Теорема Виета

Тюменская область

Ханты-Мансийский автономный округ – Югра

Нижневартовский район

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ «НОВОАГАНСКАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

СРЕДНЯЯ ШКОЛА ИМЕНИ

МАРШАЛА СОВЕТСКОГО СОЮЗА Г.К. ЖУКОВА»

Проектная работа

Теорема Виета

Выполнил: ученик 8бкласса

Фахуртдинов Даниил

Руководитель: учитель математики

Клюева Лариса Валентиновна

2023 год.

План

Введение______________________________________________________ _3

1.Актуальность_______________________________________________________3

2.Историческая справка 4

Способы решения квадратных уравнений 4

Определение квадратного уравнения 4

Классификация квадратных уравнений 5

Решение неполных квадратных уравнений 5

Решение полных квадратных уравнений:

4.1. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена 7

4.2. Решение квадратных уравнений по формуле 7

4.3. Решение квадратных уравнений со вторым четным коэффициентом 8

4.4. Теорема Виета 9

4.5. Графический способ решения квадратных уравнений 10

4.6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения 11

4.7. Способ переброски 12

4.8. Закономерность коэффициентов 12

Дидактический материал 14

Заключение 16

Введение

По программе 8 класса на уроках алгебры изучается тема «Квадратные уравнения». При решении различных заданий, математических вычислениях приходится часто прибегать к использованию и решению квадратных уравнений. Решение через дискриминант трудоемкий способ и требует много времени. А ведь существует много различных способов, которые более просты в оформлении, а некоторые даже решаются устно. Это экономит время на уроке.

При подготовке этой работы проводился социологический опрос. Старшеклассникам нашей школы были заданы вопросы: сколько способов решения квадратных уравнений они знают и сколько применяют на практике. Результаты опроса приведены в диаграмме

Проблема: старшеклассники знают 2-3 способа, но на практике применяют всего лишь 1-2, как правило, это традиционный способ нахождение корней уравнения через дискриминант и по теореме Виета. Это и привело к выбору данной темы.

Объект исследования - раздел алгебры уравнения

Предмет исследования – история и способы решения квадратных уравнений (от 2 тыс. лет до н.э. по сегодняшний день)

Цель – применение различных способов при решении квадратных уравнений в старших классах

Задачи:

Определить отношение учащихся к различным способам решения квадратных уравнений

Изучить программный и дополнительный материал по теме

Познакомиться с историческими сведениями

Распространение различных способов

Метод исследования:

Изучение программного материала по учебнику Ю.Н.Макарычева

Изучение дополнительного материала по энциклопедиям

Изучение исторического материала по сайтам Интернета

Работа в программах Microsoft Word, Excel, PowerPoint

История возникновения квадратных уравнений

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта, сводя их решение к геометрическим построениям.

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений  умели решать вавилоняне

Об этом свидетельствует найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов).

Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский.

Способ решение полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились

Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду, где a > 0, дал индийский ученый Брахмагупта

Мухаммед бен Мусы аль-Хорезми, багдадский ученый IХ в. При решении полных квадратных уравнений аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Трактат аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487 - 1567).

Знаменитый французский ученый Франсуа Виет был по профессии адвокатом. В 1591 г. впервые ввел буквенные обозначения и для неизвестных, и для коэффициентов уравнений. Однако свое утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал).

После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 - 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

II. Способы решения квадратных уравнений

Квадратным уравнением называются уравнения вида ах2 + вх + с = 0,

где х – переменная, а, в, с – некоторые числа, причем а ≠ 0.

Числа а, в и с – коэффициенты квадратного уравнения.

Число, а – называют первым (старшим) коэффициентом, в – вторым коэффициентом, с – свободным членом. Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Пример квадратного уравнения:

-3х2+6х+7=0 (а=-3; в=3; с=7)

в = 0, с = 0,

а ≠ 0

ах2 = о

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов

ах2+с=0, где с≠0 а ≠о

ах2+вх=0, где в≠0 а≠о

ах2=о, где а≠о

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Неполные квадратные уравнения ах2 + с = 0, где в = 0, с ≠ 0, а ≠ 0

Для решения неполного квадратного уравнения вида ах2 + с = 0 при с ≠ 0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на а. Получают уравнение

х2 =

Равносильное уравнению ах2 + с = 0.

