Квадратные уравнения и способы их решения

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Бозойская вечерняя (сменная) общеобразовательная школа»

ПРОЕКТ

«Квадратные уравнения и способы их решения»

ПОДГОТОВИЛА УЧЕНИЦА

10б КЛАССА

ТАРЕЛКОВА ЛЕРА

РУКОВОДИТЕЛЬ:

МАЛАХАНОВА ВАЛЕНТИНА ГЕОРГИЕВНА

п. Бозой, 2021 год

Актуальность проекта

«Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду».

Лев Николаевич Толстой.

В школе, изучая математику, физику, мы сталкиваемся с квадратными уравнениями, решать которые надо правильно, выбирая наиболее рациональный способ. Поэтому меня заинтересовали способы решения квадратных уравнений, которые не рассматриваются в школьном курсе математики.

Цель работы: исследование разных способов решения квадратных уравнений

Задачи:

изучить историю развития квадратных уравнений;

проанализировать стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

научиться решать квадратные уравнения разными способами.

Гипотеза: существуют интересные и удобные способы решения квадратных уравнений.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени.

Содержание:

В глубину веков………………………………………………………………….2

Способы решения квадратных уравнений………………………………………3
Заключение………………………………………………………………………21
Литература……………………………………………….………………………22
В глубину веков

Определение площади земельного участка, земельные работы военного характера, развитие астрономии, математики повлекло за собой решение уравнений первой и второй степеней. Уравнения - это обязательный раздел математики.

Мудрецы древности задумывались о равенствах с неизвестными величинами когда ещё не было ни денег, ни кошельков. Они решали задачи с помощью куч, горшков, корзин, помощью предметов, которые вмещали неизвестное число предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37.", - наставлял египетский писец Ахмес.

Древние математические задачи Междуречья, Индии, Китая, Греции в качестве неизвестных величин использовали количество павлинов, быков в стаде, вещи, которые учитывали во время раздела имущества. С подобными задачами умело справлялись чиновники, писцы, жрецы, те, кто был обучен науке счета. Учёные древности обладали общими методами решения задач с неизвестными величинами, об этом говорят сведения, дошедшие до наших времён. Всё же, ни в одной из древних письменностей нет изображения данных приёмов. Числовые выкладки выражались фразами: "Смотри", "Делай так", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" Только греческий математик Диофант Александрийский (III в.) в своём собрании задач описал составление уравнений с систематическим изложением их решений.

В Древней Греции математики решали квадратные уравнения второй степени при помощи геометрических построений; к примеру, Евклид - при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, которые приводятся к квадратным уравнениям, разбираются в древних математических рукописях и трактах.

Виета вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде. Математики Италии Тарталья, Кардано, Бомбелли первыми в XVI в. учли положительные и отрицательные корни. Решение квадратных уравнений приняло современный вид в трудах Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых (XVII в).

Способы решения квадратных уравнений

В этом разделе мы рассмотрим разные способы решения квадратных уравнений.

1 способ: разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х2 + 10х - 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Переписываем уравнение в следующем виде:

(х + 12)(х - 2) = 0

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из его множителей должен быть равен нулю. Таким образом, левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.

2 способ: метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.

Для этого надо выделить в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в таком виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В получившемся выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. Для того, чтобы получился полный квадрат, надо прибавить 9, так как х2 + 2• х • 3 + 9 = (х + 3)2.

Преобразуем левую часть уравнения

х2 + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 9. Имеем:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 9 -9 - 7 = (х + 3) - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

Полученнное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 = 4, х1 = 1,

или х + 3 = -4, х2 = -7.

3 способ: решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4ах2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Примеры. Сколько корней имеет уравнение?

а) 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, если дискриминант положительный, т.е. при

b2 - 4ac >0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корень;

Если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение

ах2 + bх + с = 0 будет иметь единственный корень,

в) 2х2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 - 4ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Если дискриминант отрицательный, т.е. b2 - 4ac < 0,

уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 помогает найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Определение формулы: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4 способ: решение уравнений с помощью теоремы Виета.

Приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + q = 0. 

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 + x2 = - p

x1 x2 = q,

Выводы (по коэффициентам p и q можно угадать знаки корней):

а) Если сводный член q приведенного уравнения положительное число (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р > 0, то оба корня отрицательные числа, если р < 0, то оба корня положительны.

