Степанова Светлана Юрьевна

Применение комплексных чисел при решении уравнений

Материал опубликован 19 March

Автор публикации: К. Васькина, студентка 2 курса

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Чукотского автономного округа «Чукотский северо-западный техникум города Билибино»

Научно-исследовательский проект

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ

Выполнила студентка

Группы № 151-22Докумениационное обеспечение

управления и архивоведение

Васькина Карина Николаевна

Руководитель: Степанова Светлана Юрьевна

Билибино

2024

ВВЕДЕНИЕ

Как-то раз, решая квадратное уравнение, у меня получился отрицательный дискриминант. Нас учили в школе, что если уравнение имеет отрицательный дискриминант, то корней у такого уравнения не будет. Но я девочка любознательная, мне стало интересно, а действительно ли так? Как оказалось, эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Так я и познакомилась с мнимой величиной.

Комплексные числа находят применение во многих вопросах науки и техники. Сейчас комплексные числа активно применяются в информатике, динамике, электромеханике, радиотехнике, теории упругости, активно развиваются в других науках.

Мне стало интересно, а знают ли об этом другие студенты нашего техникума. Я провела опрос, в котором задала 5 вопросов по данной теме, чтобы выявить знания о комплексных числах и заинтересованность студентов в их изучении (глава II, п. 2.3). В ходе опроса было выявлено, что большая часть студентов не знает, что такое комплексное число. Абсолютно все опрошенные никогда не встречались с ними в жизни. В конце опроса был задан вопрос: «Хотели бы Вы познакомиться с данными числами поближе?» 80% респондентов ответило «да», это говорит о заинтересованности студентов. Исходя из результатов анкетирования, мною было принято решение изучить комплексные числа более детально и поделиться своими результатами с другими.

Объект исследования — применение комплексных чисел при решении уравнений

Предмет исследования — методы решения алгебраических уравнений

Цель исследования — знакомство с комплексными числами, с их свойствами, действиями над ними, а также умение их применять при решении уравнений.

Задачи исследования:

- определить комплексные числа и их возникновение как отдельное множество чисел;

- рассмотреть методы решения алгебраических уравнений с использованием комплексных чисел;

- составить конспект урока и провести внеурочное занятие на тему «Комплексные числа».

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ литературы, дедуктивный метод, исторический метод.

В соответствии с проблемой, объектом, предметом и целью исследования была выдвинута следующая гипотеза. Навыки работы с аппаратом комплексных чисел дают возможность обнаружить новые факты и делать обобщения.

Практическая значимость — изучение множества комплексных чисел позволит увеличить уровень математической грамотности.

ГЛАВА I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА КАК СРЕДСТВО
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Определение комплексных чисел и их историческое значение

Исторически комплексные числа впервые были введены в связи с выведением формулы вычисления корней кубического уравнения:

Итальянский математик Никколо Фонтана Тартальей (1499 - 1557) в первой половине 16 века получил выражение для корня такого уравнения через некоторые параметры, для нахождения которых составляется система. Но было выяснено, что такая система не для всех кубических уравнений имела решение в действительных числах. Это непонятное на то время явление объяснил в 1572 году Рафаэль Бомбелли (1526 - 1572), что по сути было введением комплексных чисел и действий над ними.

Но долгое время полученные результаты многими учеными считались сомнительными и лишь в 19 веке после появления трудов немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Карла Фридриха Гаусса (1777 - 1855) существование комплексных чисел стало общепризнанным.

Хотя согласно некоторым источникам, по-видимому, мнимые величины были впервые упомянуты в 1545 году в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» итальянского математика, инженера, философа, медика и астролога Джероламо Кардано (1501 - 1576), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, которые в сумме дают 10, а при перемножении дают 40.

Выражения, представимые в виде: , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в 16-17 вв. с подачи французского философа, математика, механика, физика и физиолога Рене Декарта (1596-1650), который называл их так, отвергая их реальность.

Одним из способов построения множества комплексных чисел состоит в том, что множество действительных чисел расширяют присоединением к этому множеству корня уравнения .

Продолжительное время стоял вопрос, является ли множество комплексных чисел замкнутым, то есть все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным или вещественным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней n-ой степени из рассматриваемого комплексного числа была решена в работах английского математика Абрахама де Муавра (1667 - 1754) в 1707 году и английского математика, и философа Роджера Котса (1682 - 1716) в 1722 году.

