ФРАКТАЛЫ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Бозойская вечерняя (сменная) общеобразовательная школа»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

«ФРАКТАЛЫ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА».

ПОДГОТОВИЛА УЧЕНИЦА 10Б ХОПУУНАЙ ОЮУ

РУКОВОДИТЕЛЬ: МАЛАХАНОВА ВАЛЕНТИНА ГЕОРГИЕВНА

П. Бозой

Содержание

Введение………………………………………………………………......2

Теоретическая часть…………………..…….............................................3

Применение фракталов…..……………….................................................12

Практические работы………………………………………………..........13

Заключение ………………………………………………………………..17

Список использованной литературы……………………………….........18

Введение

В нашей жизни очень много странного, необычного, недостижимого. Одним из таких объектов являются фракталы – самоподобные множества с элементами случайности. Всё, что создано природой очень сложно объяснить. Именно фракталы помогут разобраться в строении таких объектов, которые и стали темой нашего проекта «Фракталы: теория и практика».

Цель: познакомиться с новой областью математики – фракталами.

Задачи:

познакомиться с понятием «фракталы», видами фрактальных множеств.

изучить историю фракталов.

изучить фрактальную структуру в природе, в различных сферах жизни человек, познакомиться с применением фракталов в науке и на практике;

создать модель фрактала из имеющихся материалов с целью практического применения

Гипотеза: окружающая нас действительность гармонирует с математическими законами, состоит из фрактальной структуры.

Объект: фрактал

Предмет: влияние фракталов на окружающий мир

Методы исследования: аналитический, сравнительный, моделирование.

Теоретическая часть

Фрактальная геометрия – развивающееся направление в современной математике. Данное направление связано с алгеброй, геометрией, математическим анализом, теорией функций, теорией размерности, топологией, теорией вероятности, функциональным анализом, теорией хаоса, используется в биологии, медицине, металлургии, экономике, физике, психологии, политике и многих других областей деятельности человека.

Данный раздел геометрии тесно связан с современными информационными и коммуникационными технологиями. Изучение данного курса способствует повышению интереса обучающихся к изучению предмета математика и информатика.

Точного определения того, что же такое фрактал, нет, но наиболее приближенным к нему является данное французским математиком Бенуа Мандельбротом в книге «Фракталы: формы, случайность и размеренность»

«Фрактал (от лат. fractus — дроблёный)… это фигура, включающая в себя элемент случайности (как правильность ее, так и неправильность подчиняются статистическим законам)… она стремится к масштабной инвариантности (степень ее неправильности и/или фрагментации неизменна во всех масштабах)».

Фрактал – это математический объект (множество), в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей, которые, однако, могут видоизменяться в случайном порядке.

Чаще всего фракталы получаются рекурсивным способом (так как фрактал самоподобен), описанным в книге Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». Если цитировать максимально просто, можно сказать следующее:

«Создается случайная ломаная (или иной конечный объект либо множество), называемый «генератором». В генераторе каждый фрагмент (отрезок, и прочее, и прочее) меняется на такой же, только получающийся меньшим генератор. Продолжая до бесконечности, в пределе остается фрактальная кривая.

Фракталы классифицируют по базе построения:

Алгебраические (динамические) фракталы

Геометрические фракталы

Стохастические фракталы.

Алгебраические (динамические) фракталы - множество на комплексной (чаще всего) плоскости. Самая большая группа фракталов. Алгебраические фракталы строят, применяя элементарные алгебраические формулы.

Множество Мандельброта

Множество Мандельброта

Зрительно множество Мандельброта похоже на набор бесконечного количества разных фигур, самая большая из которых называется кардиоидой (она похожа на стилизованное изображение сердца и получила свое название от двух греческих слов — «сердце» и «вид»). Вокруг кардиоиды расположены всё уменьшающиеся круги, каждый из которых окружен еще меньшими кругами, и т. д. до бесконечности. Если увеличить этот фрактал, то можно увидеть всё более и более мелкие детали изображения, дополнительные ветки с более мелкими кардиоидами, кругами. И этот процесс можно продолжать бесконечно.

Множество Жулиа. Название этого множества происходит от имени французского математика Жюлиа, впервые описавшего данное явление.

Любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения (остается конечной, стремится к бесконечности, принимает фиксированные значения) при итерациях функции f(z), а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется (такие точки называют точками бифуркации). При этом множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, а также множества бифуркационных точек часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жюлиа для функции f(z).

