Обобщающий урок по теме «Решение квадратных неравенств с помощью графика квадратичной функции»

Обобщающий урок по теме «Решение квадратных неравенств с помощью графика квадратичной функции» Подготовка к ОГЭ по математике, задание 13.

Теория к теме: Квадратное неравенство – это неравенство вида ax²+bx+c>0, где a, b, c – некоторые числа (а≠0), х – переменная. (>, <, ≥, ≤) Решить неравенство с одной переменной — это значит найти все значения переменной, при которых данное неравенство верно, или убедиться, что таких значений нет.

Восстановите свойства неравенств Можно переносить слагаемые из правой части неравенства в левую и наоборот,… 2) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же………………………………….......…, при этом знак неравенства останется прежним. 3) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же …………………………………………., при этом знак неравенства меняется на противоположный. меняя знак слагаемых на противоположный. положительное число отрицательное число

Теория к теме: Квадратичная функция – это функция вида у=ax²+bx+c>0, где a, b, c – некоторые числа (а≠0), х – переменная. Графиком квадратичной функции является парабола. Свойства функции и вид графика определяются, в основном значениями а и дискриминанта D=b²-4ac.

Теория к теме: Если а>0, то ветви параболы направлены вверх, если а<0, то ветви параболы направлены вниз.

Ветви параболы направлены … (установите соответствия): а) у= х2−3х + 4 б) у= −2х2 − 8х + 4 в) у= х2 − 8х + 4 г) у= −х2 + 4х + 6   направлены вверх направлены вниз а>0 а<0

Определите точки пересечения с осью абсцисс (если они существуют). у= х2 − 3х + 2; D=b²-4ac если D>0 уравнение имеет два корня две точки пересечения с осью Ох х2 − 3х + 2 = 0 если D=0 уравнение имеет один корень одна точка пересечения с осью Ох если D<0 уравнение не имеет корней не существует точек пересечения с осью Ох В точке пересечения параболы с осью абсцисс (х; 0), координата у равна нулю.  Подставим это значение в формулу параболы и решим полученное уравнение, найдём координату х точки пересечения.

Определите точки пересечения с осью абсцисс (если они существуют). а) у= х2 − 3х + 2; б) у= х2 − 7х + 12; в) у= х2 − 10х + 25; г) у= х2 − 8х + 16; д) у= х2 − 3х + 7. 1) нет точек пересечения; 2) 1 и 2; 3) -1 и -2; 4) -1 и 2. 1) нет точек пересечения; 2) -5 и 5; 3) 5 и 2; 4) 5. 1) нет точек пересечения; 2) 4; 3) 8 и 2; 4) -2 и 4. 1) нет точек пересечения; 2) 1 и 7; 3) 1 и 6; 4) 3 и 4. 1) нет точек пересечения; 2) 6 и -2; 3) 3 и 4; 4) -3 и 4. 2) 1 и 2; 3) 3 и 4; 4) 5; 2) 4; 1) нет точек пересечения;

Определите координаты вершины параболы: а) у = −х2 + 6х − 8; б) у = −2х2 + 4х − 2. x0 = y0 = y(x0)   1) (-3; 5); 2) (-3; 1); 3) ( 3; 1); 4) (6; -8). 1) ( 0; 1); 2) (-1; 0); 3) ( 1; 0); 4) (0; -1). 3) (3; 1); 3) (1; 0); = -1, x0 = y0 = y(x0)= -3²+6·3–8 = -9+18-8 =1  

Определите координаты точки пересечения с осью ординат: а) у = − х2 + 2х + 5; б) у = 6х2 − 9х + 10.   В точке пересечения параболы  с осью ординат (0; у), координата х равна нулю.   Подставим это значение в формулу параболы и решим полученное уравнение, найдём координату у точки пересечения. у(0) = − ·02 + 2·0 + 5 = 5  

Определите координаты точки пересечения с осью ординат: а) у = − х2 + 2х + 5; б) у = 6х2 − 9х + 10.   1) (0;5); 2) (-5;0); 3) (5; 0); 4) нет точек пересечения. 1) (10;0); 2) (0;10); 3) (0;-10); 4) нет точек пересечения. 3) (5; 0); 1) (10; 0);

Соотнесите схематический график квадратичной функции, знак дискриминанта и коэффициента а. х₁ х₂ х у у у х х х₁ а>0, D>0 а>0, D=0 а>0, D<0

Соотнесите схематический график квадратичной функции, знак дискриминанта и коэффициента а. х₁ х₂ х у у у х х х₁ а<0, D=0 а<0, D>0 а<0, D<0

Запишите какие знаки имеет старший коэффициент и дискриминант для каждой из парабол. ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ ❻ ❶ а>0, D>0 ❷ а>0, D=0 ❸ а>0, D<0 ❹ а<0, D=0 ❺ а<0, D>0 ❻ а<0, D<0

Выбираются пустые или закрашенные точки в зависимости от вида знака неравенства: Точка будет закрашенная, если … Точка будет пустая, если … неравенство нестрогое неравенство строгое

Восстановите алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции Найти корни квадратного уравнения ах²+bх+с=0 или доказать, что их нет; Построить эскиз графика, используя точки пересечения (касания) с осью Ох, если они есть; Определить направление ветвей параболы у=ах²+bх+с; Определить промежутки, на которых функция принимает нужные значения; Записать ответ.