Так как с≠0, то ≠ 0.

Вывод: если > 0, то уравнение имеет два корня: х = - и х =

Если < 0, то уравнение не имеет корней.

ПРИМЕР 1. Решим уравнения а) -32+15=0; б) 4х2+3=0.

Неполные квадратные уравнения ах2 + вх = 0, где в ≠ 0, а ≠ 0

Для решения неполного квадратного уравнения вида ах2 + вх = 0 при в≠0 раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение

х (ах + в) = 0

Произведение х (ах + в) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

х = 0 или ах + в = 0

Решая уравнение ах + в = 0, в котором, а ≠ 0, находим:

ах = - в,

х = -

Следовательно, произведение х (ах + в) обращается в нуль при х = 0 и при

х = - . Корнями уравнения ах2 + вх = 0 являются числа 0 и - .

Вывод: неполное квадратное уравнение вида ах2 + вх = 0 при в ≠ 0 всегда имеет два корня.

ПРИМЕР 3. Решим уравнение 4х2+9х=0

4х2+9х=0

х(4х+9)=0

х=0 или 4х+9=0

4х=-9

х=

Ответ: х1 = 0, х2 = .

Неполные квадратные уравнения ах2 = 0, где а ≠ 0

Неполное квадратное уравнение вида ах2 = 0 равносильно уравнению х2= 0.

Вывод: неполное квадратное уравнение вида ах2 = 0 имеет единственный корень 0.

Полные квадратные уравнения

Квадратные уравнения, у которых все три коэффициента отличны от нуля, называется полным.

2х2+3х – 2=0

Приведенные квадратные уравнения

Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент а = 1, называется приведённым квадратным уравнением. Например: х2 – 4х + 7 = 0.

Любое квадратное уравнение можно представить в виде приведённого квадратного уравнения, разделив обе его части на коэффициент при х2.

Пример: 4х2 – 8х+16=0 – неприведённое квадратное уравнение.

х2 – х+ =0

х2 – 2х+4=0 – приведённое квадратное уравнение.

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена

Решим приведённые квадратные уравнения

Решение квадратных уравнений по формуле

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение

ах2 + вх + с = 0 (1)

Разделив обе его части на а, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение х2 + х + = 0

Преобразуем это уравнение: х2 + 2х· + = – ,

(х+ )2= – ,

(х+ )2= в2 – (2)

Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Число его корней зависит от знака дроби в2 – 4ас/4а2. Так как а≠0, то 4а2 – положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком её числителя, т.е. выражения в2-4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ах2+вх+с=0

(«Дискриминант» по-латыни – различитель). Его обозначают буквой D, т.е. D=в2-4ас.

Запишем уравнение (2) в виде

(х+ )2 = .

Рассмотрим теперь различные возможные случаи в зависимости от D.

Если D>0, то

х + =- или х + = ,

х = - - или х = - +

х = -в - или х = -в+ .

Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет два корня:

х1 = -в - или х2 = - в+ .

Принята следующая краткая запись: х1,2 = - в± , которую называют формулой квадратного уравнения.

Если D=0, то уравнение (2) примет вид: (х+ )2= 0

Отсюда х+ = 0

х = -

В этом случае уравнение имеет один корень х = -

Если D<0, то значение дроби отрицательно и поэтому уравнение

(х+ )2 = не имеет корней.

Вывод: в зависимости от дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D>0), один корень (при D=0) или не иметь корней (при D<0.)

Решение квадратных уравнений со вторым четным коэффициентом

Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является чётным числом, формулу корней удобно записать в другом виде.

Рассмотрим квадратное уравнение ах2+2kх+с=0.

D=4k2 – 4ас=4(k2 – ас).

Очевидно, что число корней уравнений зависит от знака выражения

k2 – ас. Обозначим это выражение через D1= k2 – ас

Если D1≥0, то по формуле корней квадратного уравнения получим, что

Х=-2k ± =-2k ± 2 = -k ± , т.е.

Х=-k ± , где D1=k2 – ас. (ΙΙ)

Если D1<0, то уравнение корней не имеет.

