Методические указания по выполнению практических работ для студентов по дисциплине Прикладная математика

Методические указания

по выполнению практических работ для студентов

по дисциплине

Прикладная математика

специальность

07.02.01 Архитектура

Квалификация – архитектор

Форма обучения – очная

Новочеркасск

2023

Содержание

Введение

Математика-это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты. Многие математические теории нередко кажутся искусственными, оторванными от реальной жизни, просто непонятными. Если же подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то станет, виден их глубокий жизненный смысл, их необходимость.

Математика и архитектура развивались одновременно. Нельзя было провести строгую границу между этими двумя видами искусств. В древности математика, как и архитектура, относилась к искусствам. Образование человека считалось неполным, если он, наряду с философией, поэзией, музыкой, не овладевал современной ему математикой, не умел ставить и решать задачи, доказывать теоремы. Развитие математики требовало знаний архитектуры и наоборот. Потребности зарождающегося строительства и, возникшей вслед за ним архитектуры явились одним из стимулов, благодаря которым возникла и сделала первые шаги математика.

Архитектура — древнейшая сфера человеческой деятельности и ее результат. Главный смысл понятия архитектура состоит в том, что это совокупность зданий и сооружений различного назначения, это пространство, созданное человеком и необходимое для его жизни и деятельности.

Архитектура зарождается вместе с человечеством, сопровождает его в историческом развитии. В ней отражаются мировоззрение, ценности, знания людей, живших в различные исторические эпохи. В ней сосредоточены особенности культуры представителей разных национальностей.

Тесная связь архитектуры и математики известна давно. Хороший архитектор должен знать аналитическую геометрию и математический анализ, основы высшей алгебры и теории матриц, владеть методами математического моделирования и оптимизации.

Данная работа содержит методические указания к практическим работам по дисциплине «Прикладная математика» и предназначена для учащихся 2-го курса специальности 07.02.01 Архитектура.

Цель разработки: оказания помощи учащимся в выполнении практических работ по дисциплине «Прикладная математика».

Содержание пособия соответствует требованиям к знаниям, умениям и навыкам по дисциплине «Прикладная математика».

Практическая работа № 1

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, ПРИЗМЫ, ПИРАМИДЫ, УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ, ЦИЛИНДРА, КОНУСА, УСЕЧЕННОГО КОНУСА

Цель занятия. Закрепление умений вычислять площади поверхностей на примере прикладных задач.

Краткие теоретические сведения

Задания для практической работы

Задача 1. Сторона основания и апофема правильной треугольной пирамиды соответственно равны 16 см и 6 см. Найти боковую поверхность пирамиды.

Задача 2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 12 см. Найти полную поверхность цилиндра.

Задача 3. Боковая поверхность конуса равна 15π см2, а его радиус равен 3. Найти высоту конуса.

Задача 4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна см, а боковое ребро 5 см. Найти боковую поверхность этой пирамиды.

Контрольные вопросы

Какое тело называется цилиндром? Что такое боковая поверхность, основания, образующие, ось, радиус и высота цилиндра?

Докажите, что площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

Что называется площадью полной поверхности цилиндра? Как ее вычислить, если даны радиус и высота цилиндра?

Какое тело называется конусом? Что такое боковая поверхность, основание, образующие, ось и высота конуса?

Докажите, что площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Практическая работа № 2

Вычисление площадей поверхностей многогранников, несложных композиций из многогранников

Цель занятия. Закрепление умений вычислять площади поверхностей на примере прикладных задач.

Краткие теоретические сведения

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

Элементы многогранника

Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями. Так, у тетраэдра и октаэдра гранями являются треугольники. У тетраэдра 4 грани, отсюда и его название от греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник. У октаэдра 8 граней, а от греческого οκτάεδρον от οκτώ «восемь» + έδρα «основание».

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Виды многогранников

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В остальных случаях многогранник называется невыпуклым (рис.3).

Рисунок 1 – Виды многогранников

Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника

Утверждение. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 3600.

Пояснить данное утверждение поможет рисунок 4. “Разрежем” многогранник вдоль его ребер и все его грани с общей вершиной расположим так, чтобы они оказались в одной плоскости. Видим, что сумма всех плоских углов действительно меньше 3600.

Рисунок 2 – сумма плоских углов пи вершине многогранника

Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер, а Г — число его граней. Тогда верно равенство В – Р+Г= 2.

Задания к практической работе

Задание 1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задание2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задание 3 Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задание 4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задание 5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Контрольные вопросы

Назовите формулу нахождения площадь поверхности конуса, усеченного конуса?

Как найти площадь поверхности пирамиды, цилиндра?

Как найти площадь поверхности параллелепипеда?

Практическая работа № 3

Вычисление площадей поверхностей круглых тел, шара и его частей, несложных композиций из многогранников и круглых тел

Цель занятия. Закрепление умений вычислять площади поверхностей на примере прикладных задач.

Краткие теоретические сведения

Пирамида и шар (сфера)

Т еорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (т.е. многоугольник около которого можно описать сферу). Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.

Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

О пределение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На рисунке справа плоскость γ является биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями α и β.

На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду (или пирамида описанная около шара), при этом точка О – центр вписанного шара. Данная точка О равноудалена от всех граней шара, например:

ОМ = ОО1

Пирамида и конус

В стереометрии конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Важное свойство: Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

 Пирамида и цилиндр

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

Ц илиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды – вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

 Сфера и шар

Определения:

Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.

Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.

Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R.

Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.

Радиусом, хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.

Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность – это линия, а круг – это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера – это оболочка, а шар – это ещё и все точки внутри этой оболочки.

Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью.

Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Теоремы:

Теорема 1 (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.

Теорема 2 (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Многогранники и сфера

Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника.

Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:

Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера (шар) касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник.

Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников:

Задача 1. Площадь большого круга шара равна 1. Найдите площадь поверхности шара.

Задача 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 28 раз?

Задача 3.Сопоставьте изображения геометрических фигур с их названиями.

1 -Конус, вписанный в пирамиду.

2- Цилиндр, описанный около призмы.

3- Цилиндр, вписанный в призму

Задача 4 .Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3см, 4см и 5 см. Найдите радиус описанной около параллелепипеда  сферы.

Задача 5. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 4 см. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь поверхности описанной около пирамиды сферы. 

Контрольные вопросы

Сформулируйте определение сферы и шара.

Сформулируйте определение шарового сегмента, шарового сектора, шарового слоя.

Сформулируйте теоремы о нахождении площади боковой  и полной поверхности цилиндра, конуса, сферы.

