Анна

Производная. Лекции 1-6

Материал опубликован 12 June

Предварительный просмотр презентации

«Производная: определение и основные формулы »

Автобус за 4 часа проезжает 200 км. Найти скорость автобуса

x Если тело движется по прямой и за время t его координата изменяется на S, то S S(t + t) – S(t) Vср = — = ——————— t t - средняя скорость движения тела за t Физический смысл производной

Производная пути Таким образом, физический смысл производной – это мгновенная скорость

Пример 1. Пример 1. Точка движется по закону S(t) = 1 + 3t. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от t = 1 до t = 4 Пример 2 Найти мгновенную скорость движения точки если s(t)=2t+1

*Пример 3 *Пример 3 Закон движения задан формулой S(t)=t2+2. Найти: 1)среднюю скорость движения от t = 5 до t = 20 2)скорость движения в моменты t = 5 и t = 20

x O y x0 x f(x0) x f(x) f y=f(x) x = x - x0 x = x0 + x приращение аргумента f = f(x0 + x ) – f(x0) приращение функции А В Приращение функции Разность между новым значением аргумента и первоначальным называются приращение аргумента Разность между новым значением функции и первоначальным называется приращением функции.

Пример 4 Пример 4 Дано: ; x0= -2; ∆ x = 0,1 Найти приращение функции f в точке x 0, т.е. ∆f. *Пример 5 Дано: f(x)=3x+1; x0 =5;∆x = 0,001 Найти: ∆f

Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. где Δx – приращение аргумента, Δf – приращение функции

Если функция f(x) имеет в точке x0 производную, то функция называется дифференцируемой в точке x0. Если функция f(x) имеет в точке x0 производную, то функция называется дифференцируемой в точке x0. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то функция называется дифференцируемой на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием

Алгоритм вычисления производной: Зафиксировать значение x, найти f(x) Дать аргументу приращение Δх, перейти в новую точку х+Δх, найти f(x+ Δх) Найти приращение функции f(x+ Δх)- f(x) Составить отношение Вычислить предел этого отношения, если он существует

Используя определение производной найти f’(x), если: Используя определение производной найти f’(x), если: f(x) = 3x + 2 f(x) = 3x2 -5х

Домашнее задание №1: Выучить определение производной. Знать алгоритм нахождения производной. Точка движется по закону s(t) = 1 + 3t. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от t = 0,8 до t = 1 Используя определение производной найти f’(x), если f(x) = 5x + 7

Формулы дифференцирования

Найти производную функции:

Найти производные:

Найти производную функции: Найти производную функции: 1) (4x-3)2 2) (5x+2)-3 3) (1-2x)-6 4) (2x)3

1) Найти , если 1) Найти , если 2) Найти , если 3) При каких значениях х, производная функции равна 1, если

Домашнее задание №2: Выучить формулы. Найти производную функции: Найти , если

Правила дифференцирования

Вычислить:

Правила дифференцирования Пусть f(x) , g(x) – дифференцируемые функции, С – постоянная.

Найти производную функции: x2+x x2-x 3x2 -4x3 0.5x3 13x2+26 3x2-5x+5 5x2+6x-7 x5-3x2 x3+5x

Найти f’(0) и f’(2), если: Найти f’(0) и f’(2), если: 1)f(x) = - x3 + x2 2)f(x) = x2 + x + 1

Найти производную функции: (x2 – x)(x3 + x)

Производная сложной функции Пусть f(x) , g(x) – дифференцируемые функции. Тогда: Пусть g(x)=U. Если известна производная функции f(x), то производную сложной функции f(U) можно вычислить с помощью следующей формулы: (f(U))' = f'(U)⋅U'

Домашнее задание №3 Найти производную функции: - 17х2 8х2 - 16 х4 + 2х3 -2х3 + 18х Найти f’(0) и f’(2), если: 1)f(x) = x2 - 2x+1 2)f(x) = x3 - 2x

Вычисление производных функций

Выяснить при каких значениях х, значение производной равно 0:

Задания для самоанализа Задание 1. Найдите производные функций:

Задание 2. Найдите производные функций:

Ответы: Задание 1

Ответы: Задание 2

Подготовиться к контрольной работе: уметь находить производную по определению; знать формулы дифференцирования; уметь применять правила дифференцирования (производная суммы, производная произведения, вынесения множителя за знак производной; уметь находить значение производной в заданной точке.