12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917
Лицензия на образовательную деятельность №0001058
Пользовательское соглашение     Контактная и правовая информация
 
Педагогическое сообщество
УРОК.РФУРОК
 
Материал опубликовал
Волкова-Лубьяницкая О.В.16











Проект по математике

«Решение логических задач»















Выполнили работу ученики 8 «A» классa

Глазов Егор

Кичатов Роман

Волков Дмитрий










Оглавление

1.Почему мы решили взять эту тему

2.Что такое "логика", "логическая задача

3.Основные Методы решения логических задач

3.1Метод таблиц.

3.2Метод алгебры высказываний.

3.3Метод решения с помощью полупрямой

3.4Метод решения с помощью кругов Эйлера

3.5Задачи на смекалку

4.Задачи для самостоятельного решения

5.Заключение













ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Почему мы решили взять эту тему

Мы хотели помочь ученикам:

познакомиться с понятиями логика и логические задачи;

научить их решать логические задачи;

способствовать развитию умений анализировать, сравнивать, обобщать, выделять главное; развивать осознанную математическую речь; развитие познавательного интереса учащихся;

содействовать воспитанию таких качеств как: самостоятельность, целеустремленность, настойчивость, целенаправленность, трудолюбие, аккуратность, ответственность.



Что такое "логика", "логическая задача

Ло́гика — «наука о правильном мышлении», «способность к рассуждению» от др.-греч. λόγος — «логос», «рассуждение», «мысль», «разум», «смысл») — нормативная наука о законах, формах и приёмах интеллектуальной деятельности.

Логика, как наука, возникла в недрах древнегреческой философии. Далее в течение почти двух с половиной тысячелетий до второй половины XIX века логика изучалась как часть философии и риторики. Начало современной логики, построенной в форме исчисления, положил Г. Фреге в сочинении «Begriffsschrift» .

Основная сущность логики, её цель и функция всегда оставались неизменными: исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие. При этом рассматриваются только такие выводы, которые зависят только от способа связи и строения входящих в вывод утверждений, а не их конкретного содержания. Изучая, как одни мысли следуют из других, логика выявляет наиболее общие формальные условия правильного мышления. При этом сфера конкретных интересов логики в выявлении условий формального вывода на протяжении её истории существенно менялась.

Что же представляют собой логические задачи? Логические задачи или, как их еще иногда называют, нечисловые, представляют собой текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). А любые вычисления и построения играют вспомогательную роль или вообще отсутствуют. То есть – логические задачи отличаются от обычных тем, что в них чаще не требуется умение вычислять, а требуется умение рассуждать.

Чтобы научиться решать типовые логические задачи, простые и нестандартные математические задачи, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами. Существуют разные типы логических задач и разные способы их решения: Каждый из этих способов обладает своими достоинствами.





Основные Методы решения логических задач


3.1. Рассуждения.

Самый примитивный способ решения простых логических задач — метод рассуждения. Его суть заключается в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий задачи. Таким образом, мы постепенно приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи

Задача:

1.1 Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения:

1. Вадим изучает китайский;

2.Сергей не изучает китайский;

3.Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский

3.2. Метод таблиц.

Суть метода состоит в оформлении условий задачи и полученных результатов логических рассуждений в виде таблицы. В зависимости от того, является высказывание истинным или ложным, соответствующие ячейки таблицы заполняются знаками «+» и «-».

Задача:

После соревнований бегунов на табло появилась надпись:
Рустам не был вторым.
Эдуард отстал от Рустама на два места.
Яков не был первым.
Галина не была не первой ни последней.
Карина финишировала сразу за Яковом.
Кто же победил в этих соревнованиях? Каково было распределение бегунов на финише?

Решение:
Рисуем таблицу, где столбцы –имена детей, а строки – номера мест. Читаем задачу, пошагово анализируем условие и ставим таблицу «+», если соответствие установлено и «–», если точно соответствия нет.
Так как Рустам не был вторым и Эдуард отстал от Рустама на два места, то Эдуард не может быть ни первым, ни вторым, ни четвёртым.

Отсюда видно, что Рустам был первым тогда Эдуард (по условию 2) был третьим.

Так как Карина финишировала сразу за Яковом, то очевидно, что Яков был четвёртым, а Карина последней и тогда Галина была второй.


Рустам

Эдуард

Карина

Галина

Яков

1

+

-

-

-

-

2

-

-

-

+

-

3

-

+

-

-

-

4

-

-

-

-

+

5

-

-

+

-

-




















3.3. Метод алгебры высказываний.

Алгебра высказываний изучает способы построения и закономерности высказываний. Но её цель ― не всестороннее изучение, а их истинностная оценка. Именно это и является определяющим свойством высказывания. Оно не может быть одновременно и истинным, и ложным. Пусть имеется несколько простейших высказываний, о каждом из которых точно известно, истинно оно или ложно. Причем имеются как истинные высказывания, так и ложные.




Задача:

Когда учитель физики Николай Дмитриевич ведёт урок, он обязательно отключает свой телефон. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.

1) Если телефон Николая Дмитриевича включён, значит, он не ведёт урок.

2) Если телефон Николая Дмитриевича включён, значит, он ведёт урок.

3) Если Николай Дмитриевич проводит на уроке лабораторную работу по физике, значит, его телефон выключен.

4) Если Николай Дмитриевич ведёт урок физики, значит, его телефон включён.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение.

1) Утверждение следует из приведённых данных.

2) Утверждение не следует из приведённых данных, оно противоречит поставленному условию.

3) Утверждение следует, так как лабораторная работа- это тоже урок, следовательно, телефон Николая Дмитриевича обязательно будет выключен.