Практическая работа № 4. Расчет площади стен промышленных и гражданских зданий.

Цель занятия. В процессе выполнения задания научиться применять методику расчета площади простых геометрических фигур к расчету площадей стен промышленного и гражданского зданий.

Краткие теоретические сведения

Первым шагом для расчета количества материалов является расчет площадей под отделку.

Площади различных помещений могут быть самой разной конфигурации, но обычно, расчет площадей сводится к расчету площади простых геометрических фигур (прямоугольник, квадрат, треугольник), из которых складывается рассматриваемое помещение.

Для вычисления площади стен под отделку необходимо:

вычислить периметр помещения

периметр умножить на высоту

вычислить площадь окон и дверей

из площади стен вычесть площадь окон и дверей

При вычислении площадей используются следующие формулы:

Площадь пола прямоугольной формы рассчитывается по формуле:

Площадь стен можно рассчитать по формуле:

Как рассчитать периметр пола прямоугольной формы?

Контрольные вопросы

Как рассчитать площадь пола прямоугольной формы?

Как рассчитать площадь стен?

Как рассчитать периметр пола прямоугольной формы?

4. Как вычислить площадь стен в помещении с окнами и дверью?

Практическая работа № 5

Вычисление объемов ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, ПРИЗМЫ, ПИРАМИДЫ, УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ, ЦИЛИНДРА КОНУСА, УСЕЧЕННОГО КОНУСА

Цель занятия. Закрепление умений вычислять объемы тел на примере прикладных задач.

Краткие теоретические сведения

Расчет объема куба

 a – сторона куба

 Формула объема куба, (V ):

Объем прямоугольного параллелепипеда

a, b, c- стороны параллелепипеда

 Формула объема параллелепипеда, (V):

Объем цилиндра

 h- высота цилиндра

r- радиус основания

π ≈ 3,14 

Объем конуса

H- высота конуса

R- радиус основания

π ≈ 3,14

 

Задания для практической работы.

Задача 1.Осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник, две стороны которого равны 5 дм, а третья сторона равна 6 дм. Найдите объём конуса.

Задача 2.Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом.Радиус основания стога 3,75м, высота стога 6 м, а высота его цилиндрической части 3,3 м.Найдите массу стога, если плотность сена 30кг/м3 .

Задача 3.Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 25 дм, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину прямого угла параллельно гипотенузе. Найдите объем тела вращения.

Задача 4. Три металлических шара с радиусами 10, 8 и 6см переплавлены в один шар. Найдите радиус этого шара?

Задача 5.Внешний радиус полого шара с равной толщиной стенок равен 12 см, а внутренний радиус - 9см. Найдите массу полого шара, если плотность материала равна 10500 кг/м3.

Контрольные вопросы

Что называется объёмом тела?

Перечислите основные свойства объема тела.

Выпишите формулы для определения объема прямоугольного параллелепипеда и прямой призмы и поясните смысл входящих в них параметров.

Можно ли применить формулу объема прямой призмы для вычисления объема прямого параллелепипеда?

Объясните, как используется формула для вычисления объема тела для вычисления объема тела по площади его поперечного сечения.

Как вычисляется объем наклонной призмы?

Практическая работа № 6

Вычисление объемов МНОГОГРАННИКОВ, НЕСЛОЖНЫХ КОМПОЗИЦИЙ ИЗ МНОГОГРАННИКОВ

Цель занятия. Закрепление умений вычислять объемы тел на примере прикладных задач.

Задания для практической работы.

Задание 1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Задание 2. Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Задача 3. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, объем которого равен 7  . Найдите объем призмы.

Задание 4. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

Задание 5. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Контрольные вопросы

Выведите формулу объема пирамиды.

Выведите формулу объема усеченной пирамиды.

Как вычисляется объем тела вращения?

Выведите формулу объема полного и усеченного конусов.

Практическая работа № 7

Вычисление объемов КРУГЛЫХ ТЕЛ, ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ, ОБЪЕМОВ ТЕЛ ИЗ КОМПОЗИЦИЙ МНОГОГРАННИКОВ И КРУГЛЫХ ТЕЛ

Цель занятия. Закрепление умений вычислять объемы тел .

Краткие теоретические сведения

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

 Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями 

 Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями 

Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы

Объем шара равен .

Объем шарового сегмента равен .

Объем шарового сектора равен .

Объем шарового слоя равен 

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

      Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

      Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Рис.1

      Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

      Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

Рис.2

Дана комбинация тел – конус и шар.

Рис 3.

При решении необходимо знать формулы объёмов шара и конуса.

Объём шара:

Объём конуса:

*Эти формулы необходимо знать!

Площадь основания конуса является кругом, она равна:

Рассмотрим частный случай! Если высота конуса будет равна радиусу его основания, то формула объёма конуса будет иметь вид:

Задания для практической работы.

Задача 1. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

Задача 2. По разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью  и  см2. Расстояние между сечениями равно  см. Определите объём получившегося шарового слоя.

Задача 3. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Задача 4. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

Задача 5. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна  . Найдите радиус сферы.

Контрольные вопросы

1. Какое утверждение неверное?

1). Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

2). Равные тела имеют равные объёмы.

3). Если объёмы тел равны, то тела равны.

2. Какое утверждение верное?

1) Не могут быть равны объёмы четырёхугольной призмы и четырёхугольной пирамиды, имеющих равные высоты.

2) Две призмы с равными высотами равновелики, если их основаниями являются одноимённые многоугольники с равными сторонами.

3) Диагональные плоскости делят параллелепипед на равновеликие части.

3. Объем правильной шестиугольной призмы можно найти по формуле:

1) ; 2) ; 3) ,

где - сторона основания, - высота призмы.

4. S – площадь боковой поверхности цилиндра, R – радиус его основания. Тогда объем цилиндра равен:

1) RS; 2) RS; 3) 2RS.

5. Объем равностороннего конуса (длина образующей равна длине диаметра основания конуса) нельзя вычислить по формуле:

1) где - высота конуса;

2) где - радиус основания конуса;

3) где - образующая конуса.

6. Объем усеченного конуса, высота которого равна , вычисляется по формуле:

1) где и - радиусы оснований;

2) где и - площади оснований;

3) где и - диаметры оснований.

7. Объем шара радиуса R можно найти по формуле:

1) ; 2) ; 3) .

8. Площадь поверхности шара диаметром d можно найти по формуле:

1) ; 2) ; 3) .

Практическая работа №8

Расчет объемов фундаментов.