Фрактал Галлея

Такие фракталы получаются, если в качестве правила для построения динамического фрактала использовать формулу Галлея для поиска приближенных значений корней функции (см. Halley's method). Формула довольно громоздкая, так что кто хочет, может посмотреть ее в Википедии. Идея метода почти та же, что используется для рисования динамических фракталов: берем какое-нибудь начальное значение (как обычно, здесь речь идет о комплексных значениях переменных и функций) и применяем к нему много раз формулу, получая последовательность чисел. Почти всегда она сходится к одному из нулей функции (то есть значению переменной, при котором функция принимает значение 0). Метод Галлея, несмотря на громоздкость формулы, работает эффективнее метода Ньютона: последовательность сходится к нулю функции быстрее.

Фрактал Ньютона

Еще один тип динамических фракталов составляют фракталы (так называемые бассейны) Ньютона. Формулы для их построения основаны на методе решения нелинейных уравнений, который был придуман великим математиком еще в XVII веке. Применяя общую формулу метода Ньютона zn+1 = zn – f(zn)/f'(zn), n = 0, 1, 2, ... для решения уравнения f(z) = 0 к многочлену zk – a, получим последовательность точек: zn+1 = ((k – 1)znk – a)/kznk–1, n = 0, 1, 2, ... . Выбирая в качестве начальных приближений различные комплексные числа z0, будем получать последовательности, которые сходятся к корням этого многочлена. Поскольку корней у него ровно k, то вся плоскость разбивается на k частей — областей притяжения корней. Границы этих частей имеют фрактальную структуру. (Заметим в скобках, что если в последней формуле подставить k = 2, а в качестве начального приближения взять z0 = a, то получится формула, которую реально используют для вычисления квадратного корня из a в компьютерах.) Наш фрактал получается из многочлена f(z) = z3 – 1.

Геометрические (конструктивные) фракталы - геометрический объект на евклидовой (чаще всего) плоскости.

Снежинка Коха

Чтобы построить данный фрактал, надовзять единичный отрезок прямой, разделить его на три равные части. Удалить среднюю часть, а в этом месте построить равносторонний треугольник. Получится ломаная линия, которая состоит из 4 отрезков, равным 1/3 первоначального. Продолжая до бесконечности, в пределе получаем кривую Кох.

Т-квадрат

Для построения Т-квадрата начинается с единичного квадрата. Сначала закрашиваем в центре белым цветом квадрат со стороной 1/2. Потом мысленно делим квадрат на 4 одинаковых квадрата и в центре каждого из них закрашиваем квадрат со стороной 1/4. Потом каждый из этих 4 квадратов снова делим на 4 части, получается 16 квадратиков, и с каждым из них нужно проделать то же самое, т.д.

H-фрактал

Построение данного фрактала начинается с фигуры в форме буквы Н, с равными вертикальными и горизонтальными отрезками. Затем к ко все 4 концам фигуры пририсовывается уменьшенная в два раза ее копия. Получилось 16 концов, к каждому из которых пририсовывается её копия, уменьшенная в 4 раза. В результате получается фрактал, зрительно заполняющий весь квадрат.

Треугольник Серпинского

Для построения треугольника Серпинского необходим правильный треугольник. Середины его сторон соединяем отрезками (которые, к слову, будут равны половине стороны треугольника-генератора). Теперь обратимся к рисунку 1. Середины сторон треугольников 1,2 и 4(указано на рисунке) соединяются аналогично предыдущему шагу, и так до бесконечности (следующий виток повторений указан на рисунке 2). Точно по такому же принципу строится и «коврик» Серпинского, только в основе фрактала лежит квадрат.

Дерево Пифагора

Дерево Пифагора – фигура интересная… Данный фрактал придуман в 1942 году голландским учителем математики Альбертом Босманом. Чтобы нарисовать фрактал, можно воспользоваться обычной линейкой, нарисовать пифагоровы штаны со множеством «брючин» меньших и меньших по размеру. Имеется «обдуваемое дерево Пифагора» - в этом случае фигура рисуется под установленным углом, дерево как - будто сгибается от ветра; если построить дерево из отрезков, которые соединяют середины двух их четырех сторон (обязательно противоположных квадрата), то получится обнаженное дерево.

Кривая Леви

Генератором является квадрат вида ⋀, а затем каждая сторона получившейся ломаной заменяется таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, создаем кривую Леви.

Дракон

Фрактал похож на традиционных китайских драконов, отсюда и получил своё название. Каждая ломаная-дракон является лишь приближением к дракону-фракталу и состоит из отрезков. Ломаная с номером n будет состоять из 2n отрезков. Длина каждого равна 1/2n-й части длины исходного отрезка. Если их занумеровать числами 0, 1, 2, ... и идти по ломаной, то после каждого отрезка нужно поворачивать. Направление поворота определяется номером k текущего отрезка:

1) повернуть направо, если k дает остаток 1 от деления на 4;

2) повернуть налево, если k дает остаток 3 от деления на 4;

3) поступить так же, как после отрезка с номером k/2 , если k четно.