Пример:

x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицательное число (q < 0), то имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Пример: x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

5 способ: решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. В ответе получаем х1 = у1/а и х2 = у2/а.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ можно применять, если корни уравнения легко находятся, есть возможность применить теорему Виета, дискриминант - точный квадрат.

Пример. Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11у + 30 = 0.

По теореме Виета

у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6 способ: свойства коэффициентов квадратного уравнения

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1= 1

х2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + b/a • x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета

x1 + x2 = - b/a,

x1x2 = 1• c/a.

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с.

Получаем, x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a,

x1x2 = - 1• ( - c/a),

т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.

Примеры.

1) Решим уравнение 340х2 – 272х – 68 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (340 – 272 – 68 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = -68/340=-0,2.

Ответ: 1; -0,2.

2)Решим уравнение 66х2 – 47х - 19 = 0.

Решение. Так как, а + b + с = 0 (66 – 47 - 19 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = 19/66.

Ответ: 1; 19/66

Б.  Из первой формулы можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. Второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

x = -k ± √D1/а, где D1 = k2 – ac

Пример.

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k2 – ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 2

В. Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид: x12 = -p±, или x12= -p/2 ±

Данную формулу удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 =7± 8,

Ответ: х1 = 15; х2 = -1.

7 способ: Графическое решение квадратного уравнения.

В уравнении х2 + px + q = 0 перенесём в правую часть второй и третий члены и получим х2 = - px - q.

Строим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1). Точки пересечения графиков будут являться решением уравнения х2 + px + q = 0.

Решим уравнение х2 ‒ 2х ‒ 3 = 0.

1) Представим уравнение в виде х2 = 2х + 3. Построим в одной системе координат графики функций у = х2 и у = 2х + 3. Графики представлены на рисунке 2, пересекаются в двух точках, корнями уравнения являются числа «-1 и 3».

Рисунок 2

2) Рассмотрим ещё один случай представления этого уравнения х2 ‒ 3 = 2х. Построим графики функций у = х2 ‒ 3 и у = 2х в одной системе координат. Оба графика изображены на рисунке 3, пересекаются в двух точках, в которых х = -1, х = 3. Ответ: - 1; 3.

Рисунок 3

3) Построим параболу у = х2 ‒ 2х ‒ 3.

Вершина параболы х0 = - b/2а = 2/2=1, у0 = 12 ‒ 2·1 ‒ 3 = 1 – 2 – 3 = ‒ 4. Это точка (1; ‒ 4). Парабола симметрична относительно прямой х =1. Возьмём две точки, симметричные относительно прямой х = 1, например: х = - 2 и х = 4, получим две точки, через которые проходят ветви графика.

Если х = -2, то у = (- 2)2 ‒ 2( -2) ‒ 3 = 4 + 4 – 3 = 5.

Получаем, х =4, у = 42 ‒ 2 · 4 ‒ 3= 16 – 8 – 3 = 5. Точки (-2; 5); (1; 4) и (4; 5) отмечаем на координатной плоскости, строим параболу. Рисунок 4.

Рисунок 4

Парабола пересекает ось X в точках – 1 и 3, эти точки будут корнями уравнения х2 ‒ 2х ‒ 3 = 0. Ответ: – 1 и 3.

4) Представим уравнение в виде х2 ‒ 2х = 3 и построим в одной системе координат графики функций у = х2 ‒ 2х и у =3. Оба графика изображены на рисунке 5, пересекаются в двух точках, где х = -1 и х = 3. Ответ: - 1; 3.

Рисунок 5

5) Выделение квадрата двучлена:

х2 ‒ 2х ‒ 3= 0

(х2 ‒ 2х + 1) ‒1 ‒ 3= 0

(х -1)2 - 4 = 0

(х - 1)2 = 4

Строим в одной системе координат графики функций у = (х - 1)2 и у = 4. Графики у = (х - 1)2 и у = 4 на рисунке 6, пересекаются в двух точках, в которых х = -1, х = 3.

Ответ: - 1; 3.