Цель занятия: В процессе выполнения задания научиться применять формулы геометрии для расчета объемов фундаментов.

Краткие теоретические сведения

Вопрос определения объемов играет немаловажную роль в строительстве. Возведение домов, других сооружений – дело затратное, стройматериалы требуют внимательного отношения и предельно точного расчета.

Основа здания – фундамент - представляет собой обычно литую конструкцию, заполняемую бетоном. Перед тем как посчитать объем бетона, необходимо определить тип фундамента. Плитный фундамент – плита в виде прямоугольного параллелепипеда. Столбчатое основание - прямоугольные или цилиндрические столбы определенного сечения. Определив объем одного столба и умножив его на общее количество столбов, можно рассчитать кубатуру бетона на весь фундамент.

Как рассчитать кубатуру фундамента

При строительстве дома важно сформировать прочный и надежный фундамент. Для обеспечения этих характеристик следует строго придерживаться требований проекта, в котором указаны размеры фундамента, марка бетона, конструкция опалубки и расчетное количество бетона в кубических метрах. Опалубка – это форма для заливки в нее строительной смеси при создании фундамента. Обычно ее конструируют на месте строительства, но так же есть и готовые разборные конструкции, которые изготавливают на заводе. Для строительства небольшого дома удобнее делать опалубку своими руками, уже готовые детали дорогие и предназначены для фундаментов больших масштабов. Метод использования опалубки можно назвать универсальным. Иногда его применяют и в строительстве стен, колонн и конструкций сложной конфигурации.

Кроме того учитывается наличие ребер жесткости, если они описаны в проекте, и прочих элементов, которые могут повлиять на изменение объема заливаемого бетоном. Однако после фактического монтажа опалубки возможны изменения и отклонения от размеров, указанных в проекте, и это следует учесть при расчете объема бетона для заказа.

Расчет необходимого объема фундамента для заказа бетона проводится с использованием простых формул, известных еще из школьного курса геометрии для параллелепипеда:

Объем = Ширина * Высота * Длина
или

Объем = Площадь* Высота.

В случае если ширина фундамента в верхней части отличается от ширины основания, используется следующая формула для трапеции:
Объем = (Ширина1+Ширина2)/2 * Высота * Длина.

Размеры для расчета кубатуры фундамента следует брать фактические по смонтированной опалубке.

Расчет ленточного фундамента.

Есть несколько моментов, которые важно учесть в расчетах. Ленточный фундамент не всегда имеет форму прямоугольника, могут присутствовать различные выступы или выемки, кроме основного периметра часто имеются ответвления фундамента для внутренних стен и перемычек. Некоторые части фундамента могут отличаться по ширине для дополнительного усиления. Следует условно разделить фундамент на группы с одинаковой шириной между внутренними стенками опалубки. Объем вычисляется как сумма объемов каждой из групп.

Для определения длины фундамента используется не внешний или внутренний размер, а длина периметра фундамента по средней линии между стенками опалубки. Это позволит избежать лишних расчетов объема при наличии поворотов ленты фундамента. То же самое касается и фундамента под внутренними стенками.

Данное основание широко применяется при малоэтажном частном строительстве, потому что оно обладает отличными эксплуатационными характеристиками и легкостью монтирования. Объем ленточного фундамента можно посчитать, зная высоту и ширину ленты. Поскольку такой элемент является прямоугольной формы, то для определения его площади необходимо перемножить высоту на ширину. Чтобы определить полный объем ленточного фундамента, нужно площадь умножить на его длину.

Рис. 1. Схема ленточного фундамента.

Стоит отметить, что высота ленты включает в себя высоту надземной части и глубину закладки. При этом высота фундамента ленточного вида должна быть минимум в 2 раза больше его ширины. Под общей длиной ленты подразумевается не только внешний периметр, но и длина всех перегородок, под которыми будет улаживаться фундамент. Нужно помнить, что такие перегородки не всегда являются несущими, поэтому под них в большинстве случаев монтируется более легкий вид фундамента, который также имеет другие габариты. Этот факт также необходимо учесть при подсчете объема бетона.

Общий V основания состоит из объемов его отдельных частей, имеющих разную геометрическую структуру, каждая из которых рассчитывается по формуле: V = L*S, где L – длина ленты основания, а S – площадь поперечного сечения. Например, ленточный фундамент одинаковой геометрической структуры имеет размеры: длина – 30 м, площадь поперечного сечения – 0,2 м2. В этом случае объем основания составит: V = 30*0,2 = 6 м3.

Ленточное основание - это тот же прямоугольный параллелепипед, только с полой внутренней частью. Причем внутри основания могут располагаться еще и элементы для поддержки межкомнатных перегородок.

Впрочем, несмотря на немного усложненную форму, объем ленточной опалубки можно вычислить без особых усилий. Для этого нужно вычесть из объема прямоугольного параллелепипеда, образованного внешними стенками опалубки, объемы такой же геометрической фигуры, образованной внутренними стенками опалубки.

После этого к полученному результату можно добавить объемы внутренних лент, поддерживающих межкомнатные перегородки. Причем поперечные, внутренние ленты (относительно лицевой стороны фасада) считают, как один параллелепипед, а продольные – как два параллелепипеда, примыкающие к поперечной ленте.

И если перейти от формул к цифрам, то объемы основания 10х12 метров с шириной ленты в 0,4 метра, заглубленного в грунт на 2 метра и дополненного одной внутренней лентой, толщиной в 0,5 метра, вычисляются следующим образом:

Определяем объем внешнего параллелепипеда 10м х 12м х 2м = 240 м3.

В ычисляем объем внутреннего параллелепипеда (10-0,4-0,4)м х (12-0,4-0,4)м х 2м = 206,08 м3.

Подсчитываем разницу объемов 240 м3 – 206,08 м3 = 33,92 м3 – именно такой объем имеет лента под несущими стенами строения.

Объемы внутренней ленты вычисляются просто (10-0,4-0,4)м х 0,5м х 2м = 9,2 м3.

Общий объем заливки равен 33,92 м3 + 9,2 м3 = 43,12 м3.

Задание №1 к практической работе.

Ширина заложения фундамента.
Единицы измерения - метры. Ширина ленты А: 6 м,

Длина заложения фундамента.
Единицы измерения - метры. Длина ленты B: 8 м,

Высота сечения фундамента.
Единицы измерения - сантиметры. Высота ленты C: 70 см.,

Ширина сечения фундамента.
Единицы измерения - сантиметры. Толщина ленты D: 40 см.

