Тарасова Наталья Николаевна

Урок математики в 10 классе «Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин»

Всероссийский конкурс педагогического мастерства на лучшую статью «Мотивация на обучение: виды и способы формирования, модели внедрения»

Материал опубликован 15 September 2023

Название предмета: Алгебра и начала анализа

Класс:10

УМК: Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). Мордкович А.Г., Семенов П.В. 10 класс – ИОЦ «Мнемозина».

Уровень обучения: базовый

Тема урока: «Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин»

Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3часа

Место урока в системе уроков по теме: 1 урок в системе уроков по теме.

Цель урока: познакомиться с алгоритмом вычисления наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Задачи урока:

Образовательная научить находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на промежутке, сформулировать основные теоретические положения, рассмотреть алгоритм решения такого вида задач, отработать шаги алгоритма, рассмотреть частные случаи;
Развивающая развивать умение работать в команде( паре), умение читать график функции, анализировать, сравнивать, обобщать и делать выводы, развивать исследовательские умения.
Воспитательная воспитывать упорство, трудолюбие, открытую познавательную позицию.

Планируемые результаты:

учащиеся должны знать:

- алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на промежутке;

учащиеся должны уметь:

- находить наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на промежутке по алгоритму, изученному на уроке;

- применять алгоритм для нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на промежутке для решения задач.

Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: доска, презентация.

Содержание урока.

1. Организационный момент.

Включает в себя приветствие учителем класса, проверку готовности кабинета к проведению урока, проверку отсутствующих.

2. Актуализация знаний. Устная работа. ( слайд2)

1. Найдите производную функции:

а) у = sin х , б) у = tg х , в) у = х⁴ - 2х² + 3, г) у = х⁴, д) у = cos 2х,

2. Найдите критические точки функции: f(x) = 2х - х².

3. Вычислите f(2), если f(x) = - Зх + 5 .

4. Вычислите значение производной функции у =в точке х₀ =.

Учитель: 1) Используя график функции, найдите интервалы монотонности и точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения функции. ( слайд 3)

Учитель: Прежде чем приступить к изучению нового материала, прошу вас обратить внимание, что наибольшее или наименьшее значение функции не всегда совпадает с максимум или минимум.

Из курса 7-го класса вы умеете строить графики функций и находить по ним минимальные и максимальные значения. Однако, построение графика данной функции заняло бы очень много времени. Скажите, пожалуйста, а можем ли мы найти наибольшее и наименьшее значения функции каким - нибудь другим способом?

Сегодня мы будем искать более простые пути решения данной задачи.

Эпиграф к уроку: Единственный путь, ведущий к знанию, - деятельность. ( слайд4)

Бернард Шоу

3. Изучение нового материала.

Учитель: Большая группа задач в технике, в естествознание, в экономике, в повседневной деятельности людей связана с необходимостью определения условий, при которых некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значения.

Например:

1) Где нужно расположить мост через реку, чтобы путь из А в В, находящихся на разных берегах, был наименьшим?

2) Требуется огородить участок с заданным периметром, чтобы площадь его была наибольшей (если перевести эту задачу на язык математики: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?)

Как видите, решение задач на нахождение наиболее выгодных условий занимали умы людей с древних времен. Но только с появлением дифференциального исчисления был найден метод, позволяющий решать эти задачи по единой схеме.

Далее предложить учащимся сформулировать тему урока и определить его цели, после ответов учащихся записать тему урока. ( слайд 5)

Рассмотрим функцию у = f(x) на отрезке [а;Ь]. (Слайд 6)

- Что можно сказать об этих функциях? (Ответ:

все функции непрерывны на отрезке [а;Ь]). Как называется точка х₀ на рис. 1 ? (Ответ: точка максимума)

Что можно сказать о значении функции в этой точке?

(Ответ: в этой точке функция принимает наибольшее значение). Аналогично рассмотрим рис.2.

Охарактеризуйте функцию, изображенную на рис 3.

(Ответ: функция непрерывна на отрезке [а;Ь], х₁- точка минимума, х₂ - точка максимума).

Можно ли утверждать, что в точке минимума функция имеет наименьшее значение, а в точке максимума - наибольшее значение? (учащиеся дают ~t либо правильный ответ, либо затрудняются). Для того, чтобы дать правильный ответ, сравните значения функции в точке минимума и на конце отрезка в точке в.(Ответ: значение функции на конце отрезка меньше, чем в точке минимума). Рис3

Аналогично сравните значение функции в точке максимума со значением функции на конце отрезка в точке а. (Ответ: значение функции на конце отрезка больше, чем в точке максимума).

Какой можно сделать вывод? (Ответ: непрерывная функция может достигать наибольшего и наименьшего значений как внутри отрезка, так и на его концах.)

После данных рассуждений приходим к важным выводам. ( Слайд 7)

Вывод 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.

3) В каких из рассмотренных случаев функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка?

