Методические рекомендации по решению текстовых задач по математике при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ

 

 

 

 

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ "СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №7"

 

 

 

 

 

 

Тема «Методические рекомендации по решению текстовых задач по математике при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.»

 

 

 

 

 

Работу выполнил:

Лобанова Елена Владимировна

МОУ СОШ № 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тверь

2024 год

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................... 3

§1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ ...........................................................................4

1.1 Понятие «текстовая задача», виды и способы решения текстовых

задач.......................................................................................................... 4

1.2 Пропедевтика обучения решению текстовых задач алгебраическим

методом …………………………………………………………………. 5

1.3 Этапы решения текстовых задач………………………………........7

§2. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЭТАПОВ РЕШЕНИЯ

ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ……………………………………………..........10

2.1 Задачи на проценты............................................................................10

2.2 Задачи на прогрессии………………………………………………..11

2.3 Задачи на совместную работу ...........................................................12

2.4 Задачи на смеси и сплавы………………………………...................12

2.5 Задачи на движение.............................................................................13

§3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................14

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ......................................15

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Формирование и развитие коммуникативной компетенции - ого одна из задач изучения курса математики в основной школе. Коммуникативная компетенция предполагает умение определять цели общения, оценивать ситуацию общения, учитывать назначение, способы и стратегии коммуникации. Математическая компетенция — это способность структурировать данные (ситуацию), вычленять математические отношения, создавать математическую модель ситуации, анализировать и преобразовывать ее, интерпретировать полученные результаты. Иными словами, математическая компетенция учащегося способствует адекватному применению математики для решения возникающих в повседневной жизни проблем.

В школьном курсе математики нет возможности уделить достаточно времени формированию у обучающихся коммуникативных компетенции, поэтому предлагаемая разработка актуальна и с точки зрения совершенствования речевой деятельности учащихся, и как этап в подготовке к ЕГЭ по математике.

Большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач, об этом можно судить по статистическим данным анализа результатов проведения ЕГЭ: решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет около 30%. Вторая причина- это введение ОГЭ для выпускников 9-х классов. Задания 2-ой части содержат задачу, которая оценивается максимумом баллов, за нетрадиционной формулировкой этой задачи учащимся необходимо увидеть типовые задачи, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этим причинам возникла необходимость более глубокого изучения традиционного раздела элементарной математики: решение текстовых задач. Полный минимум знаний, необходимый для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе, поэтому представленный материал рекомендуется вводить с 8-го класса.

В предлагаемой разработке преследуется цель: подготовка учащихся к итоговой аттестации, продолжению образования, повышение уровня их математической культуры.

Выдвигаемые задачи:

-сформировать у учащихся полное представление о решении текстовых задач;

-сформировать высокий уровень активности, раскованности мышления, проявляющейся в продуцировании большого количества разных идей, возникновении нескольких вариантов решения задач, проблем;

- развить интерес к математике, способствовать выбору учащимися пути дальнейшего продолжения образования; способствовать профориентации.

§1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ.

Понятие «текстовая задача», виды и способы решения текстовых

задач.

Текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.

Решение задач – это большая умственная работа. Для того, чтобы научиться такой работе, нужно предварительно хорошо изучить материал, над которым придется работать.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, нужно разобраться в том, что собой они представляют, как устроены, из каких частей состоят.

Можно сказать, что для большинства школьников текстовые задачи - трудный для изучения материал.

Роль текстовых задач в процессе обучения математике многообразна, и она сводится лавным образом к следующим функциям:

- служат усвоению математических понятий и отношений между ними;

- обеспечивают усвоение учащимися специфических понятий, входящих в предметную область задач;

- повышают вычислительные навыки учащихся;

- учат школьников применению такого метода познания действительности, как моделирование;

- развивают у учащихся способность анализировать, рассуждать, обосновывать;

- развивают логическое мышление у учащихся;

- развивают познавательные способности учащихся через усвоение способов решения задач;

- прививают и укрепляют интерес школьников к математике.