Рассчитать общую длину ленты, площадь подошвы ленты, площадь внешней боковой поверхности и объем бетона для данного фундамента.

Расчет плиточного фундамента

Данный тип фундамента формируется в виде цельной железобетонной плиты под все здание. Расчет в данном случае предельно прост и выполняется согласно формуле: Объем = Площадь фундамента * Высота фундамента.

Отдельно рассчитывается кубатура ребер жесткости, если они необходимы, и суммируется с основным объемом.

Если в конструкции фундамента предусмотрено формирование технологических пустот или отверстий, то их суммарный объем вычитается из общего объема.

Данный вариант основания представляет собой монолитную железобетонную плиту, которая монтируется под всей площадью здания. Плиточный фундамент широко используется в таких ситуациях:

при отсутствии в строительном проекте подвального помещения;

на плавающих грунтах;

при использовании монолитной плиты в качестве основы для пола.

Рис.2. Схема плиточного фундамента.

Такое основание оказывает достаточно маленькое давление на почву (порядка 0,1 кг/см2) и обладает большей жесткостью, с помощью которой он легко переносит разнонаправленные нагрузки без образования трещин и других разрушений. В большинстве случаев при конструировании плиточного фундамента применяют ребра жесткости, которые нужно учитывать при подсчете количества бетонной смеси.

V плиточного основания можно посчитать по формуле: V = S*H, где S – площадь плиты, а H – ее толщина. Например, если плита имеет размеры: ширина – 6 м, длина – 10 м, высота – 0,2 м, то в результате мы получим такое значение: V = 6*10*0,2 = 12 м3. При использовании ребер жесткости необходимо отдельно рассчитать их объем. Например, используется 4 таких элемента с объемом каждого ребра: V1 = 0,11; V2 = 0,12; V3 = 0,14; V4 = 0,15 м3. Общий объем ребер жесткости будет: Vсумм = 0,11+0,12+0,14+0,15 = 0,52 м3.

Чтобы получить V бетона, который нужно будет приготовить для фундамента, необходимо из объема плиты вычесть объем ребер жесткости, то есть: 12 - 0,52 = 11,48 м3.

Задание №2 к практической работе.

Ш ирина заложения фундамента.
Единицы измерения - метры. Ширина ленты А: 6 м,

Длина заложения фундамента.
Единицы измерения - метры. Длина ленты B: 8 м,

Высота сечения фундамента.
Единицы измерения - сантиметры. Высота ленты C: 25 см.

Рассчитать периметр плиты, площадь подошвы плиты, площадь боковой поверхности и объем бетона для данного фундамента.

Расчет столбчатого фундамента

Отдельно стоящие фундаменты под колонны в сборном строительстве часто выполняются в виде ФУНДАМЕНТОВ СТАКАННОГО ТИПА или гильзовых фундаментов. Эти фундаменты — армированные и состоят из распределяющей нагрузку фундаментной плиты, а также армированного стакана для защемления колонны.

Они необходимы, когда помимо вертикальных нагрузок необходимо воспринимать также и горизонтальные нагрузки, например от давления воды. Эти воздействия передаются на землю с помощью фундаментной плиты и обрамляющих стен подвала. Для этого плита основания, обрамляющие стены и внутренние стены ванны с помощью армирования связываются в одно замкнутое тело основания.

Фундаменты глубокого заложения необходимы, когда сооружение должно строиться на водосодержащих и болотистых грунтах. При этом пробивают слабо несущие слои грунта до нижележащих грунтов с большей несущей способностью, на которые уже можно опирать сооружение. Различают столбчатые фундаменты, свайные фундаменты и фундаменты в виде опускных колодцев или фундаменты сжатого воздуха.

С помощью СТОЛБЧАТЫХ ФУНДАМЕНТОВ устраиваются опоры под углы стен и пересечения стен. Стены, лежащие между ними, могут опираться на лежащие на этих столбах железобетонные балки. Столбы делаются из бетона или железобетона.

Рис. 3. Чертеж столбчатого фундамента.

Столбчатый фундамент представляет собой сваи, погруженные в грунт, или заливку армирующей бетонной смеси в пробуренные скважины. Использование столбчатого основания целесообразно при глубоком залегании твердого (несущего) слоя земли или для конструирования легких строений на вспучивающей почве. Благодаря большой экономии строительных материалов и простоте строительства, свайный фундамент является популярной конструкцией.

При круглом сечении элементов столбчатого фундамента расчет проводится исходя из их площади поперечного сечения: S = 3.14*R2, где R – радиус сваи. Полученный результат следует умножить на высоту столбика и количество таких элементов.

Например, если радиус 1-го элемента столбчатого основания составляет 0,15 м, а высота столбика – 2,0 м, то для одной сваи потребуется такое количество бетонной смеси: 3,14*0,15*0,15*2 = 0,1413 м3. По данной методике можно рассчитать V бетона для свай любой формы.

Расчет кубатуры свай

Рассчитывается объем одной сваи по формуле: Объем = Площадь основания * Высота

Для заказа лучше всего полученную кубатуру увеличить еще на 15%, на случай если будут задержки в заливке или проявятся огрехи в опалубке.

При этом в случае более широкого основания высчитывается отдельно объем для основания и для верхней части, и после они суммируются. Посчитанный результат для одной сваи умножается на количество всех свай в фундаменте.

З адание №3 к практической работе.

В зависимости от характеристик грунта и расчетной нагрузки. Количество столбов/свай: 12 шт.

Диаметр основной части столба/сваи.
Единицы измерения - миллиметры. Диаметр столба D1: 300 мм.

Высота основной части столба/сваи.
Единицы измерения - сантиметры. Высота столба H1: 300 см.

Диаметр нижнего расширения столба/сваи.
Единицы измерения - миллиметры. Диаметр основания столба D2: 400 мм.

Высота нижнего расширения столба/сваи.
Единицы измерения - сантиметры. Высота основания столба H2: 20 см.

Ширина заложения фундамента.
Единицы измерения - метры. Ширина ростверка А: 6 м.,

Д лина заложения фундамента.
Единицы измерения - метры. Длина ростверка B: 8 м.

Высота сечения ростверка.
Единицы измерения - сантиметры. Высота ростверка C: 70 см.

Ширина сечения ростверка.
Единицы измерения - сантиметры. Толщина ростверка D: 40 см.

Общие сведения по результатам расчетов

Общая длина ростверка

- Периметр фундамента, с учетом длины внутренних перегородок.

Площадь подошвы ростверка

- Соответствует размерам необходимой гидроизоляции.

