"Знаменитые задачи древности: трисекция угла "

Государственное бюджтное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа с. Чёрный Ключ муниципального района Клявлинский Самарской области

Проект на тему

"Знаменитые задачи древности:
трисекция угла "

Работа ученицы 8 класса

ГБОУ СОШ с. Чёрный Ключ

м.р. Клявлинский Самарской области

Вахтеровой Алисы Алексеевны

Руководитель:

Антонова Вера Владимировна,

учитель математики ГБОУ СОШ с. Чёрный Ключ

м.р. Клявлинский Самарской области

с. Чёрный Ключ

Аннотация.

Проект « Знаменитые задачи древности: трисекция угла» знакомит нас с историей возникновения задач и способами их решения.

Тип проекта: информационно-познавательный.

Продукт проекта: выпуск брошюры « Знаменитые задачи древности».

Цель проекта: углубление в историю математики, изучение истории  возникновения классических задач древности и некоторые способы их решения.

Задачи:

1.Изучить литературу и источники по данной теме.

2.Обработать полученную информацию.

3.Сделать вывод и продолжить в дальнейшем изучение данной темы.

Формы работы: индивидуально-групповая.

Проект представляет актуальное самостоятельное исследование, в ходе которого мы должны ответить на вопрос : Разрешимы ли задачи древности?

Проект имеет познавательный характер, и будет интересен всем, кто интересуется математикой.

Практическая значимость данного материала будет полезна для учителей математики, т.к этот материал можно использовать в рамках внеурочной деятельности.

Процесс работы получился интересным, познавательным, т.к. в ходе проекта было обработано много литературы, рассмотрены методы решения задач. После проведенных исследований пришли к выводу: задачи древности неразрешимы.

Ключевые слова: задачи древности, трисекция угла, квадратура круга, улитка Паскаля, спираль Архимеда, линейка Невсиса.

Содержание

Введение ………………………………………………………………………………. 4-5

Глава 1. История возникновения……………………………………………………...6-7

Глава 2. Методы решения………………………………………………………………8

2.1. Углы, трисекция которых выполнима с помощью циркуля и линейки…………8

2.2. Доказательство неразрешимости трисекции угла с помощью циркуля и линейки

в общем виде ……………………………………………………………….…………….8-9

2.3. Методы доказательства………………………………………………………………9-12

Заключение …………………………………………………………………………….….13

Список литературы…………………………………………………………………..……14

Введение.

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими.

Первым греческим ученым ,который занимался решением геометрических задач на построение, был Фалес Милетский(624-547 годы до н.э.).Это он, пользуясь построением треугольников ,определил расстояние, недоступное для непосредственного измерения-от берега до корабля в море .Это он вычислил высоту египетской пирамиды по отбрасываемой ею тени.

Большую роль в развитии задач на построение сыграл Пифагор (около 580-500 годов до н.э.). По свидетельству греческого историка математики Прокла (412-485 годы),Пифагор впервые разработал принцип геометрии и теоремы невещественным разумным путем .С именем Пифагора связана теорема, согласно которой в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов .По-видимому, эту теорему сам Пифагор (или его ученики) доказывал при помощи геометрических построений, опираясь на понятие равновеликости равносоставленных фигур.

Особенно большое внимание задачам на построение уделял Платон (427-347 годы до н.э.), основатель «Академии» в Афинах, где преподавал философию более 20 лет. Недаром, как говорит предание, при входе в свою академию, которая размещалась в роскошном городском саду, Платон сделал надпись: «Пусть не входит сюда тот, кто не знает геометрии».

Платон и его ученики считали построение геометрическим, если оно выполнялось при помощи циркуля и линейки, то есть путем проведения окружностей и прямых линий. Если же в процессе построения использовались другие чертежные инструменты, то построение не считалось геометрическим. Древние греки вслед за Платоном стремились к геометрическим построениям и считали их идеалом в геометрии.

Уже в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению. К числу таких задач относятся три знаменитые классические задачи древности:

О квадратуре круга О трисекции угла Об удвоении куба

Постановка проблемы.

С глубокой древности известна одна из знаменитых задач древности- задача о трисекции угла. Она сыграла важную роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эту задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи – « доказать неразрешимость»- была смелым шагом вперед. Вместе тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Все это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближенных решениях любители математики. Задача кажется доступной любому: вводит в заблуждение его простая формулировка.