Рисунок 6

6) Если бы выполнялось бы равенство 0·2 – 2· 0 –3 = 0, то 0 являлся бы корнем уравнения, но это не так. Так как х = 0 не является корнем уравнения х2 ‒ 2х ‒ 3 = 0, поэтому все члены уравнения разделим на х. В итоге получаем уравнение х – 2 – 3/х = 0. Перенесем 3/х вправо и получим уравнение х – 2 = 3/х. Теперь построим в одной системе координат графики функций у = 3/х и у = х – 2, рисунок 7. Графики пересекаются в двух точках, в которых х = -1, х = 3.

Ответ: - 1; 3.

Рисунок 7

Возможны 3 случая пересечения прямой и параболы:

1) прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

2) прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

3) прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Рассмотрим эти случаи на примерах:

1) Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 (рис. 8).

Решение: Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямая и парабола пересекаются в двух точках с абсциссами х1 = - 1 и х2 = 4.

Ответ: х1 = - 1; х2 = 4.

Рисунок 8

2) Решим графически уравнение х2 - 2х + 1 = 0, рисунок 9.

Решение: Представим уравнение в виде х2 = 2х - 1.

Построим графики функций у = х2 и прямую у = 2х - 1.

Графики пересекаются в одной точке с абсциссой х = 1.

Ответ: х = 1.

Рисунок 9

3) Решим графически уравнение х2 - 2х + 5 = 0 (рис. 10).

Решение: Представим уравнение в виде х2 = 5х - 5. Строим параболу у = х2 и прямую у = 2х – 5 в одной системе координат. Прямая и парабола не имеют общих точек, поэтому данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение х2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8 способ: решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Рисунок 21

Данный способ решения квадратных уравнений наиболее удобен, нежели рассмотренный выше.

Найти корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 11). [5, c.34]

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD.

Итак: 1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 12,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 12,б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.12,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Рисунок 12а

Рисунок 13б

Рисунок 12в

Пример. Решим уравнение х2 - 2х - 3 = 0 (рис. 13).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.

Рисунок 13

9 способ: решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это давний и несправедливо забытый способ решения квадратных уравнений

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Рисунок 14

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.14):

Считая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1) Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.15).

Рисунок 15

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2x2 – 9x + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

x2 - 4,5x + 1 = 0.

Номограмма дает корни x1 = 4 и x2 = 0,5.

3) Для уравнения

x2 – 25x + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку x = 5t, получим уравнение t2 - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда x1 = 5t1 = 3,0 и x2 = 5t2 = 22,0.

10 способ: геометрический способ решения квадратных уравнений.

В античности квадратные уравнения решали. Покажу знаменитый пример из «Алгебры» ал - Хорезми.

Примеры.

1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.

Оригинальная формулировка задачи: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.16).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Рисунок 16

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя

х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у - 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где у2 + 6у = 16,

или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = - 8 (рис.17).

Рисунок 17

3) Решить геометрически уравнение у2 - 6у - 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем у2 - 6у = 16.

На рис. 18 находим «изображения» выражения у2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у2 - 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у - 3. Заменяя выражение у2 - 6у равным ему числом 16,

получаем: (у - 3)2 = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± √25, или у - 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = - 2.

Рисунок 18

Заключение

Таким образом, можно подытожить, что квадратные уравнения сыграли большую роль в развитии математики. Немаловажно, что, решая задачи с помощью квадратных уравнений, можно открыть новые подробности, любопытные обобщения, вывести и внести уточнения через анализ выведенных формул и соотношений.

В результате работы над темой проекта я научилась решать квадратные уравнения не только стандартным способом, но и новыми, интересными приёмами. Сравнивая все решения одной и той же задачи, можно найти более лёгкий и результативный метод. Гипотеза, что существуют интересные и удобные способы решения квадратных уравнений, подтвердилась.

Считаем, что исследовательскую работу можно использовать на уроках и факультативных курсах по математике.

Литература

Алимов, Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. / Пробный учебник для 6-8 классов средней школы. - М., Просвещение, 1981.

Арутюнян, Е.Б.Занимательная математика/ Е.Б. Арутюнян Москва «Аст – пресс» 1999.

Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.

Глейзер, Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М., Просвещение, 1982.

Окунев , А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. / Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

Пресман, А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

Соломник , В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение,

Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры/ Л.Ф. Пичурин. Москва «Просвещение» 1990г.

Энциклопедический словарь юного математика. – 2-е издание, испр. и доп. – М.:Педагогика, 1989.

Энциклопедия для детей. Т.11. Математика.- М.: Аванта+, 1999.