Символ «i» для обозначения мнимой единицы предложил швейцарский, немецкий и российский математик и механик Леонардо Эйлер в 1777, взявший для этого первую букву латинского слова «imaginarius» - мнимый. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область.

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа, а «i» – число нового рода, называемое мнимой единицей. «Мнимые» числа составляют частный вид комплексных чисел (а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b – ординатой комплексного числа a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i*i равно –1, т.е. I^2= -1.

Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами. Отсюда названия: «мнимая единица», «мнимое число» и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.

Действительное число «а» записывается также в виде a + 0i (или a – 0i). Примеры: Запись 3+0i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0i означает –2.

Комплексное число вида 0 + bi называется «чисто мнимым». Запись bi обозначает то же, что 0 + bi. Два комплексных a + bi, a’ + b’i считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если a = a’, b = b’. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство: 2 + 5i = 8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом.

Методы решения алгебраических уравнений

Линейные уравнения вида ax = b имеют следующее решение:

, это действует для чисел если а ≠ 0 и b  R

, если соблюдаются два условия или а = 0 и b = 0, или а = 0 и b ≠ 0

Приведем пример:

Переносим -8 из левой части в правую, меняя знак на противоположный, получаем: . Выполняем сложение: .

Делим обе части на множитель, стоящий перед переменной х на 4. Получаем . Ответ: 5

Квадратные уравнения можно решить по готовой формуле:

Где a – коэффициент перед , b - коэффициент перед x, свободный член уравнения.

Или же использовать теорему Виета:

Например, приведем решение уравнения:

a=1, b=-10, c=9. Используем первую формулу для вычисления, получаем:

III. Дробно-рациональные уравнения решаются по следующей схеме:

1) переносим члены уравнения в левую часть, если это необходимо;

2) члены уравнения в левой части приводим к общему знаменателю;

3) решаем уравнение.

Пример:

Найдем общий знаменатель, он будет равен x, запишем получившиеся уравнение:

Далее получаем:

Решаем крест-накрест, получаем:

Переносим –x в левую часть, а -6 в правую, меняем знак на противоположный:

Отсюда получаем х=3. Ответ: 3

IV. Метод группировки. В данном методе можно использовать различные формулы сокращенного умножения, вынос общего множителя за скобку, перестановку слагаемых. Приводим уравнения к общему виду и решаем.

Пример:

Применяя формулу сокращенного умножения, раскрываем скобку:

Приводим преобразования: сокращаем многочлены -4х и 4х, свободные члены переносим в правую сторону, меняя знак:

Отсюда: . Ответ: -3, 3.

V. Метод подстановки. Чтобы использовать этот метод нам необходимо найти в уравнении выражение, которое возможно представить в виде новой переменной.

Решим следующее уравнение:

Здесь можно заметить два одинаковых выражений .

Делаем замену:

Получаем:

Используя готовую формулу:

Получаем:

Отсюда

Находим х. Мы делали замену :

Получаем ответ: 9, 2

1.3 Использование комплексных чисел в смежных науках

В настоящее время комплексные числа широко используются как в математических дисциплинах, физике, так и во многих технических дисциплинах.

Классическая физика. С XIX-го века комплексные числа стали неотъемлемой частью практически всех разделов физики. Главная особенность использования комплексных чисел заключается в том, что с их помощью удивительно легко и просто решаются задачи, принципиально нерешаемые в рамках математики вещественных чисел. С самых ранних этапов использования комплексных чисел, велись дискуссии о реальности результатов вычислений, содержащих не только действительную часть, но и часть с мнимой единицей. Особенно актуальным этот вопрос был в тех разделах классической физики (электрические цепи, передача информационных сигналов, гидродинамика, аэродинамика и др.), где результаты расчета непосредственно проверялись экспериментом. Здесь существуют многочисленные примеры наблюдений, описываемых комплексными числами. Наиболее четко это можно проследить на примере, так называемого, импеданса (Z) – комплексного полного сопротивления электрической цепи. Если придать току и напряжению комплексную форму, то закон Ома для сложной цепи, содержащей кроме омического сопротивления еще конденсатор и катушку индуктивности, сохраняет свой традиционный вид. Но теперь формула закона Ома будет содержать новое сопротивление в виде комплексного числа:

Z:U =