ПИМЕР 4. Решим уравнение 9х2 – 14х+5=0:

D1=(-7)2 – 9·5=4,

Х=7 ,

Х=7 ±

Ответ: х1= , х2=1.

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение х2 -7х+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Докажем, что таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

ТЕОРЕМА. Свойства корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член - буквой q:

х2+ pх+q=0.

Дискриминант этого уравнения D равен p2 – 4q.

Пусть D>0. тогда это уравнение имеет два корня:

Х1= - p - и х2= - p + .

Найдём сумму и произведение корней:

Х1+х2=-p- + -p+D/2= -2p/2= -p;

Х1· х2=-p- · (-p+ ) = (-p)2 – ( )2/4= p2- (p2-4q)/4=4q/4=q

Итак, х1+х2= - p и х1·х2=q

При D=0 квадратное уравнение Х2+ pх+q=0 имеет один корень. Если условиться считать, что при D=0 квадратное уравнение имеет два равных корня, то теорема будет верна и в этом случае. Это следует из того, что при D=0 корни уравнения также можно вычислять по формуле

Х= -p ±

Доказанная теорема называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.

Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

Пусть квадратное уравнение ах2+вх+с=0 имеет корни х1 и х2. равносильное ему приведённое квадратное уравнение имеет вид х2+ х + =0.

По теореме Виета

х1+х2 = - , х1 · х2= .

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета.

ТЕОРЕМА. Если числа m и n таковы, что их сумма равна – p,а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2+pх+q=0

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию m + n = - p,а m · n = q. Значит, уравнение х2+pх +q=0 можно записать в виде

х2-(m+n)х+mn=0.

Подставим вместо х число m, получим:

m2 – (m+n)m+mn=m2 – m2+mn=0

значит, число m является корнем уравнения.

Аналогично можно показать, что число n также является корнем уравнения.

Рассмотрим примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.

ПРИМЕР 1. Найдём сумму и произведение корней уравнения 3х2 – 5х+3=0

Дискриминант D=25 – 4 ·3 ·2 = 1 ― положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение х2 – х+ =0. Значит, сумма корней уравнения 3х2 – 5х+2=0 также равна , а произведение равно .

По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

ПРИМЕР 2. решим уравнение х2+3х – 40=0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Найдем дискриминант: D = 32+4 · 40=169.

По формуле корней квадратного уравнения получаем:

х=-3 ± ,

Х=-3±13.

Отсюда х1=-8, х2=5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении

х2+3х – 40 = 0 коэффициент p равен 3, а свободный член q равен -40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения

х2+3х – 40=0.

ПРИМЕР 3. Найдём подбором корни уравнения х2 – х – 12=0.

Пусть х1 и х2 – корни уравнения. Тогда х1+ х2=1 и х1· х2=-12.

Если х1 и х2 – целые числа, то они являются делителями числа -12, учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что х1=-3 и х2=4.

Графический способ решения квадратных уравнений

Рассмотрим уравнение х2=6/х. Если обе части этого уравнения умножить на х, то получим уравнение х3=6, способ решения которого нам неизвестен. Однако с помощью графиков можно найти приближённое значение корней уравнения х2=6/х.

Построим в одной координатной плоскости графики функций у=х2 и у = (рис.1).

Рис. 1. Рис.2

Эти графики пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пересечения есть то значение переменной х, при котором выражения х2 и принимают равные значения. Значит, абсцисса точки пересечения графиков функций у=х2 и у= является корнем уравнения х2= . Из рисунка видно, что приближённое значение корня равно 1,8.

Применённый способ решения уравнения называют графическим.

Рассмотрим ещё один пример решения уравнения графическим способом. Решим уравнение х3 – 1,2х + 0,5=0. Представим это уравнение в виде х3=1,2х – 0,5 и построим в одной координатной плоскости графики функций у=х3 и у=1,2х – 0,5 (рис.2). Графики пересекаются в трёх точках. Это означает, что уравнение х3=1,2х – 0,5, а значит, и уравнение х3 – 1,2х+0,5=0

имеет три корня. Найдём приближённые значения корней, т. е. абсцисс точек пересечения графиков. Получим: х1≈-1,3, х2≈ 0,5, х3≈0,8.

4.6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1) Если а+ b+c= 0, то х =1, х = .

