Урок «Движения в пространстве» (11 класс)

Вид урока: Комбинированный урок.

Тема предыдущего урока: Скалярное произведение векторов.

Цели

Предметные:

Сформировать определение пространства на себя;

Сформировать определение движения пространства;

Сформировать определения центральной симметрии, осевой симметрии, зеркальной симметрии и параллельного переноса для пространства;

Формировать и совершенствовать умение определять различные виды симметрии на реальных объектах.

Формировать умение решения задач на движения пространства.

Метапредметные:

Регулятивные: Умение организовывать учебное сотрудничество и совмест­ную деятельность с учителем и сверстниками: опреде­лять цели, формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение.

Познавательные: Формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе.

Коммуникативные: Формировать и совершенствовать умения оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; работать индивидуально, аргументировать своё мнение, развивать навыки грамотной аргументированной речи.

Личностные: Формирование культуры эстетического восприятия окружающего мира, способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.

Структура урока:

Организационный момент – 1 минута.

Беседа с целью формулировки темы урока – 5 минут.

Эвристическая беседа с целью формулировки определения движения пространства -

Лекция с элементами беседы с целью формулировки определений осевой, центральной, зеркальной симметрии и параллельного переноса – 7 минут.

Работа с карточками с целью формирования умения определять вид симметрии на примерах реальных объектов – 20 минут.

Фронтальное решение задачи с целью формулирования умения применять движение пространства к решению задач – 9 минут.

Беседа с целью подведения итогов урока, постановки д/з. – 3 минуты.

Организационный момент.

Учитель: Здравствуйте ребята! Сегодняшний наш урок будет связан с движениями. Мы с вами вспомним уже известные вам виды движения и их свойства, а также рассмотрим их с качественно новой для вас точки зрения.

Актуализация знаний.

Учитель: А теперь давайте с вами обсудим, как по вашему мнению, когда вы смотрите в зеркало, в каком отношении вы находитесь со своим отражении? Когда мы смотрим на другого человека, мы воспринимаем его внешность по частям, или в целом?

Ученики: (отвечают на вопросы учителя).

Учитель: Очень хорошо, а теперь давайте с вами вспомним, с какими движениями из курса планиметрии вы уже знакомы?

Ученики: (Называют известные движения на плоскости: центральная симметрия, осевая симметрия, зеркальная симметрия, параллельный перенос).

Учитель: В курсе планиметрии вы уже познакомились с движением плоскости, но сейчас, ваш курс связан с изучением курса стереометрии, то есть с изучением свойств пространственных объектов. Учитывая это, как бы вы сформулировали, какие именно движения мы будем сегодня изучать?

Ученики: Движение пространства.

Учитель: Все правильно, так как бы вы сформулировали тему сегодняшнего урока?

Ученики: «Движение в пространстве»

Учитель: Молодцы, запишем в тетрадь число, классная работа и тему урока: «Движение в пространстве».

Получение новых знаний, нового способа действия.

Учитель: Введем теперь понятие движения пространства. Но перед этим, по аналогии с движение плоскости, попробуем с вами сформулировать, что значит отображение пространства на себя. Как вы думаете, что можно понимать под словами отображение пространства на себя?

Ученики: Какой-либо точке, например А, ставится в соответствие другие точки, и при этом каждая из них находится в соответствии с точкой А.

Учитель: При отображении пространства на себя, некоторая точка М переходит (отображается) в точку М1.

Ученики: (Записывают определение в тетрадь).

Учитель: Как бы вы тогда сформулировали определение движения пространства?

Ученики: (Пытаются сформулировать определение движения пространства).

Учитель: Движение пространства – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками.

Ученики: (Записывают определение в тетрадь).

Учитель: Теперь, давайте с вами рассмотрим различные виды движений пространства. Еще раз назовите мне, какие?

Ученики:

Центральная симметрия

Осевая симметрия

Зеркальная симметрия

Параллельный перенос

Учитель: Начнем с центральной симметрии. По аналогии с определением при движении на плоскости, Центральная симметрия – отображение пространства на себя, при котором любая точка М, переходит в симметричную ей точку М` относительно некоторого центра О.

Ученики: (Записывают определение центральной симметрии в тетрадь).

Учитель: А теперь, давайте с вами потренируемся определять центральную симметрию на реальных объектах. Для начала, взглянем на классное помещение, есть ли в классе примеры центральной симметрии?

Ученики: (обсуждают, есть ли в классе предметы с центральной симметрией)

Учитель: А теперь рассмотрим примеры из других изучаемых вами дисциплин, внимание на картинки.

(на картинке для учащихся отрезков не будет)

Посмотрите на эти картинки и назовите мне, что будет центром и какие две или более точек будет симметричны относительного него?

Ученики: (Называют точки, симметричные относительно выбранного центра)

Учитель: Следующий вид симметрии – осевая симметрия, как бы сформулировали определение осевой симметрии в пространстве?

Ученики: (Формулируют определение осевой симметрии в пространстве)

Учитель: Осевой симметрией с некоторой осью α, называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М` относительно оси α.

Ученики: (Записывают определение осевой симметрии в тетрадь).

Учитель: И снова смотрим вокруг себя, есть ли в классе примеры осевой симметрии?

Ученики: (Называют примеры предметы и ось, относительно которой объекты симметричны).

Учитель: А теперь, смотрим на картинки и определяем на них осевую симметрию:

Посмотрите на эти картинки и скажите мне, какие точки будут симметричны относительно некоторой оси.

Ученики: (Называют точки, симметричные относительно названной оси).