Площадь внешней боковой поверхности ростверка

- Соответствует площади необходимого утеплителя для внешней стороны фундамента.

Общий Объем бетона для ростверка и столбов

- Объем бетона, необходимого для заливки всего фундамента с заданными параметрами. Так как объем заказанного бетона может незначительно отличаться от фактического, а так же вследствие уплотнения при заливке, заказывать необходимо с 10% запасом.

Вес бетона

- Указан примерный вес бетона по средней плотности.

Нагрузка на почву от фундамента в местах основания столбов

- Нагрузка на почву от веса фундамента в местах основания столбов/свай.

Толщина доски опалубки

- Расчетная толщина досок опалубки в соответствии с ГОСТ Р 52086-2003, для заданных параметров фундамента и при заданном шаге опор.

Кол-во досок для опалубки

- Количество материала для опалубки заданного размера.

Контрольные вопросы:

Какие виды фундаментов бывают? Когда используют каждый вид?

Какова методика расчета объема ленточного фундамента?

Какова методика расчета объема плиточного фундамента?

Какова методика расчета объема столбчатого фундамента?

Практическая работа № 9

Задачи, связанные с вычислением площадей плоских фигур

Цель занятия. Отработать умения нахождение площади криволинейной трапеции.

Краткие теоретические сведения

Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная графиком функции y=f(x) , осью OX и прямымиx=a;x=b.

-Находится площадь криволинейной трапеции по формуле

Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла и на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур

Пример 1.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой, прямой x=2 и осью OX

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболойи осью OX

Пример 3.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Задания к практической работе

Задание 1. Вычислить

а) б) г) д)

е) ж)

Задание 2. Записать с помощью интегралов площади фигур, изображенных на рисунках (1-5) и найти их площадь:

Рис.1

Рис.2

Рис.3

Рис.4

Рис.5

Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Задание 4. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=4x-x²; y=0; x=0; x=4.

Задание 5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Контрольные вопросы:

1. Дать определение первообразной функции.

2. Что называют определенным интегралом?

3. Перечислите свойства определенного интеграла.

4. Назовите действие, необходимое для вычисления площадей фигур.

5. Назвать методы для вычисления площадей фигур и привести примеры.

Практическая работа № 10

Задачи, связанные с вычислением ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Цель занятия. Отработать умения нахождение объемов тел вращения.

Краткие теоретические сведения

а) Если объем тела существует и есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox в точке x, то

б) Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции

,

где - непрерывная функция, равен

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу определяется аналогично п.(б).

Пример 1. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной графиками функций

=

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиками функций

Построим графики функций

,

.

Задания к практической работе

Задание 1. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной графиками функций

Задание 2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиками функций

Контрольный вопрос

Формула для определения объема тела вращения.

Что мы называем криволинейной трапецией?

Формула Ньютона - Лейбница?

В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

Практическая работа № 11

выполнение операций над заданными множествами и графами

Цель занятия. развитие практических навыков задания множеств, выполнения операций над множествами.

Краткие теоретические сведения

Операции над множествами

1. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно (обозначается: АВ). Используя характеристическое свойство, данное определение можно записать следующим образом:

АВ= {x xA и xB}={x  xA  xB}.

Г рафическая иллюстрация пересечения двух множеств приведена на рис 1.

рис.1

2. Объединением двух множеств А и В называется такое множество, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (обозначается: АВ). Данное определение можно записать с помощью характеристического свойства:

А  В={x xA или xB}.

Графическая иллюстрация объединения двух множеств показана на рис. 2.

рис. 2

Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

АА=А, А=А, АU=U.

Замечание1.

Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

Р= А1 А2… Аn={x  x Ai, i=},

Замечание 2.

Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

C= A1A2…An={x  xA1 или xA2 или …или xAn}.

Замечание 3.

Если в выражении есть знаки  и  и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

3. Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (обозначается: А  В). С помощью характеристического свойства данное определение запишется следующим образом:

A  B={x  xA и xB}

рис. 3

4. Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество, определенное характеристическом свойством:

Графическая иллюстрация симметрической разности двух множеств показана на рис. 4.

рис. 4

5. Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают .

Это определение может быть записано в виде:

= {x  xA}.

Графически дополнение изображено соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

Выполните задание в соответствии с номером варианта:

Осуществить операции над множествами:

Заданы множества A, B, C, U.

Найти множества: , , , , , , , , , .

Решение типовых примеров:

Осуществить операции над множествами E1={2; 4; 6} и E2={6; 8; 10}, если U={2; 4; 6; 8; 10}.

={6},

= {2; 4; 6; 8; 10},

={2; 4},

{8;10},

={2; 4; 8; 10},

{8;10},

={2; 4},

Контрольные вопросы:

1. Назовите элементы, принадлежащие множеству:

а) студентов вашей группы;

б) предметов, изучаемых в I семестре вашей специальности;

в) всех частей света;

г) субъектов федерации, входящих в Российскую Федерацию.

2. Пусть А – множество многоугольников. Принадлежат ли этому множеству:

а) восьмиугольник;

б) параллелограмм;

в) отрезок;

г) параллелепипед;

д) круг;

е) полукруг?

3.Запишите перечислением элементов следующие множества:

а) А – множество нечетных чисел на отрезке [1; 15];

б) В – множество натуральных чисел, меньших 8;

в) С – множество натуральных чисел, больших 10, но меньших 12;

г) D – множество двузначных чисел, делящихся на 10;

д) Е – множество натуральных делителей числа 18;

е) F – множество чисел, модуль которых равен .

Практическая работа № 12

ВЫПОЛНЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ НАД ГРАФАМИ

Цель занятия. Развивать умения и навыки решения задач, используя операции над графами.

Краткие теоретические сведения

Определения теории графов

Граф - конечное множество вершин, природа которых не важна, и конечно множество рёбер, соединяющих между собой какие-либо вершины.

Графы могут быть ориентированными и неориентированными. Если в рамках задачи по рёбрам можно перемещаться в обоих направлениях, то граф называется неориентированным. Если же по каждому ребру можно пройти только в одну сторону, то граф ориентированный. В таком случае рёбра обычно обозначаются стрелками, а не просто линиями.

Пример ориентированного графа

Иногда бывает полезно связать с ребрами графа какие-то числа. Это могут быть длины дорог или плата за проезд, если граф моделирует карту какой-то местности. В таком случае граф называется взвешенным, а сами числа - весами.