Пример. Рассмотрим уравнение х2 +4х – 5= 0.

а+ b+c= 0, х =1, х = . 1+ 4+(–5)= 0.

Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b – 4ас= 4 – 4∙1∙(–5)= 36.

х = = = – 5.

х = = =1.

Отсюда следует, что если а+b+c= 0,то х =1, х = .

2) Если b= а+c, то х = –1, х = .

Пример. Рассмотрим уравнение 2х2 +8х +6 = 0.

Если b= а+c, то х = –1, х = . 8 =2 +6.

Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b – 4ас=8 – 4∙2∙6= 16.

х = = = –3.

х = = = –1.

Отсюда следует, что если b= а+c, то х = –1, х = .

Способ переброски.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

2х2 – 11х+5=0 х2 – 11х+10= 0

х = 10; х =1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.

Ответ: 5; 0,5.

4.8. Закономерность коэффициентов.

1) Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х = –а; х = – .

ax2 + (а2 +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 6х2 +37х +6 = 0.

х = –6; х = – .

2) Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 + 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х = а; х = .

ax2 – (а2 +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0.

х = 15; х = – .

3) Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х = –а; х = .

ax2 + (а2– 1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0.

х = –17; х = .

4) Если в уравнении ax2 – bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х = а; х = – .

ax2 + (а2– 1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 10х2–99 х – 10 = 0.

х = 10; х = – .

III. Дидактический материал.

1. Решение неполных квадратных уравнений:

а) 4х2– 100= 0, б) 2х2+ 10х= 0,

4х2 = 100, х (2х+10) = 0,

х2 =25, х = 0 или 2х+10 = 0,

х =5. 2х = –10,

х = –5.

2. Решение квадратных уравнений по формуле:

а) 4х2+ 7х + 3 = 0.

D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >0; 2 корня;

х = = = ;

х = = = –1.

б) 4х2 – 4х + 1 = 0,

D = b2 – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0, D = 0; 1 корень;

х=

3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета:

а) х2 – 9х + 14 =0. б) х2 +3х – 28 = 0.

х1 +х2 = 9, х1 +х2 = –3,

х1· х2 = 14. х1· х2 = –28.

х =2; х = 7.

4. Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

а) 4х2 – 12х +8х = 0. б) х2 – 6х + 5= 0.

а+ b+c= 0, х =1, х = . а+ b+c= 0, х =1, х = .

х =1, х = 2. х =1, х = 5.

5. Решение квадратных уравнений способом переброски.

а) 6х2 – 7х–3= 0.

х2 – 7х–18= 0,

D = b2 – 4ас = (– 7)2 – 4· 1 ·(–18) = 49 +72 = 121, D >0; 2 корня;

х = = = = –2;

х = = =

Корни 9 и (–2).

Делим числа 9 и (–2) на 6:

х = х2 =

б) 2х2 – 11х +15= 0,

х2 – 11х + 30= 0,

D = b2 – 4ас = (– 11)2 – 4· 1 ·30= 212 –120= 1; D >0; 2 корня;

х = =

х = =

Корни 5 и 6.

Делим числа 5 и 6 на 2:

х = х2 = 3.

6. Закономерность коэффициентов:

а) 5х2 + 26х + 5= 0. б) 7х2 + 48х –7 = 0.

b = (а2 +1); b = (а2 –1);

х = –5; х = – х = –7; х =

IV. Заключение

В процессе изучения программного материала по учебникам, дополнительного материала по энциклопедиям, знакомясь с историческими сведениями, мною были выделены 8 способов решения квадратных уравнений.

Все эти способы не являются универсальным, т.к. каждый из них применяется в определенных условиях, в зависимости от уравнения.

Универсальным является способ решения квадратного уравнения через дискриминант. Именно поэтому, изучив формулу в 8 классе, большинство учащихся применяют ее решении каждого уравнения.

Графический способ является не менее универсальным, но это достаточно трудоемкий процесс, требует много времени. При использовании данного метода корни могут иметь приближенные значения, а это не всегда удобно.

Существуют также способы решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, с помощью номограммы (это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - м., Просвещение)), геометрический способ, с использованием теоремы Безу, с помощью микрокалькулятора, но эти способы пока мной не изучены. Я надеюсь, что я продолжу их изучение в следующем году.