4) В каких случаях функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений внутри отрезка?

Вывод 2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

5) В случае 1 чем являлись для функции точка, в которых она достигла наибольшего значения на заданном отрезке?

6) В каких ещё случаях функция достигла своего наибольшего или наименьшего значения в точках экстремума?

Вывод 3. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается внутри отрезка, то только в точке экстремума.

7) Может ли функция достигать своего наибольшего и наименьшего значений и не на концах отрезка, и не в точках экстремума?

Вывод 4. Своего наибольшего и наименьшего значений функция может достигать или на концах отрезка, или в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку.

Из всех полученных выводов вытекает алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке, который учащиеся записывают в тетрадь.

Учитель: Это алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
y=f (x) на отрезке [a; b]. Запишите его себе в тетрадь.

Учащиеся записывают с доски алгоритм в тетрадь ( Слайд 8)

Запись в тетрадях:

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
y=f (x) на отрезке [a; b]:

для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции
y=f (x) на отрезке [a; b] нужно:

1. Найти область определения функции и определить, принадлежит ли заданный отрезок области определения.

2. Найти производную заданной функции f`(x).

3. Найти стационарные точки: f`(x) = 0;

4. Выяснить, какие из стационарных точек принадлежат данному отрезку [a; b].

5. Найти значения функции в тех стационарных точках, которые входят в отрезок, а также f (a) и f (b).

6. Выбрать из полученных значений функции наибольшее и наименьшее:

У наиб = У наим.=

[a; b] [a; b]

Учитель: А теперь рассмотрим пример применения данного алгоритма: найдем наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x³-9x² на [1;4]. ( Слайд 9)

Учащиеся вместе с учителем у доски разбирают пример применения алгоритма, отвечают на наводящие вопросы и делают записи в тетради

Запись на доске и в тетрадях:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x³-9x² на отрезке [1;4].

1) функция определена и дифференцируема на R;

2) f `(x) = 6x²-18х = 6x(x-3);

3) стационарные точки: f `(x) = 0; х = 0 или х = 3;

0 [1;4],

3 [1;4].

5) f (3) = 54-81 = -27;

f (1) = 2-9 = -7;

f (4) = 128-144 = -16.

6) Унаиб. = f (1) = -7; Унаим. = f (3) = -27;

[1;4] [1;4]

IV. Первичное закрепление

В первой группе заданий даны элементарные функции, наибольшие и наименьшие значения которых учащиеся смогут найти и без использования производной. А во вторую группу входят задания, при выполнении которых обязательно использование производной.

1-я группа. (Учащиеся выходят по очереди к доске, решают примеры, комментируют решение, остальные – решают на месте, делая записи в тетради.)

1. № 32.1 (а; г)

Решение:

а) у = 3х – 6, [–1; 4]

Рассуждения могут быть следующими:

– функция у = 3х – 6 является линейной;

– она монотонно возрастает на всей числовой прямой;

– своего наибольшего и наименьшего значений данная функция будет достигать на концах отрезка [–1; 4];

– поскольку функция возрастающая, то при х = –1 её значение будет наименьшим, а при х = 4 – наибольшим.

у (–1)= 3 · (–1) – 6 = –9

у (4) = 3 · 4 – 6 = 6

Ответ: у_наим = –9; у_наиб = 6.

г)

данная функция монотонно убывает на своей области определения.

Ответ: у_наим = 1,5; у_наиб = 10.

2. № 32.2 (б),

При выполнении данных заданий можно использовать два способа решения: воспользоваться знаниями о свойствах функций и используя производную. В этом случае работу можно организовать по группам

Решение:

№ 32.2 (б).

1-й способ.

Замечаем, что на указанном промежутке функция у = cos х принимает все свои значения, то есть [–1; 1]. Значит, наибольшим значением функции будет 2, а наименьшим –2.

2-й способ.

Воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

На отрезке получим два корня и

Ответ:

3. № 32.4 (в), № 32.5 (а; б).

При выполнении этих заданий также можно не использовать производную.

2-я группа.

1. № 32.6 (а).

Решение:

Здесь также можно использовать два способа.

1-й способ.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Своего наименьшего значения такая функция достигает в точке, которая служит вершиной этой параболы. Найдем её:

Эта точка входит в рассматриваемый промежуток, причём х = 4 является осью симметрии параболы. Значит, наибольшего значения функция достигает в точке х = –1.

Ответ:

2-й способ.

Воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

2. № 32.8 (а)

Функцию, предложенную для рассмотрения в этом упражнении, можно исследовать на наибольшее и наименьшее значения только с помощью производной.

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Всегда ли непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений на отрезке?

– Если функция монотонно возрастает на отрезке, то в какой точке она достигает наибольшего значения?

– В каких точках функция может достигать наибольшего и наименьшего значений на отрезке?

– Опишите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.

Домашнее задание: № 32.2 (в), № 32.11.