Эти правила позволяют запрограммировать процедуру рисования драконов. Но на практике используют то, что четыре кривые с номером n – 2 полностью замещают n-ю кривую. Разумеется, для этого их надо масштабировать в 4 раза.

Стохастические фракталы получаются тогда, когда если хотя бы какой-то из элементов или параметров задается случайно, в результате чего образовываются объекты, схожие с природными - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии.

Фракталы в природе

Многое из того, что в природе люди принимают как должное и банальное, является фрактальной структурой, например: кораллы, цветы и растения (брокколи, капуста), кроны деревьев и листья растений (ну чем не дерево Пифагора?), некоторые фрукты (ананас), кровеносная система и бронхи людей.

Фракталом называют и броуновское движение, вернее, область в пространстве, которой оно ограничено (стохастический фрактал).

Одним из самых выдающихся феноменов, связанных с фракталами и встречающихся в природе, является так называемый парадокс береговой линии.

Береговая линия любого государства не имеет четко определенной длины. Первое зарегистрированное наблюдение этого явления было сделано Льюисом Фрай Ричардсоном в 1951 году. Более конкретно, длина береговой линии зависит от метода, используемого для измерения. Чем меньше мы берем единицу измерения, тем длиннее получается береговая линия (обычно на 600 км при уменьшении единицы измерения в 2 раза).

Фракталы есть во всей Вселенной. Живая и неживая природа, гармонируя математическими законами, состоит из фракталов.

Применение фракталов

Фракталы используются для моделирования поведения цены в рыночной системе (товарные, финансовые рынки). В физике фракталы возникают при моделировании нелинейных процессов: сложные процессы диффузии, пламя, облака (стохастические фракталы), в литературе встречаются произведения, обладающие семантической фрактальной природой («Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…», «Дом, который построил Джек»)

В компьютерной науке применяется фрактальное сжатие данных. Сжатие картинок происходит качественнее, чем стандартными методами jpeg или gif . При увеличении картинок нет эффекта пикселизации, нет искажения изображения, качество картинки при фрактальном сжатии улучшается, свидетельством чего служат потрясающие работы фрактальных художников.

Использование фрактальных методов нашло широкое применение в медицине (биосенсорные взаимодействия, биения сердца) и биологии (описании моделей популяций, систем внутренних органов).

За последние полвека жизнь стремительно стала меняться. Открытия во всех областях жизни человека мы принимаем за должное, человек быстро привыкает к хорошему и не задаётся вопросами «Откуда всё берётся?», «Какой механизм работы?» Секрет состоит в многогранности и многофункциональности фракталов.

Практические работы

Переходя к практической части проекта, передо мной встал вопрос: а какой из фракталов по своей структуре является самым простым для создания реальной модели как решения поставленных в работе задач в рамках нашей школы? У фрактала структура бесконечная, поэтому фрактал должен быть реалистичным, с определенным количеством повторений. Таким образом, необходимо выбрать множество с небольшим количеством итераций, которое выглядело бы эстетично и эффектно, состояло бы из простых геометрических фигур, можно было бы применить в реальности.

Этим критериям соответствует фракталы «Ожерелье», «Квадрат». Даже на 4 итерации видна фрактальная структура данного множества; у меня возникла идея создания прихватки, салфетки и подставки, фракталов для использования на кухне. Для создания фрактала я использовала хлопчатобумажные нитки и крючок для вязания.

Началом фрактала «Ожерелье» (подставки) является окружность, которая состоит из определенного числа таких же окружностей, а сама же она является одной из нескольких подобных окружностей. Процесс создания бесконечен и его можно вести как в ту, так и в обратную сторону. Т.е. фигуру можно увеличивать, взяв всего одну маленькую дугу, а можно уменьшать, рассматривая построение ее из более мелких;

Описание создания салфетки, подставки (в.п. – воздушные петли, ст. с/н - столбик с накидом, * - повтор узора:

1 ряд: крючком связать кольцо амигуруми и замкнуть его;

2 ряд: сделать 3 воздушные петли (в.п.) для подъема, 1 в.п., *1 ст. с/н в предыдущую петлю, потом 1 в.п.*, до конца повторять последовательность между **. Закончить ряд глухой петлей;

3 ряд: 3 в.п., провязать вместе 2 ст. с/н, потом *2 в.п. 3 ст с/н, провязанные вокруг в.п. предыдущего ряда*, до конца ряда продолжать от* до*. Закончить вязание на этом этапе 1 ст. с/н, провязанным в верхушку в.п. и т.д;

Таким образом провязывается необходимое количество повторяющихся мотивов, и фракталы «Салфетка», «Подставка» готовы к использованию в домашнем хозяйстве.

