Фрактал

Содержание

Введение………………………………………………………………………….3

I Теоретический обзор

Из истории возникновения термина «фрактал»…………………………6

II Практическая часть

2.1.Фрактальность в литературе………………………………………………….9

2.2..Цвет и звук ………………………………………………………………….11

2.3 .Анализ фрактального текста……………………………………..……….…5

Заключение……………………………………………………………………....17

Литература……………………………………………………………………….18

Приложения……………………………………………………………...………19

Введение

Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.

Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?

В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее, даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.

Сегодня вряд ли можно найти человека, занимающегося или интересующегося наукой, который не слышал бы о фракталах. Глядя на них трудно поверить, что это не творения природы и за ними скрываются математические формулы. Фракталы поразительно напоминают объекты живой и неживой природы вокруг нас. Словом они "как настоящие". Скорее всего, именно поэтому, однажды увидев, человек уже не может их забыть.

Любопытную мысль приводит в своей книге "Фрактальная геометрия природы" американский математик Бенуа Мандельброт: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в том, что она неспособна достаточно точно описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные – задачи исследования морфологии аморфного. Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать".

Все, что существует в реальном мире, является фракталом – это и есть наша гипотеза, ацель данной работы показать, что математика не бездушный предмет, она может выражать духовный мир человека в отдельности и в обществе в целом.

Объектом исследования выступают фракталы в математике и в реальном мире. В процессе работы нами были выделены следующие задачи исследования:

Проанализировать и проработать литературу по теме исследования.

Рассмотреть и изучить различные виды фракталов.

Дать представление о фракталах, встречающихся в нашей жизни.

Актуальность заявленной темы определяется, в первую очередь, предметом исследования, в качестве которого выступает фрактальная геометрия.

Структура исследовательской работы определялась логикой исследования и поставленными задачами. Она включает в себя введение, две главы, заключение, список использованной литературы, приложения.

I Теоретический обзор

Из истории возникновения термина «фрактал»

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. В таблице 1 отображена история возникновения фракталов.

Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений.

Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia)

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Одним  из основных  свойств фракталов  является самоподобие.  Размерность объекта показывает  по какому закону растет его внутренняя  область. Аналогичным образом возрастает «объем»  фрактала с ростом его размеров, но его размерность  — величина не целая, а дробная. Поэтому граница фрактальной  фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что  она размыта и вся состоит из спиралей и завитков, повторяющих в  малом масштабе саму фигуру.

Фракталы  нашли широкое  применение в различных  областях науки и техники.  В компьютерной графике фракталы  применяются для построения изображений  природных объектов, таких, как поверхности  морей, деревья, кусты, горные ландшафты и т.  д. [1] С использованием фракталов могут строиться  вполне реалистичные изображения: например, фракталы часто  используются при создании облаков, береговых линий, снега,  кустов, деревьев и др.).

Поэтому  применять  фрактальные  изображения можно  в самых разных сферах:  создание обычных текстур и  фоновых изображений, фантастических  ландшафтов для компьютерных игр и книжных  иллюстраций.

Создаются  подобные фрактальные  изображения путем математических  расчетов, но базовым элементом фрактальной  графики (в отличие от векторной графики) является  математическая формула. Это означает, что в памяти компьютера  никаких объектов не сохраняется и изображение строится только на  основе уравнений.

В  физике  фракталы  возникают при  моделировании нелинейных  процессов, таких, как пламя,  турбулентное течение жидкости, облака,  сложные процессы диффузии-адсорбции и т.  п. При моделировании пористых материалов (в  нефтехимии) также используются фракталы. Для описания  систем внутренних органов и моделирования популяций они  применяются в биологии.

В  последнее  время растет  популярность фракталов  у трейдеров и используется  для анализа состояния биржевых  рынков. Фракталы рынка являются одним  из индикаторов в торговой системе Била  Вильямса. Считается, что он же впервые и  ввел это название в трейдинг.