Учитель: Теперь, рассмотрим с вами зеркальную симметрию. Если осевая симметрия, это отображение относительно некоторой оси, то относительно чего будет наблюдаться зеркальная симметрия?

Ученики: Симметрия относительно плоскости.

Учитель: Верно, Зеркальной симметрией, называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно плоскости α точку М`.

Ученики: (Записывают определение в тетрадь)

Учитель: Как и в предыдущих случаях, для начала, взглянем вокруг и посмотрим, есть ли в классе примеры зеркальной симметрии?

Ученики: (Называют примеры зеркальной симметрии в классе).

Учитель: И смотрим на следующие картинки:

Посмотрите на эти картинки и назовите мне плоскость, относительно которой будет симметрично изображение.

Ученики: (Называют плоскости симметрии на картинках).

Учитель: И последний на сегодня вид симметрии, который мы разберем это параллельный перенос. Давайте с вами вспомним, как вы определяли параллельный перенос на плоскости?

Ученики: Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на саму себя, котором Любая точка М переходит в такую точку М`, так что =.

Учитель: Определение параллельного переноса в пространстве будет абсолютно аналогичным, с единственным допущением, каким?

Ученики: Отображение пространство на себя.

Учитель: Все верно, Параллельным переносом на вектор называется отображение пространство на себя, котором Любая точка М переходит в такую точку М`, так что =.

Ученики: (Записывают определение в тетрадь).

Учитель: Разберем примеры параллельного переноса в реальной жизни:

Назовите мне примеры равных векторов на данных рисунках, а также назовите мне что будет параллельным переносом.

Ученики: (Приводят примеры параллельного переноса на картинках).

Применение новых знаний, нового способа действия.

Учитель: Теперь, когда мы с вами вывели определения движения в пространстве, и научились с вами определять различные виды симметрии на реальных объектах, в чем еще мы можем потренироваться?

Ученики: Применению движения в пространстве к решению задач.

Учитель: Все верно, для этого, мы с вами решим № 478 из учебника. Проанализируем, что дано?

Ученики: Точки А (0,1,2), В (3,-1,4) и С (1,0,-2).

Учитель: Что требуется найти?

Ученики: Найти координаты точек при:

Центральной симметрии относительно начала координат;

Осевой симметрии относительно координатных осей;

Зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.

Учитель: Какой первый шаг нам нужно сделать, чтобы приступить к решению задачи?

Ученики: Построить систему координат и отметить в ней данные точки.

Учитель: Верно, строим систему координат.

И отметим данные в условии точки.

Ученики: (Строят у себя в тетрадях систему координат и отмечают заданные точки).

Учитель: Анализируем, какие точки будут симметричны для точек А, В и С, относительно начала системы координат?

Ученики: Точки А1(0,-1,2), В1 (-3,1,-4) и С1 (-1,0,2).

Учитель: Хорошая работа, теперь разберем задание под буквой Б. Относительно каких осей необходимо найти координаты точек?

Ученики: ОХ, ОУ, ОZ.

Учитель: При осевой симметрии относительно оси ОХ, какая координата не будет меняться?

Ученики: Координата х.

Учитель: А как изменятся координаты у и z?

Ученики: Поменяются на противоположные по знаку.

Учитель: Какие значения точек тогда получатся?

Ученики: А1(0,-1,-2), В1 (3,1,-4) и С1 (1,0,2).

Учитель: Молодцы, а теперь по аналогии, попробуйте сами у себя в тетрадях построить симметричные точки относительно осей ОУ и ОZ.

Ученики: (Самостоятельно находят значения точек у себя в тетради).

Учитель: А теперь давайте посмотрим, у кого, какие значения точек получились.

Ученики: (Называют получившиеся значения).

Учитель: Теперь, разберем последнее задание под буквой В. Если плоскость симметрии Оху, то какие координаты остаются неизменными?

Ученики: Координаты х и у.

Учитель: А какая координата меняет свое значение?

Ученики: координата z.

Учитель: Какие значения будут иметь точки, с учетом вышесказанного?

Ученики: А1(0,1,-2), В1 (3,-1,-4) и С1 (1,0,2).

Учитель: Молодцы, а теперь по аналогии, попробуйте сами у себя в тетрадях построить симметричные точки относительно плоскостей ОУZ и ОXZ.

Ученики: (Самостоятельно находят значения точек у себя в тетради).

Учитель: А теперь давайте посмотрим, у кого, какие значения точек получились.

Ученики: (Называют получившиеся значения).

Учитель: А теперь давайте проанализируем решение данной задачи, что достаточно было знать для того, чтобы решить эту задачу?

Ученики: Знать, определение осевой, центральной и зеркальной симметрии.

Учитель: Чему мы научились в ходе решения этой задачи?

Ученики: Осуществлять поиск точек, симметричных относительно заданных параметров.

Контроль и оценка

Учитель: Теперь, мы с вами подведем итог сегодняшнего урока, скажите мне пожалуйста, с каким новым для вас видом движения вы сегодня познакомились?

Ученики: Движение в пространстве.

Учитель: Какие виды движения в пространстве мы выделили?

Ученики: Центральная, осевая и зеркальная симметрия, параллельный перенос.

Учитель: Чему вы научились сегодня на уроке?

Ученики: Находить различные виды движений в пространстве на примерах реальных объектов. Находить точки симметричные относительно заданных параметров.

Постановка Д/з

Учитель: Дома, я попрошу вас прочитать параграфы 54-58, особенное внимание обратите на параграф 58. И задание 478, но для других точек:

А (1,-3,-1), В (0,1,0) и С (2,3,-2).