Проектная работа на тему «Platonicsolids» (6 класс)
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
города Москвы «Школа №1517»
Проектная работа на тему:
«Platonicsolids»
Москва, 2020 г.
Оглавление
1.Определение правильного многогранника.
3. Использование форм и применение правильных многогранников
ГЛАВА 2. Построение платоновых тел.
1.Расчёт расходных материалов.
Введение
Актуальность проекта состоит в том, мы поставили себе цель: самостоятельно изучить данную тему, больше узнать о правильных многогранниках, познакомиться с историей их появления, научиться их строить оптимально, легко и быстро, исследовать их практическую направленность, издать пособие и перевести его на английский язык.
Гипотеза проекта: создание трубогранников развивает пространственное мышление и повышает интерес к математике.
Целью работы является создание пособия по изучению и моделированию трубогранников, а также перевод данного пособия на международный язык.
Задачами по изучению данного проекта являются:
- изучение теории раздела стереометрии – многогранники;
- моделирование трубогранников;
- разработка пособия о трубогранниках;
- перевод пособия на английский язык;
- донести миру наш интерес к многогранникам.
При реализации проекта использованы методы исследования сбора и анализа информации; изучения материалов справочников, словарей в сети интернет; практическое моделирование и фотофиксация.
Теоретическая значимость проекта заключается в том, что в проекте собрана, систематизирована и обобщена информация в виде пособия о многогранниках и методах создания трубогранников.
Практическая значимость проекта состоит в том, что пособие могут использовать учащиеся всех классов для развития логического и пространственного мышления. Данный проект реализуется в предметных рамках математики, также материал окажется полезным для педагогов при проведении уроков черчения, химии и биологии. Пособие по моделированию трубогранников может быть использовано для внеурочной деятельности.
Новизна проекта состоит в том, что еще не существует такого печатного издания, тем более на английском языке. Пособие по созданию трубогранников имеет выбранный нами дизайн и в нем представлена полезная и интересная информация для детей и их родителей.
ГЛАВА 1. Платоновы тела.
1.Определение правильного многогранника.
Многогранники - это простейшие тела в пространстве, как, например, многоугольники - простейшие фигуры на плоскости. Если рассматривать многогранник с точки зрения геометрии, то это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны и вершины граней называют рёбрами и вершинами самого многогранника.
Правильнымназывают многогранник, все грани которого – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.[5]
Доказано существование только пяти правильных многогранников:
Названия этих фигур запомнить очень легко. В переводе с греческого «эдра» - означает грань, «тетра» - 4, «гекса» - 6, «окта» - 8, «додека» - 12, «икоса» - 20. Основными характеристиками многогранника являются число и вид граней, число вершин и число ребер. Эти характеристики для правильных многогранников мы представили в таблице. (Приложение 1)
Изучив внимательно содержание таблицы, мы увидели, что у пары гексаэдр и октаэдр одинаковое число ребер, также это наблюдается у пары додекаэдр и икосаэдр. Если число ребер рассматриваемого многогранника увеличить на 2, то получится число, равное сумме числа граней и вершин этого многогранника. Сформулируем это правило так:
«Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2», то есть Г + В = Р + 2 .
Таким образом, мы увидели закономерность, которая впервые была обнаружена французским физиком, математиком и философом Рене Декартом (1596 – 1650 г. г.)в 1640 году, а позднее вновь открыта швейцарским, немецким и российским математиком Леонардом Эйлером (1707-1783 г. г.)в 1752 году, имя которого с тех пор она и носит.[6]
2.Из истории многогранников.
О правильных многогранниках человечество знает давно. Их орнаментные модели можно найти на резных шарах из камней, появившихся в Шотландиизадолго до их открытия. Разновидные игральные кости того времени также по форме напоминают правильные многогранники. Уже тогда люди использовали бронзовые аналоги этих удивительных фигур.
Честь открытия и детального изучения правильных многогранников приписывают древнегреческим учёным. В некоторых источниках можно найти информацию о том, что древнегреческий математик и философ Пифагор (570-490 г.г. до н.э.)впервые выделил эти фигуры. В других источниках утверждается, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а октаэдр и икосаэдр открыл древнегреческий математик Теэтет Афинский(417 - 369 г.г. до н.э), который ещё описал все пять правильных многогранников.[11]
Значительное внимание правильным многогранникам уделял древнегреческий философ Платон(около 429 – 347 г.г. до н.э), в честь которого они и названы «Платоновы тела». Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Каждой из четырёх стихий он сопоставил определённый правильный многогранник. Куб или Гексаэдр предназначался Земле, Октаэдр - Воздуху, Икосаэдр - Воде, а Тетраэдр - Огню. Такое сопоставление очень легко объяснить: жар огня ощущается чётко и остро как маленькие тетраэдры; воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной того, что она рассыпается в руках. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон писал: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Онсимволизировал весь мир.[4]
Полное математическое описание пяти правильных многогранников дал древнегреческий математик Евклид(около 365 – 300 г. г. до н.э.) и доказал, что других правильных многогранников нет.[4]
3. Использование форм и применение правильных многогранников
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. Человек и природа этим широко пользуются. Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных многогранников встречаются в природе в виде кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. Мы в этом убедились, рассмотрев кристаллы поваренной соли в микроскоп. (Приложение 2)
Много разных бактерий и вирусов имеют форму многогранников. Но все они имеют форму икосаэдра или додекаэдра. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.
