Музыкантова Татьяна Николаевна

Методическое пособие «Различные способы решения задач на смеси, сплавы и растворы» (9-10 классы)

Материал опубликован 13 December 2023

Различные способы решения задач

на смеси, сплавы и растворы

Методическое пособие для подготовки к ОГЭ

Подготовила:

учитель математики

Музыкантова Т.Н.

Воронеж 2022

При решении задач данного типа учитываются следующие правила:

1. Всегда выполняется «Закон сохранения объёма и массы»: если два раствора (сплава) соединяют в один раствор (сплав), то выполняются равенства.

V = V1 + V2

m = m1 + m2

Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей (компонентов) сплава (раствора).

2. При соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов.

Способы решения задач на смеси, сплавы и растворы:

1. Решение задач на концентрацию (процентное содержание) вещества:

Концентрацией (процентной концентрацией, процентным содержанием) вещества A в смеси (сплаве, растворе) называют число процентов pA, выраженное формулой:

PA = * 100%

где MА – масса вещества A в смеси (сплаве, растворе), а M – масса всей смеси (сплава, раствора).

Часто в задачах на растворы указаны не массы входящих в них веществ, а их объёмы. В этом случае вместо формулы для концентрации (процентной концентрации, процентного содержания) вещества A в растворе используется формула:

PA = * 100%

где VА, – объём вещества А в растворе, а V – объем всего раствора.

2. Решение задач на смеси и сплавы с помощью таблицы:

При решении задач рассматриваемого вида, удобно использовать таблицу, так как зрительное восприятие определённого расположения величин в таблице даёт дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задач и её проверки. Таблица для решения задач имеет вид:

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Процентное содержание вещества (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества

Задача 1: Имеется лом стали двух сортов, первый содержит 10 % никеля, а второй 30 %. Сколько тонн стали каждого сорта нужно взять, чтобы получить 200 т стали с содержанием никеля 25 %?

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	Процентное содержание вещества (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
Первый сплав	10% = 0,1	х т	0,1х т
Второй сплав	30% = 0,3	(200 - х) т	0,3(200-х) = = (60 – 0,3х) т
Получившийся сплав	25% = 0,25	200 т	200 * 0,25 = 50 т

0,1х + 60 – 0,3х = 50

-0,2х = -60 – 50

-0,2х = -10

х = -10/(-0,2)

х = 50

Так как первого сплава требуется 50 т, то второго:

200 – 50 = 150 (т).

Ответ: 50 т, 150т.

3. Решение задач с помощью «правила квадрата»:

Задача 1. Имеется лом стали двух сортов, первый содержит 10 % никеля, а второй 30 %. Сколько тонн стали каждого сорта нужно взять, чтобы получить 200 т стали с содержанием никеля 25 %?

Решение:

Рассмотрим пары 25 и 10; 25 и 30. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки.

Получилась схема:

10		5
	25
30		15

Из неё делается заключение, что 10% стали следует взять 5 частей, а 30% - 15 частей. Узнав, сколько приходится на одну часть 200: (5+15) = 10 т, получаем, что 10% - ой стали необходимо взять 50 т, а 30% - ой - 150 т.

Или же можно составить пропорцию:

х/200-х = 5/15, где х - 10% - ая сталь

х/200-х = 1/3

Х = 50

Ответ: 50 т - 10% - ой стали и 150 т - 30% - ой стали.

4. Решение задач с помощью правила креста или «Конверта Пирсона»

«Конверт Пирсона» - это удобный и рациональный способ решения задач. Данный способ предложил английский математик, статистик, биолог и философ Карл Пирсон.

Конверт Пирсона имеет свои преимущества и недостатки. Одним из его преимуществ является доступность тем ученикам, которые не умеют решать уравнения. А недостатком является то, что этот метод можно применить только при смешивании двух растворов.

Методика решения задач «Конвертом Пирсона»:

Сначала в столбик записываем массовые доли имеющихся растворов, одну над другой. Правее, примерно между двумя предыдущими массовыми долями, записываем массовую концентрацию, которую необходимо получить. Далее, по диагонали вычитаем значения, и получаем массовые доли для обоих растворов, или соотношение, в котором необходимо смешать растворы для приготовления необходимого нам.

X1 (X3 – X2)

X2 (X1 – X2)

Пример: необходимо приготовить 500 грамм 25% раствор серной кислоты, имея в наличии 60% раствор и 10% р-р.

6 0% (25% - 10%) = 15%

25%50 ч.