Существуют различные виды текстовых задач. Умение их различать помогает правильно сориентироваться в выборе более эффективного способа ее решения. Так же решение задач формирует у школьников практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни.

1.2 Пропедевтика обучения решению текстовых задач алгебраическим методом.

В курсе математики 5 – 9 классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выражения (числовой формулы) и подсчета результата. Алгебраический способ основан на использовании уравнений, составляемых при решении задач или систем уравнений.

Рассмотрим некоторые основные вопросы пропедевтической работы по составлению уравнений при решении текстовых задач.

Выделяют два основных этапа. На первом задача учителя состоит в том, чтобы систематически и целенаправленно формировать у учащихся некоторые важные общеучебные и математические навыки. На втором этапе основное внимание должно быть уделено выявлению зависимостей между величинами, входящими в текст задачи, и обучению переводу этих зависимостей на математический язык. Рассмотрим каждый этап подробнее.

Первый этап пропедевтики.

К наиболее важным умениям, которые необходимо сформировать у учащихся на этом этапе изучения текстовых задач, относятся следующие:

- умение внимательно читать текст задачи;

- умение проводить первичный анализ текста задачи – выделять условие и вопрос задачи;

- умение оформлять краткую запись текста задачи;

- умение выполнять чертежи (рисунки) по тексту задачи.

Второй этап пропедевтики.

На этом этапе важно добиться понимания учащихся способов словесного выражения изменению величин и фиксация их в виде математических выражений или уравнений.

Достигнуть этого можно с помощью специальных упражнений. Например, при изучении действий умножения натуральных чисел в 5 классе учащиеся рассматривают одно из применений умножения – увеличение числа в несколько раз. Здесь для достижения, желаемого возможны следующие упражнения:

1) Мать старше дочери в 4 раза. Сколько лет матери, если дочери m лет?

2) На двух шкафах стоит по n картин на каждом, а на третьем – m картин. Сколько картин на трех шкафах?

Аналогичные упражнения можно предложить учащимся при изучении других арифметических действий. Упражнения должны быть не сильно сложными, доступными для понимания всеми учащимися, а число их – достаточным для формирования соответствующих умений и навыков.

1.3 Этапы решения текстовых задач.

Теперь ознакомимся с этапами решения текстовых задач.

Деятельность по решению задачи включает следующие этапы независимо от выбранного метода решения:

1.Анализ содержания задачи.

2.Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.

3.Осуществление плана решения задачи.

4.Проверка решения задачи.

В реальном процессе решения задачи названные этапы не име­ют четких границ, и человек, решающий задачу, не всегда выде­ляет их в явном виде, переходя от одного к другому незаметно для себя. Вместе с тем решение каждой отдельно взятой задачи обяза­тельно должно содержать все указанные этапы, осмысленное про­хождение которых (вместе со знанием приемов их выполнения) делает процесс решения любой задачи осознанным и целена­правленным, а значит, более успешным. Игнорирование одних этапов (например, поиска пути решения) может привести к ре­шению методом «проб и ошибок», игнорирование других (напри­мер, проверки решения задачи) — к получению неверного ответа и т.д.

Рассмотрим более подробно каждый этап решения задачи.

1. Анализ задачи. Основное назначение этапа — осмыслить си­туацию, отраженную в задаче; выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные). На этом этапе решения задачи можно использовать такие приемы:

а) представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче;

б) постановка специальных вопросов и поиск ответов на них;

в) моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных или графических моделей и др.

Первый прием — представление той жизненной ситуации, ко­торая описана в задаче, — выполняется фактически при чтении или слушании задачи. Вместе с тем мысленное воспроизведение всех объектов задачи и связей между ними может проводиться и позже. Цель такого воспроизведения — выявление основных коли­чественных и качественных характеристик ситуации, представлен­ной в задаче.

