можно было изобразить графически решения уравнений или неравенств. Найти область допустимых значений переменной и параметра. Вводим систему координат (х; у) или (х; а). Изображаем в выбранной координатной плоскости фигуру, которая задается множеством решений уравнения или неравенства или их системы. Проанализировать изменения графиков в зависимости от параметра. Записать ответ, удовлетворяющий условию задачи. Перед разбором заданий предлагаю подготовительную работу – познакомиться с еще некоторыми видами линий и множеством точек.

1. Уравнение   задает окружность с центром в начале координат и радиусом .   2. Уравнение   задает окружность с центром в точке (a; b) и радиусом .   3. Неравенство      задает круг вместе с границей.   4. Множество точек, лежащих вне круга, задается неравенством    

5. Уравнение   задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом    6. Уравнение  задает нижнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом    7. Уравнение   при положительных a, b и c задает ромб с центром в начале координат (, ; диагональ лежит на оси ординат, диагональ лежит на оси абсцисс).   8. Уравнение   при положительном с задает квадрат с центром в начале координат (d = 2c).    

Задание 1. При каком значении параметра , система имеет единственное решение?   (1) (2) (1): - квадратичная функция, график – парабола с вершиной (1;1), ветви которой направлены вверх.   (2): Уравнение описывает окружность с центром (1;), радиусом, равным 1.   Система имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь одну, две или три общие точки. Выберем то значение параметра а, при котором графики одну общую точку, а значит, система имеет единственное решение.  Ответ: .   Решение: РАЗБОР ЗАДАНИЙ уровня ЕГЭ

Задание 2. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение.   1) Если (5;4) и радиусом, равным 3.   2) Если (5;4) и радиусом, равным 3.   (1) (2) 3) Если (;0) и радиусом, равным а.   (3) Решение:

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность (3) касается ровно одной из двух окружностей (1) или (2) и не пересекается с другой.    При а < окружности (1) и (3) не пересекаются;   При а = или а = эти окружности касаются.   При <a< окружности (1) и (3) имеют две общие точки.   Ответ: 2; .   2)   При а < окружности (2) и (3) не пересекаются;   При <a< окружности (2) и (3) имеют две общие точки.   При а = или а = эти окружности касаются.   Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность (3) касается ровно одной из двух окружностей (1) и (2), то условию задачи удовлетворяют только числа а = 2 и а = .  

Задание 3. При каких значениях параметра система   имеет единственное решение? (2) Графиком функции у = |х – 1| + а является угол с вершиной (1; а), стороны угла – лучи, угловые коэффициенты которых равны 1 и 1.   (1) (2) (1): Графиком уравнения (|х| – 4)2 + (у – 3)2 = 2 являются две окружности: с центром (4; 3) и R = с центром (4; 3) и R = .   Найдем значения параметра а, при которых графики имеют одну общую точку, а значит, система имеет единственное решение. Ответ: а = 4; а = 2.   Решение:

Задание 4. При каких значениях параметра а система уравнений не имеет решений?   3 5 4 2 х у 0 Ответ: а≠3     График первого уравнения – окружность с плавающим центром (2; а), радиусом, равным 2. График второго уравнения – окружность с центром (5; 3), радиусом, равным 1. Для того, чтобы система не имела решений, нужно, чтобы окружности не имели общих точек. Они могут иметь только лишь одну общую точку в случае касания, когда а = 3, поэтому система не имеет решений при любом значении а, не равном 3. Решение:

Задание 5. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень.     Рассмотрим две зависимости: у = (1) и у = (2).   (1): у =       Полуокружность, центр (1; 0), радиус = 2.   (2): у = + 4а + 2   у = 4) + 2 семейство прямых с угловым коэффициентом, равным (а), проходящих через точку (4; 2).   Решение: Единственный корень будет в уравнении, когда прямая будет являться касательной к полуокружности, или проходит между прямыми МА и МВ. 1) В случае касания угловой коэффициент прямой равен 0. 2) Для того, чтобы данная прямая проходила между прямыми МА и МВ, нужно, чтобы , где - угловой коэффициент прямой МА, вой коэффициент прямой МВ.   МА: точки (4; 2) и (3; 0), =   МВ: точки (4; 2) и (; 0), =   Т.е. , значит а   Ответ: а  

