Автор публикации: Е. Лютов, ученик 10 класса
Итоговый индивидуальный проект
Тема проекта: «Построение сечений многогранников»
Тип проекта: информационно-познавательный
Выполнил: Лютов Е.,
ученик 10 класса
Наставник: Ферикова Екатерина Анатольевна,
учитель математики
Изучением методов построения сечений занимается раздел математики – стереометрия. Построение сечений – один из важных блоков школьной программы. Главной проблемой является то, что не все ученики могут с лёгкостью видеть в пространстве, что приводит к затруднениям во время решения стереометрических задач. Примеры таких задач могут попасться на ЕГЭ.
Цель: научиться строить сечения, в том числе с помощью компьютера.
Задачи:
Разобрать основные способы построения сечений.
Научиться строить сечения.
Создать проектный продукт – презентацию.
Основная часть
Сечение многогранника – геометрическая фигура, образованная пересечением некоторой плоскости с многогранником.
Сечением многогранника является многоугольник, вершины которого лежат на рёбрах, а стороны целиком на гранях многогранника или более кратко, это изображение фигуры, полученное при мысленном рассечении предмета секущей плоскостью.
Правила при построении сечений:
1. Можно соединять только те точки, которые лежат в одной грани.
2. Для параллельной плоскости используется параллельный перенос.
Основные способы построения сеченийСлучай №1
Дано: α || β A, B ∈ α С ∈ β Построить сечение, проходящее через точки A, B, C | Построение В плоскости αпроведём прямую AB. Так как сечение и плоскость βимеют общую точку C, то по 3-ей аксиоме они имеют и общую прямую, назовём её p. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны, следовательно p || AB. |
| |
Случай №2
Дано: α ∩ β = p AB || p C ∈ β Построить сечение проходящее через A, B, C | 1)В плоскости α проведём прямую AB 2) Так как сечение и плоскость β имеют общую точку C, то по 3-ей аксиоме они имеют и общую прямую, назовём её d. 3)Плоскость сечения γ проходит через AB, AB параллельна β, γ пересекает β по прямой d (AB параллельна p, p принадлежит β, следовательно, d параллельна AB |
| |
Случай № 3
Дано: α ∩ β = p AB не параллельна p A, B ∈ α C ∈ β Построить сечение проходящее через A, B, C | Продлим прямую p и проведём прямую проходящую через точки A и B до точки пересечения AB и p, назовём эту точку K. 2) Так как точка K лежит на прямой p, p содержится в плоскости β, следовательно K принадлежит β. 3)Плоскость сечения γ проходит через AB, AB параллельна β, γ пересекает β по прямой d (AB параллельна p, p принадлежит β), следовательно, d параллельна AB |
| |
Я применил полученные знания на практике и построил сечения многогранников. Здесь я привожу условия задач и этапы построения. Все чертежи находятся в моём проектном продукте.
№1 Построить сечение треугольной пирамиды DABC плоскостью, проходящей через следующие точки:
А) B и середины рёбер AD и CD.
Б) Середины рёбер BC, AD и точку L, лежащую на продолжении AC за точку C.
В) Середины K, L и M рёбер AD, AB и BC
Г) A, C и точку пересечения медиан ABD.
Д) Точки пересечения медиан граней ABD, BCD и ABC.
Е) Середины рёбер BC, CD и точку, лежащую на медиане DM грани ABD.
Решение:
а) Точки B и K лежат в одной плоскости соединим их, по такой же аналогии соединим точки B и F, K и F. Сечение построено.
б) Из точки L проведём прямую проходящую через ребро CB и AB в точках F и P соответственно (мы можем так сделать потому, что точки A и C лежат в плоскости ABC и на прямой AL то, по 2-ой Аксиоме вся прямая лежит в этой плоскости), и из точки L проведём прямую проходящую через ребра CD и AD в точках M и K соответственно. Соединим точки M с F и K с P. сечение построено.