Из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
Художники разных эпох проявляли постоянный интерес к изучению и изображению многогранников. Изучая явления природы, художники стремились найти обоснованные с точки зрения науки способы их изображения. Для некоторых мастеров многогранники являлись весьма удобной моделью для оттачивания мастерства изображения. Были и такие, кто искренне восхищался их симметрией и красотой. Увлекался многогранниками и часто писал их на своих полотнах знаменитый итальянский художник Леонардо да Винчи (1452-1519 г.г.). Он обогатил книгу «О божественной пропорции» своего друга итальянского математика Луки Палочи (1445 – 1514 г. г.) 60 рисунками многогранников в виде «скелетов».[8]
Испанский художник Сальвадор Дали на картине «Тайная вечерня» изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
В наши дни многогранники – это главное открытие человечества. Мы в постоянном окружении многогранников: многие предметы быта имеют форму многогранников, все архитектурные строения возведены в стиле многогранных моделей.[8]
Гармоничность и простота правильных многогранников позволила создать серию игрушек, головоломок и конструкторов. Играя в эти игрушки, у нас развивается логическое мышление, воображение.
Формы правильных многогранников также используются в бытовых предметах и упаковке товаров: чайные и молочные пакеты, коробочки и различные сувениры и др.
А какие необычные и смелые идеи воплощают архитекторы, строители и дизайнеры с помощью форм правильных многогранников. В интернете мы нашли очень много фотографий использования этих удивительных фигур при строительстве зданий, оформлении парков и дизайне бытовых интерьерных решений.
ГЛАВА 2. Построение платоновых тех.
1.Расчёт расходных материалов.
Для небольших моделей необходимо заранее вычислить необходимую длину лески, чтобы не выбрасывать слишком много остатков и чтобы взятого отрезка хватило на модель. Длина лески внутри трубочек считается по количеству трубочек, длине трубочек и количеству проходов через каждую трубочку. В простых моделях леска проходит через каждую трубочку дважды. Вся модель может состоять из нескольких простых.
Считаем суммарную длину лески внутри трубочек, умножая количество трубочек на их длину и количество проходов лески внутри трубочки. Если получилось меньше 4 метров, то прибавляем 50см для завязывания узла. Если получилось больше 4 метров, то делим это количество на равные части и к каждой прибавляем 50см для завязывания узла.
Примеры:
- длина необходимой проволоки,
n- количество трубочек,
х- длина трубочки.
1. Октаэдр из 12 трубочек - 50мм. Необходимая длина лески внутри трубочек = 12*2*5см = 120см. Для сборки модели берём 120+50=170см лески.
2. Икосаэдр из 30 трубочек - 40мм. Необходимая длина лески внутри трубочек = 30*2*4см = 240см. Для сборки модели берём 240+50=290см лески.
3. Звёздчатый октаэдр из 36 трубочек - 50мм. Через 12 трубочек октаэдра леска пройдёт 4 раза, а через внешние 24 трубочки – по два раза. Необходимая длина лески внутри трубочек = (12*4+24*2)*5см = 480см. Делим на две части по 240см. Для сборки модели берём два отрезка лески по 240+50=290см.
4. Звёздчатый икосаэдр из 30 трубочек - 25мм и 60 трубочек - 40мм. Через 30 трубочек икосаэдра леска пройдёт 4 раза, а через внешние 60 трубочек – по два раза. Необходимая длина лески внутри трубочек = 30*4*2.5см+60*2*4см = 780см. Делим на две части по 390см. Для сборки модели берём два отрезка лески по 390+50см=440см. Либо делим на 3 части по 260см и берём три отрезка лески по 310см.
Все расчёты примерные, поэтому не нужно гнаться за точностью измерения. Точности в 20см вполне достаточно, поэтому измерения можно проводить собственными локтями, саженями или по длине стола. Всё это можно заранее измерить рулеткой и запомнить длину.
Лучше взять немного больше лески, чем меньше. Завязывать узел стоит, когда концы лески уже близки к 15см каждый. Более короткие концы завязывать неудобно.
Ограничение в 4 метра взято исключительно из личного опыта, вы можете попробовать взять больше, но стоит иметь в виду, что это не удобно, долго и велик шанс запутаться. В то же время слишком короткие отрезки ведут к большому количеству узлов, что нежелательно, особенно для моделей из стекляруса, так как в них узел не спрятать внутрь. В моделях из пластиковых трубочек узел легко прячется внутрь ближайшей трубочки, поэтому не доставляет особых проблем.
В больших моделях необходимое количество лески считать не нужно, так как время, потраченное на расчёты, не компенсируется ни удобством, ни экономией материалов. Просто отрезайте столько, сколько удобно держать, и делайте до тех пор, пока очередной отрезок не закончится. Мне удобнее всего собирать модели отрезками по 3 метра.
Заключение
Список литературы
- Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.
- Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992
- https://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_многогранник#История
- https://yunc.org/Многогранник
- http://mnogograns.narod.ru/-Все о многогранниках
- http://www.sdamna5.ru/mnogranniki
- http://www.hintfox.com/article/pravilnie-mnogogranniki-v-nayke-i-povsednevnoj-zhizni.html - Правильные многогранники в науке и повседневной жизни
- https://multiurok.ru/index.php/files/
- priezientatsiia-po-ghieomietrii-pravil-nyie-i-polu.html - Презентация «Правильные и полуправильные многогранники»
- https://infourok.ru/prezentaciya-istoriya-pravilnih-mnogogrannikov-1225418.html - история правильных многогранников
- http://floowers.ru/?y=The+Rubik+s+Cube+twisty+puzzle++Ruwix