Данную тему нашей работы мы считаем актуальной, потому что очень полезно изучать историю возникновения, методы решений данных задач древними учеными, так как большинство методов и способов решений различных задач сохранились и до наших дней  и используются в современной математике.

Мы хотели больше узнать об истории возникновения задач, способах решения этих задач древними учеными.

Гипотеза:

1. Три знаменитые задачи древности разрешимы…

2. Три знаменитые задачи древности неразрешимы…

Цель работы : углубление в историю математики, изучение истории  возникновения классических задач древности и некоторые способы их решения.

Задачи:

1.Изучить литературу и источники по данной теме.

2.Обработать полученную информацию.

3.Сделать вывод и продолжить в дальнейшем изучение данной темы.

Глава 1. История возникновения

Задача о трисекции угла: Деление угла на три равные части.

Возникновение задачи о трисекции угла (т.е. деления угла на три равные части) обуславливается необходимостью решения задачи о построении правильных многоугольников. Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой должно было произвести на пифагорейцев большое впечатление, потому что правильная пятиконечная звезда была их опознавательным знаком (она символизировала здоровье). Известна следующая легенда.

 Один пифагореец умирал на чужбине и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал. Перед смертью он велел ему изобразить на своем жилище пятиконечную звезду: если когда-нибудь мимо будет идти пифагореец, он обязательно спросит о ней. И действительно, несколько лет спустя некий пифагореец увидел этот знак и вознаградил хозяина дома.

Происхождение задачи о трисекции угла также связано с практической деятельностью. В частности, уметь делить окружность на равные части нужно было при изготовлении колеса со спицами, деление угла или дуги окружности на несколько равных частей необходимо было и в архитектуре, в создании орнаментов, в строительной технике и в астрономии.

С помощью циркуля и линейки для n=6 и 8 правильные n-угольники построить можно, а для n =7 и 9 нельзя. Построение правильного семиугольника — интересная задача: ее можно решить с помощью способа «вставок». Построение правильного семиугольника предложил Архимед. А вот попытки построить правильный девятиугольник как раз и должны были привести к задаче трисекции угла, потому что для построения правильного девятиугольника нужно было построить угол 360°/9= 120/3, т.е. разделить угол 120° на три равные части.

Но вот почему именно циркуль и линейку греки предпочли иным инструментам?

Ответить на этот вопрос однозначно и в достаточной степени убедительно ученые не могут. Не потому ли, что циркуль и линейка являются наиболее простыми инструментами? Может быть и так. Однако можно указать множество иных инструментов, столь же простых, как циркуль и линейка, или почти столь же простых. С помощью некоторых из них решаются и сформулированные задачи.

   В литературе мы попытались найти попытки объяснения такой необычной симпатии греков именно к циркулю и линейке: любая геометрическая фигура состоит из двух видов линий – прямой или кривой. А любая кривая состоит из частей окружностей различного диаметра. При этом прямая и окружность – единственные линии постоянной кривизны на плоскости.

Исторические сведения.

Платон, живший в 428 – 328 годах до нашей эры, считается одним из величайших философов Греции. Геометрия ко времени Платона уже была очень развита. Было решено много весьма и весьма сложных задач, доказаны сложнейшие теоремы. В конце прошлого века было доказано, что в такой постановке данная задача не может быть решена, хотя, если использовать другие геометрические инструменты или использовать при построении геометрические места точек, отличные от прямой, либо дуги окружности. То эта задача легко решается. Однако принятые у греков правила игры не позволяли пользоваться при решении задачи ничем, кроме циркуля и линейки. Платон даже обосновал это ссылкой на авторитет богов. Так что проблема решена не была, но по ходу дела геометрия была основательно разработана.

Рене Декарт был первым ученым, который высказал предположение, что трисекция произвольного угла не может быть выполнена при помощи циркуля линейки, если последняя не имеет никаких отметок.

Пьер Лора́н Ванце́ль в 1837 году публикует свою самую известную работу с доказательством неразрешимости классических задач удвоения куба и трисекции угла.

Глава 2. Методы решения

2.1 Углы, трисекция которых выполнима с помощью циркуля и линейки.

Выражение «построение с помощью циркуля и линейки» в геометрии имеет вполне определенный смысл. При этих построениях циркуль используется лишь для проведения окружностей, а линейка - для проведения прямых.

П остроение трисекции угла в 90°. Можно легко указать бесчисленное множество углов, для которых трисекция выполнима с помощью циркуля и линейки. Можно, например, с таким же успехом разделить угол в 45° на три равные части . Вообще, трисекция выполнима для углов вида /2n, где n- целое положительное число.