в) Соединим точки M и L, L и K так как в они в одной плоскости, в плоскости ADC проведём прямую KF параллельную прямой AC, соединим точки F и M. Сечение построено.
г) Из точки A проведём прямую проходящую через точку пересечения медиан до прямой DB и отметим точку пересечения прямых точку F, соединим точку F с точкой C. Сечение построено.
д) Через точки H, I, J проведём прямые параллельную сторонам AD, CD, AC соответственно. Сечение построено.
е) Проведём прямую EF и проведём через точку G прямую параллельную грани DB. Сечение построено.
№2. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через следующие точки:
а) Середины рёбер AA1, B1C1 и вершину B.
б) Центры граней AA1B1B, BB1C1C и точку M стороны BC, если CM : MB = 1 : 2.
в) Середины рёбер AB, A1C1 и CC1.
г) Середины рёбер AA1, A1C1 и точку пересечения медиан основания ABC.
д) Центр грани AA1B1B середину ребра B1C1 и точку M ребра A1C1, если
A1M : MC1 = 1 : 2
Решение:
а) Проведём BE и BD, продлим сторону CC1 и BE до их пересечения в точке F, проведём FD и отметим точку G пересечения FD с A1C1. Построено сечение BEGD.
б) Из точки M проведём луч, проходящий через точку Е и пересекающий ребро B1C1 продлим ребро BB1 до пересечения с лучом ME и отметим точку F, из точки F проведём прямую проходящую точку D пересекающую ребро A1B1 в точке H и ребро AB в точке G. Построено сечение MIHG.
в) Проведём прямую проходящую через точки F и E,продлим ребро AA1 так, чтобы она пересекала прямую FE в точке K, из точки K проведём прямую пересекающую ребро A1B1 в точке L и ребро AB в точке D, соединим K и D, L и E, продлим ребро AC до пересечения её с прямой FE в точке G, из точки G проведём прямую до точки D и пересекающую ребро BC в точке J, соединим J и D, J и F. Построено сечение DJFEL.
г) Соединим DE, продлим рёбра AC и CC1, проведём прямую DE пересекающую ребра AC и CC1 в точках I и K соответственно, из точки I проведём прямую через точку H и пересекающую рёбра AB и BC в точках J и L соответственно, соединим точки J и L, J и E, проведём прямую из точки K к точке L пересекающую ребро B1C1 в точке M, соединим точки M и E, M и L. Построено сечение MEDJL.
д) Проведём прямую EF, продлим сторону A1B1 до пересечения с прямой FE в точке G, из точки G проведём прямую через точку D пересекающую ребро AA1 в точке H и ребро BB1 в точке I, соединим точки F и H, I и E. Построено сечение FEIH.
Для построения сечений многогранников я использовал приложение GeoGebra Classic 5. Это приложение удобно использовалось для создания многогранников (пирамиды и призмы). Чтобы создать пирамиду или призму надо выбрать: 3D полотно, сверху на панели выбрать нужную фигуру, расставить точки на полотне и выставить высоту опираясь на ось Z. Чтобы построить сечение нужно расставить все нужные точки и потом соединить их прямыми.
ВыводВ ходе работы были успешно выполнены все поставленные задачи: изучены основные способы построения сечений, приобретены практические навыки их построения, а также рассмотрены примеры задач для закрепления материала. Цель – научиться самостоятельно строить сечения и демонстрировать процесс на примерах – достигнута. Полученные знания и умения позволяют уверенно применять методы построения сечений в дальнейшей практике.
1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Сечение
2. https://yastmt.siteedu.ru/media/sub/3183/documents/ГЕОМЕТРИЯ_10-11_КЛАССЫ_Л._С._АТАНАСЯН_2019_ov2VvVM.pdf?ysclid=mb2fqk6ef9583132874
3. Материалы https://profimatika.ru/
Презентация - проектный продуктPPTX / 515.7 Кб