Пример 1: решите неравенство х² +12х+32 ≤ 0 у = х² +12х+32 а=1 >0, ветви направлены вверх, х² +12х+32 = 0 D = b2 -4ac = 122-4∙1∙32= 144-128= = 16 >0, 2 корня х1= = = = -4 х2= = = = -8   1) Определить направление ветвей параболы у=ах²+bх+с; х -8 -4 + + - 2) Найти корни квадратного уравнения ах²+bх+с=0 или доказать, что их нет; 3) Построить эскиз графика, используя точки пересечения (касания) с осью Ох, если они есть; 4) Определить промежутки, на которых функция принимает нужные значения; 5) Записать ответ. Ответ: хϵ[-8; -4]

Пример 2: решите неравенство 7х - х² <0 у= - х² + 7х а = -1 < 0, ветви вниз 7х - х² = 0 х(7 – х) = 0 х = 0 или 7 - х = 0 х = 7 0 7 + - - х Ответ: хϵ(-∞; 0)ᴜ (7; +∞)

Пример 3: решите неравенство х² + 100 < 0 у = х² + 100 а = 1 > 0 , ветви вверх х² + 100 = 0 х² = - 100, <0, корней нет Ответ: решений нет + х

Используя схематичное изображение параболы на рисунках, укажите решение квадратного неравенства: а) aх2 + bх + c < 0 б) aх2 + bх + c ≥ 0 хϵ(-∞; -5)ᴜ(-1;+∞) хϵ(-∞; 1]ᴜ[3; +∞) - - -5 -1 + + 1 3

Используя схематичное изображение параболы на рисунках, укажите решение квадратного неравенства: а) aх2 + bх + c < 0 б) aх2 + bх + c ≥ 0 хϵ(-∞; -3)ᴜ(-3;+∞) хϵ(-∞; +∞) -3 4 - - + +

Используя схематичное изображение параболы на рисунках, укажите решение квадратного неравенства: а) aх2 + bх + c ≤ 0 б) aх2 + bх + c > 0 хϵ(-∞; +∞) хϵ(-∞; +∞) - +

Используя схематичное изображение параболы на рисунках, укажите решение квадратного неравенства: а) aх2 + bх + c < 0 б) aх2 + bх + c > 0 хϵ(-∞; -4)ᴜ(0;+∞) хϵ(-∞; 2)ᴜ(6; +∞)

Укажите решение неравенства: ах² + bх +с ≥ 0. а) R; б) (–∞;−5]∪[ 5; +∞); в) –5; г) нет решений. а) R; Решите сами

Укажите решение неравенства: ах² + bх +с ≤ 0. а) R; б) (-∞; 3]∪[ 3; +∞); в) 3; г) нет решений в) 3;

Укажите решение неравенства: ах² + bх +с ≤ 0. а) R; б) (–∞; −3]∪[ 1; +∞); в) [–3; 1]; г) нет решений. в) [–3; 1];

Укажите решение неравенства: ах² + bх +с > 0. а) R; б) (–∞; 2)∪( 4; +∞); в) (2; 4); г) нет решений. б) (–∞; 2)∪( 4; +∞);

Укажите множество значений х, при которых значения у неположительны. а) (–∞; −2)∪( 4; +∞); б) [ –2; 4]; в) (–∞; −2]∪[ 4; +∞); г) ( –2; 4). в) (–∞; −2]∪[ 4; +∞);

Укажите множество значений х, при которых значения у неотрицательны. а) (–∞; −1)∪( 5; +∞); б) [–1; 5]; в) (–∞;−1]∪[ 5; +∞); г) (–1; 5). в) (–∞;−1]∪[ 5; +∞);

Практика самопроверка

Задание 4: Укажите решение неравенства: (х+3)(х-6)=0 х+3=0 или х-6=0 х= -3 х= 6 1. (х+3)(х-6)>0 1) (6; +∞ ) 2) ( -3; + ∞) 3) (- ∞; -3)ᴜ(6; + ∞) 4) ( -3; 6) х²+3х-6х-18>0 х²-3х-18>0 у=х²-3х-18, а=1 >0, ветви вверх -3 6 + + - Ответ: хϵ(-∞; -3)ᴜ (6; +∞)

Задание 4: Укажите решение неравенства: (х+2)(х-4)=0 х+2=0 или х-4=0 х= -2 х= 4 2. (х+2)(х-4)≤0 х²+2х-4х-8>0 х²-2х-8>0 у=х²-2х-8, а=1 >0, ветви вверх -2 4 + + - Ответ: хϵ[-2; 4]

Задание 4: Укажите решение неравенства: х²-4=0 (х-2)(х+2) = 0 х-2=0 или х+2=0 х= 2 х= -2 3. х²-4≥0 1) [ -2; 2] 2) (-∞; -2]ᴜ[2; +∞) 3) нет решений 4) (-∞; +∞) х²-4≥0 у=х²-4, а=1 >0, ветви вверх -2 2 + + - Ответ: хϵ(-∞; -2]ᴜ[2; +∞)

Задание 5: Укажите решение неравенства: 9х - х² =0 х(9-х) = 0 х=0 или 9 - х=0 х= 9 1. 9х - х² ≥ 0 1) [0; 9] 2) [0; +∞) 3) (-∞; 0 ]ᴜ[9; +∞) 4) [9; +∞) 9х - х² ≥ 0 у= - х²+9х а= -1<0, ветви направлены вниз 0 9 - - + Ответ: хϵ[0; 9]

Задание 6: Укажите неравенство решение которого изображено на рисунке: х² - 1 =0 (х-1)(х+1) = 0 х-1=0 или х+1=0 х= 1 х= -1 1. х² - 1 ≥ 0 х² + 1 ≥ 0 х² - 1 ≤ 0 х² + 1 ≤ 0 х² - 1 ≥ 0 у= х² - 1, а= 1>0, ветви вверх -1 1 + + - Ответ: хϵ(- ∞; -1]ᴜ[1; + ∞)

Задание 6: Укажите неравенство решение которого изображено на рисунке: х² + 1 =0 х² = -1, решений нет, т.к. квадрат любого числа неотрицателен 1. х² - 1 ≥ 0 х² + 1 ≥ 0 х² - 1 ≤ 0 х² + 1 ≤ 0 2) х² + 1 ≥ 0 у= х² + 1, а= 1>0, ветви вверх + Ответ: хϵ(- ∞; + ∞), х – любое число

Задание 6: Укажите неравенство решение которого изображено на рисунке: х² - 1 =0 (х-1)(х+1) = 0 х-1=0 или х+1=0 х= 1 х= -1 1. х² - 1 ≥ 0 х² + 1 ≥ 0 х² - 1 ≤ 0 х² + 1 ≤ 0 3) х² - 1 ≤ 0 у= х² - 1, а= 1>0, ветви вверх -1 1 + + - Ответ: хϵ[ -1; 1]

Задание 6: Укажите неравенство решение которого изображено на рисунке: х² + 1 =0 х² = -1, решений нет, т.к. квадрат любого числа неотрицателен 1. х² - 1 ≥ 0 х² + 1 ≥ 0 х² - 1 ≤ 0 х² + 1 ≤ 0 4) х² + 1 ≤ 0 у= х² + 1, а= 1>0, ветви вверх + Ответ: решений нет, хϵǾ

Задание 7: Укажите решение неравенства 81х² - 64 > 0 у= 81х² - 64 а=81>0, ветви направлены вверх 81х² - 64 = 0 (9х-8)(9х+8) = 0 9х-8 = 0 или 9х+8 = 0 9х=8 9х=-8 х= х =   2. 81х² > 64     + - + Ответ: хϵ(-∞; )ᴜ (; +∞)  

Задание 8. Укажите неравенство, решением которого является любое число. х² - 83 =0 (х - )(х + ) = 0 х-=0 или х+=0 х= х= -   х² - 83 < 0 у= х² - 83, а= 1>0, ветви вверх х² - 83 =0 х² - ()² =0   -     + + - Ответ: хϵ(-; )   х² - 83 < 0 х² - 83 > 0 х² + 83 < 0 х² + 83 > 0

Задание 8. Укажите неравенство, решением которого является любое число. х² - 83 =0 (х - )(х + ) = 0 х-=0 или х+=0 х= х= -   2) х² - 83 > 0 у= х² - 83, а= 1>0, ветви вверх х² - 83 =0 х² - ()² =0   -     + + - Ответ: хϵ(-∞; −)ᴜ(; +∞)   х² - 83 < 0 х² - 83 > 0 х² + 83 < 0 х² + 83 > 0

Задание 8. Укажите неравенство, решением которого является любое число. х² + 83 =0 х² = -83, решений нет, т.к. квадрат любого числа неотрицателен 3) х² + 83 < 0 у= х² + 83, а= 1>0, ветви вверх + Ответ: решений нет, хϵǾ х² - 83 < 0 х² - 83 > 0 х² + 83 < 0 х² + 83 > 0

Задание 8. Укажите неравенство, решением которого является любое число. х² + 83 =0 х² = -83, решений нет, т.к. квадрат любого числа неотрицателен 3) х² + 83 > 0 у= х² + 83, а= 1>0, ветви вверх + Ответ: хϵ(- ∞; + ∞), х – любое число х² - 83 < 0 х² - 83 > 0 х² + 83 < 0 х² + 83 > 0