Фракталы — это нечто гораздо большее, чем математический курьёз. Они дают чрезвычайно компактный способ описания объектов и процессов. Многие структуры обладают фундаментальным свойством геометрической регулярности, известной как инвариантность по отношению к масштабу, или «самоподобие». Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную, или фрактальную, размерность структуры. Фрактальная геометрия описывает природные формы, по-видимому, изящнее и точнее, чем евклидова геометрия.

Язык — это очень подходящая метафора для концепции, лежащей в основе фрактальной геометрии. Как известно, индо-европейские языки базируются на алфавите с конечным числом букв (например английском, включающем 26 букв). Буквы не несут в себе никакого смыслового значения до тех пор, пока они не соединены в слова. Точно так же евклидова геометрия состоит лишь из нескольких элементов (прямая, окружность и т.д.), из которых строятся сложные объекты, геометрически выражающие некий смысл.

II Практическая часть

2.1.Фрактальность в литературе

Представление о фракталах, и мечта о литературных фрактальных произведениях характерны для человеческой мысли с незапамятных времен: вспомним хотя бы мечту о Книге книг – книге, состоящей из книг, или книге, включающей в себя иные книги – если это и не фрактал, то первая к нему итерация.

Тот факт, что писатели прошлого никогда не слышали и не могли слышать о фракталах, ровно ничего не означает: «когда писатель (и вообще художник) говорит, что, работал, не думал о правилах, это означает только, что он не знал, что знает правила»2.

В данном случае это означает только то, что писатели не были знакомы с самим этим термином. А сходные структуры знали уже древние греки, использовавшие для обозначения подобных фигур термин «гномоны». Гномоном называли рамку плотника, которой меряли прямые углы. Такая рамка, если ее приложить к квадрату, образует квадрат большего размера. То же название, гномон, получила у Герона Александрийского и геометрическая форма, дополняющая квадрат до квадрата большей площади.

Самым простым бесконечным текстом будет текст из бесконечного количества одинаковых элементов. Схематически такой текст можно изобразить в виде неразветвляющегося дерева. Единица текста – фраза, строфа или рассказ, начинается, развивается и заканчивается, возвращаясь в начальную точку, точку перехода к следующей единице текста, повторяющей исходную.

Среди таких бесконечных произведений – стихи для детей или народные песенки, как, например, стишок о попе и его собаке из русской народной поэзии, или стихотворение М.Яснова «Чучело-мяучело», повествующее о котенке, который поет о котенке, который поет о котенке Или, самое короткое: «У попа был двор, на дворе был кол, на колу мочало – не начать ли сказочку сначала?... У попа был двор...»

Фрактальный рисунок для такого рода стихотворений возникает из самой записи текста. Структуру их можно изобразить или в виде замкнутой кривой (первый случай) или двух замыкающих друг друга кривых (второй случай).

В отличии от бесконечных куплетов, фрагменты фракталов Мандельброта все же не тождественны, а подобны друг другу, и это качество и придает им завораживающее очарование.

Поэтому в изучении (и создании) литературных фракталов встает задача поиска подобности, сходства, а не тождественности, элементов текста.

В случае бесконечных куплетов замена тождества на подобие была осуществлена различными способами. Можно привести, по крайней мере, три возможности: 1) создание стихов с вариациями, 2) «бесконечные» стихи с конечной последовательностью куплетов, 3) текты с наращениями.

2.2..Цвет и звук

Откуда возникает ощущение, что звук «а» — «красный»? Свойственно ли оно всем? Или большинству? Или оно полностью индивидуально, и для другого человека «а» окрашен совсем в другой цвет?

Можно ли использовать такие связи для объяснения того впечатления, которое мы испытываем от прочитанного произведения?

В начале это были просто интуиции одаренных, затем они сменились попытками объяснения и экспериментального установления фактов. Единого понимания сути этого явления нет до сих пор, однако некоторые факты в науке накоплены.