Пример: граф с шестью вершинами и семью рёбрами

Граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром, называется полным. Обозначение: Kn - граф, состоящий из n вершин и ребер, соединяющих всевозможные пары этих вершин. Такой граф можно представить как n-угольник, в котором проведены все диагонали.

Ниже приведены полные графы с числом вершин от 1 до 8 и количества их рёбер.

Степенью вершины называется число ребер, которым принадлежит вершина (число рёбер с концом в данной вершине).

Дополнением данного графа называется граф, состоящий из всех ребер и их концов, которые необходимо добавить к исходному графу, чтобы получить полный граф.

Граф, который можно представить на плоскости в таком виде, когда его ребра пересекаются только в вершинах, называется плоским.

Многоугольник плоского графа, не содержащий внутри себя никаких вершин или ребер графа, называют его гранью.

Понятия плоского графа и грани графа применяется при решении задач на «правильное» раскрашивание различных карт.

Путем от вершины A до вершины X называется последовательность ребер, ведущая от A к X, такая, что каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается более одного раза.

Циклом называется путь, в котором совпадают начальная и конечная точка (т.е. можно «ходить по циклу» - «ходить по кругу»).

Простым циклом называется цикл, не проходящий ни через одну из вершин графа более одного раза.

Длиной пути, проложенного на цикле, называется число ребер этого пути.

Две вершины A и B в графе называются связными (несвязными), если в нем существует (не существует) путь, ведущий из A в B.

Граф называется связным, если каждые две его вершины связны; если же в графе найдется хотя бы одна пара несвязных вершин, то граф называется несвязным.

Образец решения

Задания к практической работе

Задача 1

Задача 2

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К?

Контрольные вопросы

Какие задачи решают графы?

В чем заключается теория графов?

Где используется теория графов?

Что такое граф простыми словами?

Какие существуют основные способы задания графов?

Практическая работа № 13

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ

Цель занятия. Развивать умения и навыки решения комбинаторных задач.

Краткие теоретические сведения

При решении ряда теоретических и практических задач требуется из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций. Такие задачи принято называть комбинаторными.

Комбинаторика широко применяется в теории вероятностей.

Упорядоченные подмножества данного конечного множества называются размещениями.

Два различных размещения из элементов данного множества отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения. Если число элементов множества n, а число элементов подмножества m, то число всех возможных размещений из n элементов по m (0 £ m £ n) обозначают .

,

где по определению (n! – эн факториал).

Пример 1. В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идёт за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть

распределены между командами?

Решение. Ясно, что призовые тройки могут отличаться не только составом команд, но и распределением среди этих команд медалей, значит, это будут размещения из 18 команд по 3 (размещения из 18 элементов по 3). Число всех таких размещений:

Ответ: 4896 различными способами.

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n.

Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга лишь порядком расположения входящих в них элементов. Если множество состоит из n элементов, то число всех возможных перестановок обозначают : = n !

Пример 2. Сколькими способами можно расставить на одной полке 6 различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е. = 6 ! = 1×2×3×4×5×6 = 720.

Ответ: 720 различными способами.

Произвольные неупорядоченные подмножества данного множества называются сочетаниями.

Два сочетания будут различными, если они отличаются хотя бы одним элементом (т.е. составом элементов, а порядок расположения элементов не важен). Если n - число элементов множества, а m - число элементов подмножества (m £ n), то число различных сочетаний из n элементов по m элементов обозначают :

Пример 3. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырёх для работы на определённом участке. Сколькими способами это можно Сделайте?

Решение. Так как различные группы из четырёх человек будут отличаться только лишь составом, то их число:

.

Ответ: 12650 способами.

Основной принцип комбинаторики: (принцип произведения)

Если объект А можно выбрать m различными способами, а после каждого такого выбора объект В можно выбрать ( независимо от выбора А) n различными

способами, то пары объектов ‘ А и В’ можно выбрать m× n способами.

Пример 4. Пять человек решили сфотографироваться, поместив в первом ряду 3 человека, а во втором - 2 человека. Сколько различных фотографий при этом можно получить?

Решение. Размещение пяти человек для фотографирования можно представить как два последовательных выбора:

А - расположение трёх человек в первом ряду. Это можно осуществить способами;

В - расположение оставшихся двух человек во втором ряду

способами.

Тогда выбор ‘ А и В’ можно осуществить = 60 × 2 = 120 способами.

Ответ: 120.

Задания к практической работе

Контрольные вопросы

Основные правила комбинаторики.

Дать определение перестановок

Дать определение сочетаний.

Дать определение размещений.

Практическая работа № 14

АЛГЕБРА СОБЫТИЙ: ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Цель занятия- вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности, решение задач на вычисление условных вероятностей, выполнение операций над вероятностями.

Краткие теоретические сведения

Одним из основных понятий в теории вероятностей является событие.

Под случайным событием будем понимать всякое явление, которое может произойти или не произойти в результате испытания (опыта).

Говорят, что несколько событий образуют в данном испытании полную группу, если в результате испытания должно произойти хотя бы одно из них.

События называются равновозможными, если нет никаких оснований предполагать, что одно из них более возможно, чем другие.

События называются несовместными в данном испытании, если появление одного из них исключает появление всех остальных.

События, которые удовлетворяют трём условиям:

1) образуют полную группу; 2)несовместны; 3) равновозможны

называются элементарными событиями, или исходами.

Исход опыта называется благоприятствующим событию А, если осуществление этого исхода влечёт за собой осуществление события А.

Классическое определение вероятности

Вероятностью Р( А ) наступления события А называется отношение m – числа благоприятствующих событию А исходов к n – числу всех возможных исходов опыта:

Пример 1. В урне находятся 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Найти вероятности следующих событий: а) извлеченный шар - синий; б) извлеченный шар - белый.

Решение. Опыт - извлечение из урны одного шара. Число исходов такого опыта: n=7.

а) Обозначим А - событие, состоящее в появлении синего шара. Число исходов благоприятствующих А: m=0, так как синих шаров в урне нет (А- невозмож-

ное событие). Следовательно, Р(А) = 0

б) Обозначим В - событие, состоящее в появлении белого шара. Число исходов благоприятствующих В: m=3. Значит,.

Ответ: а) 0; б) .

Суммой А+ В событий А и В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Произведением А · В событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении А и В.

Противоположным событию А называется событие , состоящее в не наступлении А.

Теорема 1 (сложения вероятностей несовместных событий )

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р( А1+ А2 +... + Аn ) = Р(А1) + Р(А2) +... + Р(Аn).