Пусть дан прямой угол ABC (рис.1) и требуется разделить его на три равные части, т.е. произвести трисекцию этого угла. Для этого из вершины данного угла B, как из центра, проводим окружность (для нужного построения достаточно четверть окружности). Точки пересечения окружности со сторонами AB и BC соответственно обозначим через M и N. Далее, из точек М и N тем же радиусом делаем засечки R и Q. Теперь соединим хордами М и R, N и Q. Получаем два рав­носторонних треугольника: ΔВRМ и ΔВQN. Но в равностороннем треугольнике все три угла по 60°. Следова­тельно, МВR = QВN = 60°. Тогда МВQ = RВN= QВR = 30°. Итак, данный прямой угол удалось разделить на три равные части. Что и нужно бы­ло сделать.

2.2.Доказательство неразрешимости трисекции угла с помощью циркуля и линейки в общем виде

Обозначим данный угол, который нужно разделить на три равные части, через 3.

Рассмотрим cos 3. По известным формулам тригонометрии будем иметь:

cos 3 = cos (+2) = cos cos 2 - sin sin 2 = cos (cos2  - sin2 ) - sin 2sin cos =

=cos3  - cos sin2  - 2sin2 cos  = cos3  - 3cos (1 - cos2) = cos3  - 3cos  + 3cos3  =

= 4cos3  - 3cos 

Итак, cos 3 = 4cos3  - 3cos . Умножая левую и правую части уравнения на 2, получим ,

2cos 3 = 8cos3  - 6cos . Пусть теперь 2cos 3=a, а 2cos =x, тогда a = x3 - 3x;

x3 - 3x - a =0.

Когда это уравнение для некоторого а разрешимо в квадратных радикалах, то трисекция соответствующего угла выполнима при помощи циркуля и линейки, и наоборот: если для данного угла выполнима трисекция, то соответствующее уравнение должно быть разрешимо в квадратных радикалах.

Чтобы доказать, что трисекция угла не разрешима в общем виде, достаточно указать хотя бы один угол, который нельзя разделить при помощи линейки и циркуля на три равные части. Предположим, что 3=60°, тогда cos 3=0.5, и уравнение примет вид: x3 - 3x - 1 = 0.

В алгебре доказывается, что рациональными корнями уравнения могли бы быть +1 и -1, но ни то, ни другое указанному уравнению не удовлетворяет.

Таким образом угол в 60° не может быть разделен на три части с помощью циркуля и линейки; угол в 20° (а следовательно, и угол в 40°) не может быть построен с помощью этих средств решения.

При решении задачи трисекции угла можно ограничиться случаем острого угла, потому что если >90°, то /3 = ( - 90°)/3 + 30°, а угол 30° легко построить циркулем и линейкой.

2.3 Методы доказательства.

Существуют различные способы построения трисекции угла:

При помощи циркуля и линейки без засечек.

Квадратрисса Гиппея.

Конхоида Никомеда.

Спираль Архимеда.

С помощью простейшего трисектора.

При помощи линейки невсиса.

Улитка Паскаля

Спираль Архимеда.

Существует еще одно механическое решение, которое нашел Архимед. Мы должны немного остановиться на нем и сказать, что этот метод приведен в арабском труде, который называется “Книга лемм’’, который приписывают Архимеду. Конечно, эта работа не является простым переводом работы Архимеда, хотя Архимед цитируется в ней несколько раз, так что совершенно невозможно для кого-либо присвоить ее себе. Однако большинство историков математики считают, что многие из приведенных в книге лемм действительно принадлежат Архимеду. А результат о делении на три части угла настолько в духе его работы “О спиралях’’, что широко признано, что этот метод действительно является методом Архимеда.

  С помощью спирали Архимеда может быть легко решена задача о трисекции угла. В самом деле, как показывает уравнение  ρ=k⋅ϕ, разделить на три равные части угол – это значит разделить на столько же частей соответствующий этому углу полярный радиус – вектор. Решение представлено на рис. На нем изображен подлежащий делению на равные части угол AOB. Примем вершину угла  O за полюс, сторону  OA – за полярную ось полярной системы координат. Построим спираль Архимеда, имеющую уравнение  ρ=k⋅ϕ, при каком угодно множителе пропорциональности k. Пусть она пересечет сторону ОВ угла в точке K. С помощью циркуля и линейки делим отрезок OK  на три равные части.