Поискам точной связи цвета и звука, точному переводу живописи в музыку человечество посвятило более 300 лет своей истории (Ньютон, Кандинский, Скрябин, Шенберг и др. )

Это ощущение и восприятие раздвигает горизонты человеческого взгляда на природу, связывая воедино разные области и разные стороны человеческого чувства: звуковую, световую, обонятельную, тактильную. Становится возможным слышать звучание пламени костра или видеть в цвете, например, лай собаки; становится возможным по-иному общаться с животными: дельфинами, летучими мышами и даже бактериями.

Крупнейшие ученые Западной Европы, в том числе президент Датской Академии наук, специально приезжали в Лондон, чтобы увидеть и услышать светомузыку.

Звук и цвет, связанные воедино в их эмоциональном воздействии на человека, вот основа нового жанра искусства-светомузыки, начало которой положили первые концерты в Москве и Лондоне. Однако, обратившись к истории, мы увидим, что попытки объединить музыку и цвет делались еще в Древней Греции, за 2500 лет до нашего времени.

А существует ли эта связь? Еще Аристотель (384-322 до н. э. ) в философском трактате «О душе» писал: «Цвета при приятности их гармонии могут относиться между собой подобно музыкальным созвучиям и быть взаимно пропорциональными» .

Проходили века, а ученые продолжали искать подтверждение мысли этого великого философа.

В один из солнечных весенних дней 1666 года Исаак Ньютон (1643-1727) вместе со своим ассистентом выполнил несложный опыт. Закрыв окно темной бархатной шторой, ученый направил тонкий солнечный луч на стеклянную призму. Луч, выходя из призмы, превратился в радужную полоску-спектр. Основных цветов в спектре оказалось семь: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый. Направив спектр на лист белой бумаги, Ньютон попросил своего ассистента, очень хорошо различавшего оттенки цвета, отметить границы, разделяющие отдельные цвета. На бумаге получилось семь полосок различной ширины. Самую широкую полосу занимал фиолетовый цвет. Затем полосы сужались, там, где был красный цвет, снова шла широкая полоса. «Если ширину фиолетовой полосы принять за единицу, — рассуждал Ньютон, -то получится следующее соотношение полосок по ширине: фиолетовый цвет-1, синий-8/9, зеленый-2/3, желтый-3/5, оранжевый-9/16,

красный-1/2».

Изучая это явление, ученый установил, что цвет определяется длиной световой волны, или частотой колебаний. Далее он предположил, что цвет имеет ту же природу, что и звук. Так как октава состоит из восьми звуков (начало и конец ее завершает одна и та же нота) , то Ньютону понадобилось в соответствии со своей гипотезой искусственно ввести еще один цвет. Он ввел новый цвет «индиго» , название которого дошло и до наших дней.

Один из известных авторов в этой области, лингвист А. П. Журавлев приводит следующие данные по гласным звукам русского языка (обобщенно по результатам нескольких экспериментальных процедур) (Журавлев, 1974):

Надежность полученных результатов подтверждается тем, что различные процедуры дают сходные ответы.

В работах А.П.Журавлева применялись три методики:

1. В первом случае испытуемым предъявлялись гласные, и они свободно называли наименование цвета предъявленного звука.

2. Во втором варианте оба списка — и звуков, и цветонаименований были фиксированными, предлагалось каждому из звуков приписать одно и только одно из предъявленных названий цветов.

3. И в третьей процедуре респонденты работали с фиксированным набором цветов, теперь уже представленных в виде окрашенных в соответствующий цвет карточек.

В результате получились следующие соотношения:

А – ярко-красный,

И – синий, голубой,

О – светло-желтый,

У – сине-зеленый,

Ы – черный, темный,

Э – желто-зеленый.

Все те исследоретическиеования были проведены только с гласными звуками. Нам показалось это недостаточным. Нам было интересно поработать со всеми звуками алфавита.

По сравнению с экспериментом А.П.Журавлева, наши результаты содержат информацию не только по гласным звукам, но и по согласным.