Второй прием — постановка специальных вопросов и поиск ответов на них — включает следующий «стандартный» набор во­просов, ответы на которые позволяют детально разобраться в содержании задачи:

О чем говорится в задаче? Что известно в задаче? Что требуется найти в задаче? Что в задаче неизвестно? и др.

Третий прием —моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей является еще одним, четвертым, приемом анализа задачи.

Вспомогательные модели являются действенным средством по­иска пути решения задачи и составления плана ее решения.

2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения. Назначение этапа — завершить установление связей между дан­ными и искомыми величинами и указать последовательность ис­пользования этих связей.

Проведя анализ задачи, не всегда просто найти путь ее реше­ния. Поиск пути решения задачи является довольно трудным про­цессом, для которого нет точного предписания. Укажем некото­рые приемы, помогающие осуществлять этот этап.

Одним из приемов поиска пути решения задачи является ана­лиз задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к дан­ным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетичес­кий путь).

В первом случае (аналитический путь) на основе анализа зада­чи необходимо уточнить, что требуется найти в задаче и опреде­лить, что достаточно знать для ответа на этот вопрос. Для этого следует выяснить, какие из нужных данных есть в условии задачи. Если они (или одно из них) отсутствуют, надо определить, что нужно знать, чтобы найти недостающие данные (или одно недо­стающее данное), и т.д., пока для определения очередного неиз­вестного оба данных будут известны.

Во втором случае (синтетический путь) решающий выделяет в тексте задачи два каких-либо данных и на основе связи между ними, установленной при анализе, определяет, какое неизвест­ное может быть найдено по этим данным и с помощью какого действия. Затем, считая полученное число данным, решающий опять выделяет два взаимосвязанных данных и определяет, какое неизвестное может быть найдено по ним и с помощью какого действия, и т.д., пока выполнение очередного действия не при­ведет к определению искомого.

При решении задач анализ и синтез в рассуждениях, как пра­вило, переплетаются. Осуществляя поиск пути решения задачи син­тетически, анализ часто производят «про себя». В то же время, каким бы приемом мы ни вели поиск пути решения составной задачи, ее предварительный анализ (хотя бы подсознательный) неизбежен.

Еще одним из приемов поиска пути решения задачи является разбиение задачи на смысловые части. Сущность этой работы заключается в том, чтобы научиться различать в данной задаче отдельные, менее сложные задачи, последовательное решение ко­торых позволяет получить ответ на требование данной.

3. Осуществление плана решения задачи. Назначение этапа — найти ответ на требование задачи. Немаловажную роль при решении задач играет запись найденного решения.

§2. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЭТАПОВ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ.1

2.1 Задачи на проценты.

Процентом называется сотая часть числа.

При решении задач на проценты могут встречаться три случая.

а) Нахождение процентов от данного числа.

В цехе работают 60 человек, из них 30% женщины. Определите, сколько женщин работает в цехе?

Образец решения:

Требуется найти 30% от числа 60, то есть ×60 = 18 (женщин).

б) Нахождение числа по его процентам.

Найдите размер вклада, 25% которого составляют 150 тыс. рублей.

Образец решения:

1% вклада составляет тыс. рублей, а весь вклад, принятый за 100%, равен тыс. рублей.

в) Нахождение процентного отношения двух чисел.

Каково процентное содержание меди в руде, если на 225 кг руды приходится 34,2 кг меди?

Образец решения:

Содержание меди в руде составляет частей, или ×100=15,2%.

2.2 Задачи на прогрессии.

В состав ЕГЭ по математике входят задачи, связанные с прогрессией. Это текстовые задачи, где неизвестные являются членами арифметической или геометрической прогрессии.

Пример: Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Каждый день улитка проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Это задача на арифметическую прогрессию. Количество дней – это количество членов прогрессии, 150 метров это сумма всех членов прогрессии), 10 метров –  сумма расстояний в первый и последний день (сумма первого и последнего члена прогрессии).

