Буклет "Движения"

Движение – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками.

Центральная симметрия

Центральная симметрия – это отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М относительно данного центра О.

Построим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC относительно центра (точки) O:

1. Для этого соединим точки A,B,C с центром O и продолжим эти отрезки.

2. Измерим отрезки AO , BO , CO и отложим с другой стороны от точки O равные им отрезки AO=OA₁; BO=OB₁; CO=OC₁.

3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A₁B₁C₁ , симметричный данному треугольнику ABC .

Пример.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти угол между прямыми AD₁ и BC₁.

П еренесем прямую B₁C параллельно на вектор

Тогда прямая перейдет в прямую, параллельную ей, – прямую A₁D. Ну а угол между AD₁ и A₁D – прямой, так как это диагонали квадрата.

О твет:

Тема:

«Движения»

Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.

А.Д. Александров

Выполнила:

Лапко Ирина Валентиновна, учитель математики

ГБОУ«Школа № 80 г. о. Донецк»

2025

Осевая симметрия

Осевая симметрия – это отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М₁ относительно оси a.

Построим треугольник A₁B₁C₁ , симметричный треугольнику ABC относительно красной прямой:

1. Для этого проведём из вершин треугольника ABC прямые, перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.

2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.

3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A₁B₁C₁, симметричный данному треугольнику ABC .

Зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости ) – это отображение прстранства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно плоскости точку М.

Докажем, что зеркальная симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат так, чтобы плоскость совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами точек и, и симметричных относительно плоскости .

Н айдем длину отрезков и по формуле расстояния между точками:

Параллельный перенос

Возьмем какой-нибудь вектор.

Параллельным переносом на этот вектор называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М₁, что ММ₁=

Д окажем, что параллельный перенос является движением. При параллельном переносе на вектор любые две точки A и B переходят в точки A₁ и B₁ . Требуется доказать, что A₁B₁=AB.

Рассмотрим вектор .По правилу треугольника или .

Так как, значит, .

Значит, параллельный перенос является движением.