Задание 6. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно три решения.   (1): 1) Если х > 0, то   (1) (2)   )=0     График – окружность, центр (0;2), радиус = 2 2) Если х = 0, то равенство верно, т.е. График – множество точек, у которых х = 0 3) Если х < 0, то     )=0     График – окружность, центр (0;0), радиус = 4 (*) (**) Решение: (2): а   Семейство прямых, параллельных прямой у = х

Для того, чтобы система имела 3 решения, нужно, чтобы прямая y = x + a пересекала график первого уравнения ровно в трех точках. Рассмотрим случаи: когда прямая y находится между I и II (не включая эти случаи). Положение I – касание прямой y и окружности (*). Положение II – прохождение прямой y через точку пересечения окружности (*) и прямой x=0. Пусть A(0;a), B(−a;0) – точки пересечения y с осями координат, K – точка касания. Тогда OK⊥AB (как радиус, проведенный в точку касания). OA=a, OB=a, OK=4. △AOB прямоугольный. Тогда AB=. S△AOB=0,5OK⋅AB=0,5OB⋅OA; Таким образом, а = Найдем значение a, при котором прямая y находится в положении II. В этом случае y проходит через точку (0;4), следовательно, 4 = 0 + a, а = 4. Таким образом, в случае (1) a∈(4; ).  

2) когда прямая y находится между II и III (не включая II и включая III) Положение III – прохождение прямой y через точку пересечения окружности (**) и прямой x=0 3) когда прямая y находится в положении IV – касается окружности (**). Найдем a, при котором прямая y находится в положении III. В этом случае она проходит через точку (0;0), то есть a=0.  Таким образом, a ∈ [0; 4). В этом случае a<0. Пусть Q – центр окружности s, P – точка касания, C – точка пересечения y с осью ординат. Тогда △QPC – прямоугольный. ∠QCP=45∘. Радиус QP=2, OC = −a (так как a<0), QO=2.   Отсюда а =   Ответ:  

0   Задание 7. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке   Решение. Условие:     Таким образом, все решения уравнения находятся внутри круга с центром в точке (5; 0) и радиусом, равным 5. Условие равенства дроби нулю:  

0 А В С D E Уравнение имеет ровно один корень на отрезке   Ответ:

Задание 8. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет единственное решение. Решение.   При a=−1 второе уравнение задает точку (−3;−1), координаты которой не являются решением первого уравнения. Следовательно, при a=−1 система не имеет решений, значит, a=−1 не подходит. (1): график первого уравнения – окружность с центром О (2а – 3; а), радиус = 1,5 (2):     При а   Рассмотрим случай, когда a≠−1. Система будет иметь единственное решение, когда окружности будут касаться друг друга (внутренним или внешним образом). Центры обеих окружностей находятся на прямой y=a. То есть линия центров окружностей параллельна оси абсцисс. 1) Пусть окружности касаются внешним образом в точке K. Может быть один из двух случаев:

Расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, т.е. QO =   С другой стороны, QO =   Получим уравнение:   Решениями этого уравнения являются значения а: , а = 2,5   2) Пусть окружности касаются внутренним образом в точке K. Может быть один из двух случаев (а также симметричные рисунки, то есть когда точка касания находится слева): В этом случае QO равно разности радиусов, т.е.   Получим уравнение:   Из этого уравнения получаем, что а =   Ответ:  

Задание 9. Найдите все значения параметра a, при которых система имеет единственное решение.   (1) (2) (1):       Первый множитель неотрицателен. Он обращается в нуль при х = 1, у = 1   Следовательно,   Решение. Т.е.   Таким образом, графиком первого уравнения являются две области и точка (1; 1)  

(2):     При а + 4 > 0 график – окружность с центром (2; 0) и радиусом   При а = 4 получится точка (2; 0), но она не попадает в области, заданные неравенством (1).   Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда окружность будет иметь ровно одну общую точку с областью. Это возможно в одном из двух случаев: Если окружность коснется границы области y=−2x+8. Окружность проходит через точку (1; 1)  

1 случай: Если окружность коснется границы области y=−2x+8. Пусть P – точка касания, значит OP⊥ прямой y=−2x+8). Рассмотрим прямоугольный △OPQ, где Q(4;0) – точка пересечения прямой y=−2x+8 с осью абсцисс.   Угловой коэффициент прямой = -2 А       OP =   OP=R=   , отсюда а =  