Следствие 2. Если события А1, А2, ... Аn образуют полную группу несовместных событий , то Р(А1) + Р( А2) + ... + Р( Аn) = 1.

Следствие 3.Так как события А и образуют полную группу несовместных событий, то Р( А) + Р() = 1. Отсюда: Р(А)=1- Р().

Теорема 2 (сложения вероятностей совместных событий )

Вероятность суммы совместных событий А и В равна сумме вероятностей

этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А) + Р( В) = Р( А ) + Р( В )- Р( АВ ).

События А и В называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, наступило или нет другое, в противном случае события называются зависимыми.

Теорема 3 (умножения вероятностей независимых событий)

Вероятность произведения независимых событий А и В равна произведению их вероятностей, т.е. Р(А В ) = Р( А )  Р( В )

Следствие. Если события А1, А2, ... Аn независимы в совокупности, то

Определение. Под условной вероятностью события В по отношению к событию А (обозначение Р(В / А )) понимается вероятность осуществления события В, определенная в предположении, что событие А имело место.

Теорема 4 (умножения вероятностей зависимых событий )

Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т.е. Р( АВ ) = Р( А ) Р( В / А ).

Следствие. Вероятность произведения n зависимых событий :

Р( А1 А2 ... Аn ) = Р( А1 ) Р( А2 / А1 )Р( А3/ А1А2 ) ...Р(Аn / А1А2...Аn-1 ).

Задания для практической работы

1. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

2. В группе 20 юношей и 10 девушек. Сколькими способами можно избрать трех юношей и двух девушек для участия в слете студентов?

3. На складе имеется 25 кинескопов, причем 15 из них изготовлены Минским заводом. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу кинескопов окажутся 4 кинескопа Минского завода.

4. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. найти вероятность того, что студент сдаст только второй экзамен.

5. В ящике находятся 5 окрашенных деталей и 7 обычных. Сборщик взял последовательно 2 детали. Найти вероятность того, что первая из взятых деталей – окрашенная, а вторая обычная.

Контрольные вопросы

Какое событие называют достоверным?

Какое событие называют невозможным?

Дайте определение противоположных событий.

Сформулируйте классическое определение вероятности.

Чему равна вероятность достоверного события?

Чему равна вероятность невозможного события?

Практическая работа № 15

Нахождение числовых характеристик дискретной случайной величины

Цель занятия. Научиться находить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины.

Краткие теоретические сведения

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, равное сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений.

Если случайная величина Х принимает значения x1, x2, ... , xn с вероятностями соответственно p1, p2,... pn , то математическое ожидание находится по формуле:

М(x) = xipi = x1p1+ x2p2 + ... + xnpn 

Математическое ожидание иначе называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое среднее число, около которого группируются все значения случайной величины.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(x) = M(x – M(x))2 

Пусть случайная величина Х принимает значения x1, x2, ... , xn с вероятностями соответственно p1, p2,... pn , тогда квадрат отклонения случайной величины Х от её математического ожидания есть случайная величина, принимающая значения (Х1 – М(Х)), (Х2 – М(Х)), …, (Хn – М(Х) с вероятностями Р1 , Р2 , …, Рn. Поэтому математическое ожидание так распределенной случайной величины, то есть дисперсию Х, можно вычислять по формуле:

D(X) = (xi – M(x))2pi 

Преобразуем эту формулу:

D(x) = (xi – M(x))2pi = (xi2 – 2(M(x))2)pi = xi2pi – 2(M(x))xipi + (M(x))2pi

Учитывая, что pi = 1, a xipi = M(x), получим равенство

D(x) = M(x2) – (M(x))2 (4)

Дисперсия случайной величины характеризует степень разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называется квадратный корень из дисперсии: (x) = D(x)

Пример. Дан ряд распределения случайной величины:

Проверим условие нормировки: 0,1296 + 0,3456 + 0,3456 + 0,1536 + 0,0256 = 1.

Рассчитаем математическое ожидание случайной величины Х:

М(Х) = 0 * 0,1296 + 5 * 0,3456 + 10 * 0,3456 + 15 * 0,1536 + 20 * 0,0256 = 8

Дисперсию дискретной случайной величины определим по формуле:

D(X) = 02 * 0,1296 + 52 * 0,3456 + 102 * 0,3456 + 152 * 0,1536 + 202 * 0,0256 – 82 = 24

Среднее квадратичное отклонение представляет собой корень из дисперсии:

Задания для практической работы

Вариант 1

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Вариант 2

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Контрольные вопросы

1. Дайте определение математического ожидания случайной величины.

2. Что называется дисперсией случайной величины?

3. Запишите формулу вычисления математического ожидания случайной величины.

4. Запишите формулу вычисления дисперсии случайной величины.

5. Свойства математического ожидания случайной величины.

6. Свойства дисперсии случайной величины.

7. Дайте определение среднего квадратического отклонения.

8. Запишите формулу вычисления среднего квадратического отклонения.

Практическая работа № 16

Построение функции распределения. Вычисление статистических параметров распределения

Цель занятия. Научиться строить функцию распределения и вычислять статистические параметры распределения.

Краткие теоретические сведения

Стандартное обозначение: 

И для дискретной, и для непрерывной случайной величины она определяется одинаково:

, где  – вероятность того, что случайная величина  примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая«пробегает» все действительные значения от «минус» до «плюс» бесконечности.

Построим функцию распределения:

Начинаем разбираться. Чему, например, равно значение ? Это вероятность того, что выигрыш будет меньше, чем –20. И это невозможное событие: .

Совершенно понятно, что   и для всех «икс» из интервала , а также для . Почему? По определению функции распределения:
 

Функция  возвращает вероятность того, что в точке  выигрыш будет СТРОГО МЕНЬШЕ «минус» пяти.

Таким образом: , если .
На интервале  функция , поскольку левее любой точки этого интервала есть только одно значение  случайной величины, которое появляется с вероятностью 0,5.

Кроме того, сюда же следует отнести точку , так как:
 

Таким образом, если , то 

Далее рассматриваем  промежуток . СТРОГО ЛЕВЕЕ любой точки этого промежутка находятся два выигрыша , поэтому:

И, наконец, если , то , ибо все значения  случайной величины  лежат СТРОГО левее любой точки интервала 

Заметим, кстати, важную особенность:

коль скоро функция  характеризует вероятность, то она может принимать значения лишь из промежутка  – и никакие другие!