10% (60% - 25%) = 35%

Исходя из полученных данных 1 массовая часть составляет 500/50=10 грамм. Для приготовления нужного раствора понадобится 15*10=150 грамм 60% раствора кислоты, и 35*10=350 грамм 10% серной кислоты.

Примеры решения задач на данную тему:

№1.Для приготовления фарша взяли говядину и свинину в отношении 7:13. Какой процент в фарше составляет свинина?

Решение:

1)7+13 = 20 - частей.

2)100/20 = 5% - 1 часть.

3)13 * 5 = 65% - свинина.

Ответ: 65 %

№2.Определите концентрацию раствора, полученного при слиянии 150 г 30%-го и 250 г 10%-го растворов какой-либо соли.

Решение:

(х – 10)/(30 – х) = 150/250

Тогда

(30 – х)*150 = (х – 10)*250,

4500 – 150х = 250х – 2500,

4500 – 2500 = 250х – 150х,

7000 = 400х, х = 7000/400 = 17,5%.

Ответ: 17,5%

№3. Смешали 4 литра 15−процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25−процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Концентрация раствора равнаC = * 100%Таким образом, концентрация получившегося раствора равна:* 100% = * 100% = 21%

Ответ: 21.

№4. Имеется два сплава. Первый содержит 15% никеля, второй - 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Решение.

П усть масса первого сплава m1, а масса второго –m2. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах 0,15m1 и 0,35m2, соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. Получаем систему уравнений:

m1 + m2 = 140,

0,15m1 + 0,35m2 = 0,3 * 140

m2 = 140 – m1,

0,15m1 + 0,35(140 – m1) = 42

m2 = 140 – m1, m1 = 35,

0,2m1 = 7 m2 = 105.

Таким образом, первый сплав легче второго на 70 килограммов.

Ответ: 70.

№5. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй - 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение:

Пусть масса первого сплава m кг, а масса второго - m + 10 кг, масса третьего сплава - 2m + 10 кг. Первый сплав содержит 5% меди, второй - 14% меди, третий сплав - 12% меди. Тогда:

0,05m + 0,14(m + 10) = 0,12(2m + 10)

0,19m + 1,4 = 0,24m + 1,2

m = 4

2m + 10 = 18

Таким образом, масса третьего сплава равна 18 кг

Ответ: 18.

№6.Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй − 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение:

П усть концентрация первого раствора кислоты - c1, а концентрация второго – c2. Если смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержащий 68% кислоты: 30c1 + 20c2 =50 * 0,68. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты: mc1+ mc2 =2m * 0,7. Решим полученную систему уравнений:

C1 + C2 = 1,4,C2 = 1,4 – C1,

3 0C1 + 20C2 = 34 30C1 + 28 – 20C1 = 34

C2 =1,4 –C1, C2 = 0,8,

10C1 = 6C1 = 0,6.

Поэтому m1 =0,6 * 30=18.

Ответ: 18.

Подборка задач для самостоятельного решения:

1.В 5% раствор кислоты массой 3,8 кг добавили 1,2 кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)?

2. Смешали 3 кг 5%-го водного раствора щелочи и 7 кг 15%-го. Какова концентрация вновь полученного раствора? Ответ дайте в процентах.

3. Сколько килограмм 17% сплава меди нужно добавить к 5 килограммам 10% сплава меди, чтобы получить 12%сплав?

4. Смешали некоторое количество 12% раствора вещества с таким же количеством 22% раствора этого же вещества. Какова концентрация (в процентах) вещества в новом растворе?

5. Смешав 8% и 13% растворы соли и добавив 200 миллилитров 5% раствора соли, получили 7% раствор соли. Если бы вместо 200 миллилитров 5% раствора соли добавили 300 миллилитров 17% раствора соли, то получили бы 15% раствор соли. Сколько миллилитров 8% и 13% растворов соли использовали для получения раствора?

6. Имеются два сплава меди с цинком. Если сплавить 1 килограмм первого сплава с 2 килограммами второго сплава, то получится сплав с 50% содержанием меди. Если же сплавить 4 килограмма первого сплава с 1 килограммом второго сплава, то получится сплав с 36% содержанием меди. Найти процентное содержание меди в первом и во втором сплавах.

7. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

8. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

9. Химик Наташа смешала 10-процентный и 20-процентный растворы спирта. Она знает, что если добавит к смеси 1 литр чистой воды, то получит 14-процентный раствор спирта. С другой стороны, если она добавит вместо 1 литра воды 1 литр 40-процентного раствора спирта, то получит 22-процентный раствор спирта. Сколько литров 10-процентного раствора спирта смешала Наташа?