Необходимо понимать саму суть – что собой представляет арифметическая и геометрическая прогрессия, а также знать формулы:

2.3 Задачи на совместную работу.

В подобных задачах обычно речь идет о совместной работе нескольких человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной скоростью выполнения работы.

Такие задачи аналогичны задачам на движение. Здесь роль пути выполняет величина всей работы (число деталей, объем резервуара и т. п.), а роль скорости – производительность (т. е. работа, выполняемая за единицу времени).

Если в таких задачах объем всей выполненной работы не указывают, и он не является искомым, то его удобно принимать за единицу. В этом случае время, t, необходимое для выполнения всей работы, и производительность труда Р связаны соотношением Р=.

Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа.

Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим,

у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.

Тогда – производительность труда первого рабочего, производительность труда второго рабочего, совместная производительность труда,

время, за которое они выполнят задание, работая вместе.

2.4 Задачи на смеси и сплавы.

В подобных задачах речь идет о составлении смесей, сплавов, растворов и т.п. Здесь принимают следующие допущения.

1) Все полученные смеси (сплавы, растворы) однородны.

2) Если смесь (сплав, раствор) состоит из веществ А, В, С (имеющих массы ) то величину (соответственно , ) называют концентрацией вещества в смеси. ∙величину ∙100% называют процентным содержанием вещества А в смеси.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

1. Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию.

2. Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз. При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение.

2.5 Задачи на движение.

При решении задач на движение принимают следующие допущения:

1)Движение считаем равномерным, если нет специальных оговорок.

2)Если тело с собственной скоростью x движется по реке, скорость которой y, то скорость движения тела по течению равна х+у, а против течения х−у. Если же в задаче говорят о движении плота, то полагают, что он движется со скорость течения.

3)Если два тела со скоростями x и y движутся навстречу друг другу, то время, через которое они встретятся, равно , где S –начальное расстояние между телами.

4)Если одно тело догоняет другое, х>у, то время, через которое первое тело догонит второе, равно

При решении задач на движение рекомендуется сделать рисунок, отражающий все условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь.

При решении задач такого типа часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг другу либо в случае, когда один объект догоняет другой.

§3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, решение текстовых задач не случайно всегда волновало учителей, методистов, да и самих учащихся и их родителей.

Во-первых, нельзя решить задачу, не поняв ее содержание. Следовательно, умение решать текстовые задачи говорит об одной из самой важной способности человека- способности понимать текст. Критерием понимания задачи является факт решения задачи. Поэтому решение текстовых задач - это деятельность, весьма важная для общего развития. Обучая решать текстовые задачи, мы приучаем ориентироваться в ситуациях, делаем человека более компетентным. Для этого нужно расширить тематику задач, давать детям задачи, разнообразные по тематике.

Во-вторых, решение задачи алгебраическим методом - чуть ли не единственный путь для объяснения ученикам того, чем вообще занимается математика, - объяснения метода математического моделирования. Ученик читает условия, характеризующие некоторую бытовую ситуацию, переводит эту ситуацию на математический язык и затем решает уравнения, уже не думая о данной бытовой ситуации. Наконец, он получает результат на языке этой модели и переводит его на естественный язык.

Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с другой стороны, развитию логического мышления учащихся.

При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

М.В. Лурье, Б.И. Александров. Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990г.

Г.Н. Тимофеев Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие– Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2001г.

А. Тоом Как я учу решать текстовые задачи. - Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №46, 47, 2004г.

А. Прокофьев, Т. Соколова, В. Бардушкин , Т. Фадеичева. Текстовые задачи. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №9, 2005г.

 

 

 

Приложение к § 2.

2.1 Задачи на проценты. Примеры решения задач.

Задача. Цену товара сперва снизили на 20%. Новую цену снизили еще на 15% и после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара? Решение. Пусть первоначальная цена товара X рублей.