Итак, функция распределения вероятностей ДСВ является кусочной и, как многие знают, в таких случаях принято использовать фигурные скобки:

График данной функции имеет разрывный «ступенчатый» вид:

Причём, функция  или её график однозначно определяют сам закон распределения: в точке  высота «ступеньки» (разрыв) составляет  (следим по графику), в точке  «скачок» разрыва равен  и, наконец, в точке  он равен в точности .
Таким образом, функция распределения вероятностей – это ещё один способ ЗАДАТЬ случайную величину. 

Задание для практической работы

Закон распределения дискретной случайной величины  задан таблицей:

Построить функцию распределения  и ее график.

Контрольные вопросы

Дайте определение функции распределения вероятностей случайной величины.

Сформулируйте свойства функции распределения вероятностей случайной величины.

Дайте определение плотности распределения вероятностей случайной величины.

Практическая работа № 17

ПОСТРОЕНИЕ СГРУППИРОВАННОГО (ЭМПИРИЧЕСКОГО) РЯДА,

ГИСТОГРАММА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТ, СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ , ЕЕ ГРАФИКА.

НАХОЖДЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Цель занятия. Научиться строить гистограмму относительных частот. Развивать умения и навыки обработки статистических данных.

Краткие теоретические сведения

Для наглядного представления статистических распределений пользуются графическим изображением вариационных рядов. Мы будем использовать два вида графиков: полигон и гистограмму.

При построении полигона частот для дискретного ряда распределения

таблица 1

или полигона относительных частот для ряда

таблица 2

по оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат - соответствующие им частоты или относительные частоты.

Полученные точки соединяют отрезками

прямых.

В качестве примера построим полигон

относительных частот для ряда,

представленного таблицей 2

(рисунок 1):

При построении гистограммы относительных частот для интервального ряда распределения

таблица 3

по оси абсцисс откладывают интервалы значений признака.

На каждом интервале как на основании строится прямоугольник с высотой (плотность относительной частоты), площадь которого в определённых единицах масштаба равна относительной частоте вариант, попавших в i–ый интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна .

Пример 1. Для данного интервального ряда построить гистограмму относительных частот (таблица 4):

Таблица 4

Решение. Объём данной выборки: n = 4 + 6 + 5 + 2 + 6 + 2 = 25.

Ш ирина интервалов: = 0,2.

Для построения гистограммы вычислим

для каждого интервала

плотность относительной частоты .

Полученные результаты занесём в

таблицу 5 и построим гистограмму

относительных частот (рисунок 2):

Таблица 5

Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины, по данным выборки. В ка­честве оценки генеральной средней служит выборочная сред­няя, а в качестве оценки дисперсии генеральной совокупности используют исправленную выборочную дисперсию. Если слу­чайная величина имеет нормальное распределение, то в этом случае становится возможным применять так называемые интервальные оценки. Доверительным интервалом называется найденный по данным выборки интервал (), кото­рый покрывает оцениваемый параметр с заданной надеж­ностью . Надежность, обычно, принимают равной 0,95, или 0,99, или 0,990. Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный доверительный интервал покрывает пара­метр . Но в этом можно быть уверенным на 95% при =0,95, на 99% при =0,99 и т. д. Это значит, что, если сделать мно­го выборок, то для 95% из них (если, например, =0,95) вы­численные доверительные интервалы покрывают параметр .

Пример. Для определения средней урожайности сахар­ной свеклы в совхозе на площади 1000 га была определена ее урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования предоставлены следующим распределением:

Найти: 1) величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всем массиве; 2) величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве; 3) доверительный интервал, в котором с ве­роятностью 0,95 заключена средняя урожайность на всем массиве.

Решение. 1) В качестве приближенного значения сред­ней урожайности на всем массиве принимаем среднюю ариф­метическую данного в условии распределения, то есть выбо­рочную среднюю:

За значение признака нужно принять середины интервалов. Получим:

Значит, приближенное значение средней урожайности на всем массиве будет ц.

2) Для оценки дисперсии генеральной совокупности при­меняем формулу

Значит, приближенное значение дисперсии на всем масси­ве будет 11,64, отсюда среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве равно

Найдем среднее квадратическое отклонение выборочной средней по формуле

Получим ц.

Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всем массиве равна 32 ц со средней квадратической ошибкой 0,34 ц. Оценка среднего квадратического отклонения урожай­ности на всем массиве равна 3,4 ц.

3) Для вычисления доверительного интервала воспользу­емся равенством

,

согласно которому можно утверждать, что с надежностью доверительный интервал (x-; +) покрывает неизвестное математическое ожидание, точность оценки =. Поскольку n=l00>30, то пользуемся нормальным рас­пределением. Значит,

Из равенства 2Ф(t)=0,95 следует Ф(t) =0,475 и по таб­лице 2 приложения находим

Следовательно, точ­ность оценки

Концы доверительного интервала и Таким образом, с вероятностью 0,95 средняя урожайность сахарной свеклы на всем массиве за­ключена в границах от 31,33 ц до 32,67 ц.

Задания для практической работы

Задание 1. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки

Замечание. Найти предварительно плотность частоты для каждого интервала.

Задание 2. Приводятся данные величины Х и У. Вычислить коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии У на Х.

А – предпоследняя цифра учебного шифра; В – последняя цифра учебного шифра.

Контрольные вопросы:

Дайте определение вариационного ряда.

Что называется размахом выборки?

Как для данной выборки получают статистический ряд и выборочное распределение?

Какие графические изображения выборок вы знаете?

Чему равна площадь гистограммы относительных частот?

Дайте определение выборочного среднего.

Дайте определение выборочной дисперсии.

В чем сущность задачи по определению параметров ге­неральной совокупности?

Что такое генеральная и выборочная средняя? Как они вычисляются?

Что такое генеральная и выборочная дисперсия? Как они вычисляются?

Какую величину принимают за среднюю генеральной совокупности?

Какую величину принимают за дисперсию генеральной совокупности?

Как вычисляется среднее квадратическое отклонение средней выборки?

Что понимают под доверительным интервалом и довери­тельной вероятностью?

Литература

1. Дорофеева А. В.  Математика : учебник для среднего профессионального образования / А. В. Дорофеева. — 3-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 400 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-03697-8. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/449047

2. Богомолов Н. В.  Практические занятия по математике в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для среднего профессионального образования / Н. В. Богомолов. — 11-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2021. — 326 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-08799-4. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/470650

3. Богомолов Н. В.  Практические занятия по математике в 2 ч. Часть 2 : учебное пособие для среднего профессионального образования / Н. В. Богомолов. — 11-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2021. — 251 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-08803-8. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/470651