В ходе опроса 30 испытуемым были розданы анкеты, где были написаны буквы в алфавитном порядке. Предлагалось произнести звук и написать или изобразить цвет, в который, по их мнению, звук окрашен.

Таким образом, нами были получены результаты, представленные в Таблице.

Звуки, которым отдавали больше 60% голосов за какой-либо один цвет, обозначались этим цветом. Были звуки, которым присваивалось цветовое значение, близкое по значению («О» - белый или светло-жёлтый, «Ь» - Светло-жёлтый, белый, розовый).  Также, встретились звуки, цветовое значение которых оказалось противоположным по значению («Э» - оранжево-красный или светло- голубой, светло-фиолетовый, «Ю» - розово-красный или сиреневый, голубоватый). 

Вероятно, не все звуки, обладают одинаковой выраженностью цветовых ассоциаций. По-видимому, в процессе складывания цветовых ассоциаций звука действовали многие различные механизмы.

2.3 .Анализ фрактального текста

Поскольку мы занимаемся поиском фракталов в литературе, являющейся одним из видов искусств, мы будем рассматривать фрактал именно как произведение искусства, причем характеризующееся двумя основными характеристиками: 1) часть его неким образом подобна целому (в идеале, эта последовательность подобий распространяется на бесконечность, хотя никто никогда не видел действительно бесконечной последовательности итераций, строящих снежинку Кох); 2) его восприятие происходит по последовательности вложенных уровней. Заметим, что очарование фрактала как раз и возникает на пути следования по этой завораживающей и говокружительной системе уровней, возвращение с которой не гарантировано.

Пытаясь определить литературные фракталы, мы встречаемся с некоторыми принципиальными трудностями: во-первых, литературный текст, по сравнению с произведением визуального искусства, обладает одной существенной особенностью – он линеен, существует направление его прочтения от начала до конца. Впрочем, с этой особенностью текста успешно справляются как создатели палиндромов, закручивающих текст в двустороннее обращаемое кольцо, так и создатели интерактивной литературы, предлагающие читателю произвольно или по некоторому закону изменять порядок прочтения фрагментов текста.

Метод визуализации фрактальности текста, имеющего рекурсивную структуру.

В основе используемого метода была применена теория А.П. Журавлева. Рассматривая синестезическую связь звука и цвета опытным путем он выяснил, что гласные имеют в сознании людей цветовые соответствия.

Многие эксперименты, проводимые А.П.Журавлёвым, с тысячами информантов показали, что в подавляющем большинстве испытуемые окрашивают, по крайней мере гласные, вполне определённо. Особенно единодушны мнения относительно трёх гласных - А, Е, И. Звук и букву (звукобукву) А  вполне согласованно называют  красной ,   Е - чётко зелёная, а  И - определённо синяя. Звукобукву  О  все считают светлой и яркой, но хотя большинство испытуемых называют её жёлтой, всё же довольно часто встречаются ответы: "белая". Получается, что она солнечная.

Заключение

Список литературы.

Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002;

Маршак С.Я. , Изд.: Художественная литература.1985;

Шляхтина С.,«В мире фрактальной графики». - СПб., Компьютер Price, 2005;

Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993;

Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории;

 Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, «Фракталы в физике». М.: Мир 1988 г.;

 Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 1999 г.;

Журавлев А.П. «Звук и смысл». Москва, «Просвещение»,1991. 

http://elementy.ru;

http://ru.wikipedia.org;

http://www.deviantart.com;

http://fractals.nsu.ru;

http://fraktals.ucoz.ru;

http://www.ghcube.com/fractals;

http://www.fractalus.com/galleries/

Приложение

Таблица 1

Возникновение фракталов

Таблица 2

Опрос

Таблица 3

Классификация фракталов

Рис. 1 Фрактальное представление “Про попа”

рис. 2  Фрактальное представление “Журавль”

Рис. 3 Фрактальное представление “Море”

Рис. 4 Фрактальное представление “Сашка”