4) Утверждение не следует из приведённых данных, так как при проведении урока Николай Дмитриевич обязательно выключает телефон.

Ответ: 13




















3.4 . Метод решения с помощью полупрямой

Если в задаче имеется множество объектов и требуется установить взаимоотношение между элементами этого множества, то задачу можно решать на полупрямой.

Задача:

В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята?

Решение. Построим модель описанной ситуации, считая обычный луч «линией времени».

t1699387696aa.gif

а) Вика стоит перед Соней, но после Аллы



б) Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, значит он – крайний слева

t1699387696ab.gif



в) Боря и Алла не стоят рядом, Борис не находится рядом с Денисом, значит место Бориса – после Вики

t1699387696ac.gif



Ответ: Алла, Вика, Борис, Соня, Денис.




3.5. Метод решения с помощью кругов Эйлера

Леонард Эйлер – швейцарский ученый, внесший огромный вклад в развитие математики, физики, оптики, механики, астрономии и ряда прикладных наук. Член нескольких академий наук по всему миру.

Диагра́ммы Э́йлера (круги́ Э́йлера) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Первое их использование приписывают Леонарду Эйлеру. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. Не следует их путать с диаграммами Эйлера — Венна.

Диаграммы Эйлера также называют кругами Эйлера. При этом «круги» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые фигуры.

На диаграммах Эйлера множества изображаются кругами (или другими фигурами). Причём непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами. Например, диаграмма на рисунке показывает, что множество A является подмножеством B, а B не пересекается с C. При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы. Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Венн предложил свою схему изображения отношения между множествами, которая теперь называется диаграммами Эйлера — Венна. Первоначально круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики

Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и не вызывают особых умозаключений. Эйлер наглядно изображал операции над множествами при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Для этого множества, сколько бы элементов они не содержали, представляют при помощи кругов, овалов или любых других геометрических фигур.

Данный метод позволяет графически решать математические задачи на основе применения теории множеств.

Задача:

В фирме N работает 50 сотрудников, из них 40 человек знают английский язык, а 20 -немецкий. Выберете утверждения, которые верны при указанных условиях.

1). В фирме N хотя бы три сотрудника знают и английский, и немецкий языки.

2). В этой фирме нет ни одного сотрудника, знающего и английский, и немецкий языки.

3). Если сотрудник этой фирмы знает английский язык, то он знает и немецкий

4). Не более 20 сотрудников этой фирмы знают и английский, и немецкий языки.

t1699387696ad.gif

Решение: построим диаграмму, используя условия. Получается, что английский и немецкий языки знают 10 человек.



Ответ:10







3.6. Задачи на смекалку

Существуют такие задания, решение которых зависит только от здравого смысла, сообразительности и смекалки того, кому они заданы. Решение задач на смекалку помогает развивать нестандартность мышления и внимание.
Так как же их решать?

Во-первых – внимательно прочитайте задание. Проанализируйте каждое условие и утверждение – верны они или нет. Часто ответ задачи на смекалку лежит на поверхности и становится очевиден, если найдено несоответствие условия задачи с реальностью.
Во-вторых – будьте внимательны, когда визуально представляете картинку, описанную в задаче. Задание зачастую нарочно запутывает отгадывающего.
В-третьих – не сдерживайте свое мышление в определенных рамках, отпустите его. Именно нестандартность мышления часто помогает найти выход в запутанной ситуации.

Задача: Квартира.

Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в седь­мом подъ­ез­де в квар­ти­ре № 462, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.
Решение : 462 : 7 = 66 квар­тир, на каж­дом из 7 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 9 квар­тир. Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 9 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах всего 9 * 7 * 7 = 441 квар­ти­ра, и квар­ти­ра 462 ока­жет­ся в вось­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 10 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах 10 * 7 *7 = 490 квар­тир, а в пер­вых шести — 420. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом подъ­ез­де. Она в нем 42-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 10 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на пятом этаже. Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 11 квар­тир, то в пер­вых шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 11 * 7 * 6 = 462 квар­ти­ры, то есть 462 квар­ти­ра в ше­стом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.


4.Задачи для самостоятельного решения

Катя младше Тани, но старше Даши. Ксюша не младше Даши. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера.

1)  Таня и Даша одного возраста.

2)  Среди названных четырёх девочек нет никого младше Даши.

3)  Таня старше Даши.

4)  Таня и Ксюша одного возраста.

В семье Михайловых пятеро детей  — три мальчика и две девочки.

Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера.

1)  У каждой девочки в семье Михайловых есть две сестры.

2)  Дочерей у Михайловых не меньше трёх.

3)  Большинство детей в семье Михайловых  — мальчики.

4)  У каждого мальчика в семье Михайловых сестёр и братьев поровну.



У Андрея было 7 монет достоинством 5 рублей, 6 монет достоинством 2 рубля и 13 монет достоинством в 1 рубль.

Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера.

1)  В сумме у Андрея было не больше 60 рублей.

2)  Меньше всего у Андрея было монет достоинством 5 рублей.

3)  Монет достоинством 2 и 5 рублей у Андрея было столько же, сколько и монет в 1 рубль.

4)  В магазине Андрей сможет оплатить покупку на сумму 26 рублей, пользуясь только монетами в 2 и 1 рубль.



Заключение

Таким образом, на основе изученного материала можно с уверенностью сделать вывод о том, что умение решать логические задачи является необходимым в повседневной жизни для того, чтобы справляться не только с учебой, но и с жизненными ситуациями. Чтобы успешно решать логические задачи, нужно уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Знание различных методов решения логических задач поможет развить логическое мышление.



Авторы материала: Е. Глазов (8 класс), Р. Кичатов (8 класс), Д. Волков (8 класс)
Опубликовано


Комментарии (0)

Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.