Фрактал «Квадрат» (прихватки).

Прихватки я начала вязать с круглого мотива, постепенно превращающегося в квадратный. После того как я связала круглый мотив, надо набрать 7 в.п. (4 из которых идут на подъем, а 3 на вязание уголка), а потом вокруг нижней петли связать 3 ст. с 2 накидами. Дальше вязать *3 ст. с/н, 5 ст. б/н, 3ст. с/н, 3 ст. с 2-мя накидами, 3 в.п., 3 ст. с/н. *. Мотив между ** повторять по кругу, закончив его 3 ст. с/н, 5 ст. б/н, 5 ст. с/н, в конце – глухая петля.

Фрактальную структуру множества «Квадрат» можно создать во время вязания крючком шарфа.

Для начала работы надо набрать цепочку из определенного количества воздушных петель, например 43 воздушные петли

1 ряд: 3 воздушные петли, пышный столбик в 6-ю от крючка петлю, воздушная петля, пропустить воздушную петлю цепочки и провязать ещё один пышный столбик. Вязать таким узором до конца ряда. В последнюю петлю цепочки провязать один столбик с накидом.

2 ряд: 2 воздушные петли, один столбик с накидом в воздушную петлю первого ряда, провязать ещё одну воздушную петлю, затем в каждую воздушную петлю первого ряда провязать пышные столбики, а между ними воздушные петли.

Чтобы связать пышный столбик, надо сделать накид на крючке, затем ввести в крючок в ту петлю, из которой будет вязаться пышный столбик. На крючке 3 петли. Теперь надо пропустить рабочую нить через 2 петли на крючке, сделать ещё один накид и ввести крючок в ту же петлю предыдущего ряда. На крючке снова 4 петли. Протянуть рабочую нить через 2 петли на крючке. Повторить ту же процедуру с накидом ещё раз. Затем протянуть рабочую нить через все петли, которые остались на крючке.

После завершения последнего ряда, закрыть последнюю петлю и обрезать нить.

Дракон

Можно своими руками построить несколько первых ломаных-драконов. Берём длинную узкую и тонкую полоску бумаги, складываем её пополам в одном направлении 7-8 раз, потом аккуратно складываем ещё раз. После этого нужно развернуть полоску. В складках должны получаться прямые углы, тогда в профиль видно кривую дракона.

В будущем я планирую изучить фрактальную графику, попробовать создавать картины, может быть стану фрактальным художником.

Заключение

Подводя итоги своего исследования «Фракталы: теория и практика», хотелось бы еще раз обозначить значительность и необходимость изучения фракталов для человечества. Свойство самоподобия и одновременно хаотичности, которым обладают фракталы, открывает широкие перспективы для нас практически во всех сферах жизни общества, в котором мы существуем: от бионики до экономики, от IT-технологий до географии и, конечно же, математики.

С каждым днем фракталы находят все большее и большее применение в науке и технике - они как нельзя лучше описывают реальный мир. Приводить примеры фрактальных объектов можно бесконечно долго, они повсюду окружают нас. Фрактал как природный объект представляет собой яркий пример вечного непрерывного движения, становления и развития. Таким образом, наша гипотеза о том, что окружающая нас действительность гармонирует с математическими законами, состоит из фрактальной структуры Цель проекта достигнута. В результате исследования мы познакомились с понятием «фракталы», видами фрактальных множеств, изучили историю фракталов, их структуру в природе, в различных сферах жизни человек, познакомились с применением фракталов в науке и на практике, создали модель фрактала.

Данный раздел математики пока что не входит в школьные образовательные стандарты, но в скором времени фрактальная геометрия станет обязательным школьным предметом будущего.

Список использованной литературы

1. Р. М. Кроновер “Фракталы и хаос в динамических системах” (Техносфера, 2006г)

2. Б. Мальденброт “Фрактальная геометрия природы” (Институт компьютерных исследований, 2002г)

3. П. Х. Рихтер “Красота фракталов” (Мир, 2005г)

4. А. Д. Морозов “Введение в теорию фракталов” (Издательство Нижегородского университета, 2004г)

5. Е.А.Антипова, А.В. Александрова, А.А. Широков «Фрактальная геометрия в школе и университете – Системные технологии. – 2017 г. - №24

https://elementy.ru/posters/fractals