Третьей частью указанного отрезка проводим дугу окружности с центром  O и делаем засечку на спирали (точка  M). Проводим прямую  OM. Угол AOM – третья часть угла AOB.
     Очевидно, спираль Архимеда позволяет разделить произвольный угол не только на три, но и на произвольное число равных частей. При этом, разумеется, к инструменту, вычерчивающему спираль, должны быть присоединены циркуль и линейка. Была ли спираль Архимеда открыта именно при решении задачи о трисекции угла, не известно. Но, учитывая, её связь с задачей, связь, которая основывается на прямой пропорциональной зависимости между линейными и угловыми величинами, можно говорить почти с полной уверенностью о том, что мысль о спирали возникла именно в связи с задачей о трисекции.

Линейка невсиса.

Невсис позволяет достаточно просто решить задачу трисекции произвольного угла. Предположим, что имеется угол α = POM (рис. 1). Необходимо построить угол β, величина которого втрое меньше данного: α = 3β. Продолжим сторону OM исходного угла и построим на ней как на диаметре окружность произвольного радиуса a с центром в точке O. Стороны угла пересекаются с окружностью в точках P и M. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему a, и используя прямую OM в качестве направляющей, точку P в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок AB. Получим угол PAM, равный одной трети исходного угла α.

Улитка Паскаля

Возьмем на окружности радиуса R точку А и проведем через нее прямую . Прямая  пересекает окружность в точках X и А (если -касательная, то Х=А). Пусть М1 и М2 - такие точки прямой , что ХМ1 = ХМ2 = а, где а - фиксированное число. Множество всех точек М1 и М2 (для всех прямых ) называют улиткой Паскаля.

Нас будет интересовать случай, когда a = R (рис. 6). Пусть векторы XM1 и АХ сонаправлены, В-точка на продолжении отрезка М1О за точку О. Так как треугольники M1XO и ХОА равнобедренные, то OAX=2OM1A и AOB= OM1A+ OAX= = 3OM1A. Поэтому для трисекции угла , где 0<</2, можно поступить следующим образом. Возьмем точку В так, что АОВ = . Пусть прямая ОВ пересекает сплошную часть улитки Паскаля в точке М1 (пунктирная часть улитки Паскаля соответствует таким точкам М2, что векторы ХМ1 и АХ противоположно направлены). Тогда OM1A=/3

Квадратрисса Гиппея.

Квадратриса - плоская трансцендентная прямая, определяемая кинематически.

Трансцендентные прямые - аналитические кривые, не являющиеся алгебраическими, т.е. для которых функция F(x; y) есть многочлен от двух переменных.

Кв адратриса получается следующим образом. Рассмотрим квадрат ABCD. Пусть концы отрезка ВС равномерно движутся по прямым ВА и CD, а отрезок АВ равномерно вращается вокруг точки А, причем в положение AD оба отрезка приходят одновременно (рис. 4). Пусть, далее, в некоторый момент отрезок ВС переместился в положение В`С`, а отрезок АВ переместился в положение AN; L - точка пересечения отрезков В`С` и AN. Гиппий рассмотрел кривую, состоящую из всех точек L. Чтобы получить треть угла NAD, опустим из точки L перпендикуляр LH на прямую AD и разделим отрезок LH точкой Р в отношении 1:2. Пусть Q - такая точка квадратрисы, что PQ BC. Из определения квадратрисы следует, что LAQ: QAK=LP:PH=1:2 , т. е. AQ - искомый луч и LAQ=LAK/3.

Заключение

Итак, выполнив эту работу, мы узнали много нового и интересного о знаменитой классической задаче древности, о людях, посвятивших себя решению данной задачи, познакомились с историей возникновения данной задачи, методами ее решения. 

Изучив весь этот материал, мы поняли, что все старания решить эту знаменитую задачу при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Но, несмотря на это, интерес к этим классическим задачам не пропадает и сегодня. Многие современные математики пытаются решить и эту знаменитую задачу. 

Нам было интересно узнать, что при попытках решить эту задачу было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи.

Литература.

Чистяков В. Д.Три знаменитые задачи древности. Москва: Гос. Уч.-пед. Изд-

во Министерства просвещения РСФСР, 1963.

Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических

задач древности? // Математическое образование. - 2008. № 4..

Архимедова спираль [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Архимедова_спираль.

Улитка Паскаля [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Улитка_Паскаля.