1-ое снижение. х рублей - 100% ,Р рублей -80% , Р = = 0,8 х. (руб). стал стоить товар.

2-ое снижение. Новую цену примем за 100%.

0,8 х рублей - 100%,

К рублей - 5%, К = стал стоить товар.

3-е снижение. Новую цену примем за 100%.

0,68 х рублей -100%,

У рублей - 90%,

У =(руб) стал стоить товар.

Узнаем сколько это составляет процентов?

Х рублей -100%,

0,612 х руб. - ℓ%, ℓ%== 61,2% стал стоить товар. Узнаем на сколько процентов снизилась цена товара?

100% - 61,2%=38,8% Ответ: цену товара снизили на 38,8%.

Задача. В одном из городов Узбекистана часть жителей говорит только по-русски, часть только по-узбекски, а часть говорит на обоих языках. Известно, что 90% жителей говорят по-русски, а 80% говорят по-узбекски. Какой процент жителей этого города говорит на обоих языках?

Решение. Пусть х% жителей говорят на обоих языках, тогда (90 –х) % говорят только по-русски.

Уравнение: 80%-(90-х) %=100%, х=70%.

1)100%-80%=20% - говорят только по-русски.

2) 90%-20%=70% -говорят на обоих языках.

Ответ: 70% жителей говорят на обоих языках.

Задача. В иностранном отделе библиотеки имеются книги на английском; французском и немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг; французские-75% английских, а остальные 185 книг на немецком языке. Сколько всего книг на иностранных языках в библиотеке?

Решение. Пусть всего книг в отделе – х. 36%=0,36; 75%=0,75.

На английском языке: 0,36х книг; на французском: 0,36х∙0,75=0,27х (часть от числа) Уравнение: 0,36х+0,27х+185=х,

0,37х =185, х=500. Ответ:500 книг.

Задача. Из молока, жирность которого составляет 5%, изготовляют творог, жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получится из 1 тонны молока?

Решение.

1)1000∙0,05=50(кг) жира в молоке.

2) Пусть получили х кг творога из 1000 кг молока.

х∙0,155кг – жира в твороге; (1000-х) кг –сыворотки; (1000-х) ∙0,005 кг жира в сыворотке

Уравнение: 0,155х+(1000-х) ∙0,005=50; х=300.

Ответ: получится 300 кг творога.

Задача. Первое из неизвестных трех чисел составляет 140% от второго. А отношение первого к третьему равно 14:11. Найти эти числа, если разность между третьим и вторым на 40 единиц меньше числа, составляющего 12,5% суммы первого и второго числа.

Решение. Обозначим второе число за х, тогда первое число будет 1,4х, третье число - 1,1х.Разность третьего и второго будет: 1,1х – х = 0,1; сумма первого и второго будет х+1,4х=2,4х

Найдем 12,5% от этой суммы: 2,4∙0,125=0,3х.

Уравнение: 0,1х+40=0,3х; 0,2х=40; х=200 – второе число.

1)1,4х=200∙1,4=280 – первое число.

2)1,1х=200∙1,1=220 – третье число. Ответ: 280;200;220.

 

Задача. Свежие грибы по весу содержат 88% воды по весу, а сухие 10%. Сколько получится сухих грибов из 25 кг свежих?

Решение. 1)25кг – 100%, Влаги - 88%, влаги ==22(кг) в свежих грибах. 2)25 – 22=3(кг) – сухого вещества в свежих грибах.

Пусть сухих грибов получилось х кг, что составляет 100%, влаги и них 10%, тогда сухого вещества 90% или 0,9х кг.

Уравнение: 0,9х=3; х=3:0,9=3 (кг). Ответ: сухих грибов получится 3 кг.

Задача. Цена книги поднималась 4 раза на одно и то же число %. На сколько % увеличилась цена, если книга стала дороже в 2 раза?

Решение. Задача решается по формуле сложных процентов: