Презентация по геометрии на тему «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»

Взаимное расположение прямых и плоскостей. Преподаватель математики Данилова С.В.

Краткий план I. Взаимное расположение прямых в пространстве: 1. Параллельные прямые и их свойства 2. Скрещивающиеся прямые; II. Взаимное расположение прямых и плоскостей: 1. Параллельность прямых и плоскостей 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей 3. Проекции и наклонные 4. Угол между прямой и плоскостью 5. Теорема о трех перпендикулярах. III. Взаимное расположение плоскостей.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут: А) Быть параллельными В этом случае они лежат в одной плоскости Б) Пересекаться В) Быть скрещивающимися.

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют точек пересечения. Свойства: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая также пересекает эту плоскость Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны Две параллельные прямые, как и две пересекающиеся прямые, задают плоскость

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Признак скрещивающихся прямых: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Параллельность прямых и плоскостей Прямую называют параллельной плоскости, если они не имеют общих точек. Признак параллельности прямой и плоскости Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости , то она параллельна и самой плоскости.

Свойства: Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Перпендикулярность прямых в пространстве Две прямые в пространстве называются перпендикулярными Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых в пространстве Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Проекции и наклонные

Свойства наклонных и проекций Если из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонные, то Любая наклонная больше перпендикуляра. Равные наклонные имеют равные проекции. Если проекции наклонных равны, то равны и наклонные. Большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

Угол между прямой и плоскостью

Теорема о трех перпендикулярах

Обратная теорема Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Взаимное расположение плоскостей. Две плоскости в пространстве могут либо пересекаться либо не пересекаться.

Параллельность плоскостей Две плоскости называются параллельными, если у них нет общих точек. Признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Параллельность плоскостей Признак параллельности плоскостей: 2. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Пересечение плоскостей. Двугранный угол. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей.

Линейный угол двугранного угла.

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Углы между плоскостями Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Перпендикулярность плоскостей Две плоскости называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Признак перпендикулярности плоскостей: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.