2 случай: Окружность проходит через точку (1; 1)   Значит, а = 2   Расстояние между точкой О и (1; 1) равно радиусу:   По формуле расстояния между точками расстояние между точкой О (2; 0) и (1; 1) равно   Получим уравнение: Ответ:  

Задание 10. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет более двух возможных решений.     (1) (2) (1):     (*) (**) Решение: (*): (= 17   окружность с центром (4; 4), радиусом   С учетом условия (получится дуга с концами в точках (5; 0) и (0; 5)   (**):   (= 97   окружность с центром (4; 4), радиусом   С учетом условия (получится дуга с концами в точках (5; 0) и (0; 5)   (2): прямая у = ах 5 проходит через точку (0; 5)  

При а = 1 прямая проходит через точки M и N, тогда система имеет 2 решения При а > 1 прямая имеет с дугами общую точку М. Найдем значения а, при которых прямая касается окружности с центром в точке В (точка касания – точка М). Тогда прямая   У перпендикулярных прямых произведение угловых коэффициентов равно 1 (   Угловой коэффициент прямой ВМ равен , тогда   При этом прямая будет иметь с дугами две общие точки, т.е. в системе 2 решения. При а < у прямой с меньшей дугой общая точка М, а с большей точка М и еще не более одной общей точки, значит система имеет не более двух решений.   При <a<1 прямая имеет с дугами по две общие точки, одна из которых точка М.   Ответ: <a<1  

Задание 11. При каких значениях параметра а система уравнений имеет ровно 4 различных решения? Пусть х – 2 = t, y + 3 = m, тогда   (*)       Решение: m Графики уравнений пересекаются в 4-х точках, когда Окружность вписана в ромб, либо ее радиус   Высота (радиус окружности) прямоугольного треугольника с катетами 8 и 15 равна .   , т.е.   2)   Ответ:  

Задание 12. Найдите все значения параметра a, при которых система имеет ровно два решения.   Т.к. 0, то рассмотрим 2 ситуации: x < 0, y > 0 x > 0, y < 0   1 случай: x < 0, y > 0   График – окружность, центр (3; 2), радиус = 1   2 случай: x < 0, y > 0;   График – окружность, центр (3; 2), радиус = 1   (*) (**) Решение: Уравнение у = ax + 1 задает семейство прямых, проходящие через точку (0;1): Для того, система имела два решения, существуют 2 случая: прямая пересекает одну окружность, а вторую – нет; прямая касается обеих окружностей. Так как окружности расположены симметрично относительно начала координат, то для того, чтобы прямая могла одновременно касаться обеих окружностей, она должна проходить через начало координат (то есть она тоже должна быть симметрична относительно начала координат). Прямая у = ах + 1 через начало координат не проходит. Следовательно, она не может касаться обеих окружностей сразу. Значит, случай 2) невозможен.

  Прямые (1) и (2) касаются окружности (*) с центром в точке   Найдем значения а для прямой (1):   Так как прямая и окружность касаются, то есть имеют одну точку пересечения, то полученное уравнение должно иметь один корень, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю: D =       D = 0, если а = 0; а =   Для выполнения условия прямая у = ах +1 должна находиться между прямыми (4) и (1) или между прямыми (3) и (2) Прямые (3) и (4) касаются окружности (**) с центром в точке   Найдем значения а:       D =   D = 0, если   Ответ:  

Задание 13. Найдите все значения параметра a, при которых система имеет ровно один или два решения   (1) (2) (1): 7   Если       Окружность с центром (0; 1) и радиусом   Если     , отсюда   Таким образом,   Решение: (2): 3у = 2х + а; у = х + – семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом, равным  

Найдем координаты точек пересечения прямых у = х и у = 2 – х с окружностью. А(3; 3), В(– 2; – 2); С(– 2; 4); D(3; – 1) C M Найдем координаты точки М – точки касания прямой 3у = 2х + а с окружностью.   13   D = 160)   D = 0, если а = 16; а =   Т.к. а < 0, то для точки М значение а = 10.   М(2; 2)   Подставляя координаты точек А, В и D, найдем соответствующие значения параметра а. Для точки А: а = 3 Для точки В: а = 2 Для точки D: a = 9   Одно или два решения будет в системе, если прямые попадают в «розовую» область. Ответ: