Иррациональные уравнения и неравенства

Интегрированный урок математики с информатикой по теме «Иррациональные уравнения и неравенства»

(11физико-математический класс, обобщающий урок, учебник А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11»)

Цели урока:

познакомить учащихся с историей жизни и математической деятельности известных учёных-математиков Ф.Виета, Э.Галуа, К.Ф.Гаусса

повторить теоремы для решения иррациональных неравенств

познакомить учащихся с нестандартными приёмами решения иррациональных уравнений и неравенств

провести самостоятельную работу с оформлением решения, используя редактор формул

Оборудование: компьютер, проектор, индивидуальные задания для самостоятельной работы

План урока.

Вступительное слово учителя.

Исторические справки о жизни и деятельности учёных-математиков

Сообщение с презентацией по теме «Иррациональные неравенства» (Презентация 1)

Сообщение с презентацией по теме «Нестандартные методы решения иррациональных уравнений и неравенств» (Презентация 2)

Самостоятельная работа с выводом решения на печать

Итоги урока

Ход урока

Вступительное слово учителя: «Народная мудрость гласит, что, не зная прошлого, невозможно понять подлинный смысл настоящего и цель будущего. Это, конечно, относится и к математике» Поэтому мы сейчас познакомимся с некоторыми биографическими сведениями из жизни и математической деятельности учёных Франсуа Виета, Эвариста Галуа, Карла Фридриха Гаусса.

Учащиеся рассказывают, показывая презентации.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений и неравенств

Скалярное произведение двух векторов

Введём два вектора так, чтобы левая часть уравнения представляла собой их скалярное произведение, а правая - произведение их длин (модулей):

При этом

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин в том и только том случае, если векторы сонаправлены. Два ненулевых вектора сонаправлены в том и только том случае, если отношения их соответственных координат равны одному и тому же положительному числу. Таким образом, исходное уравнение равносильно следующему:

откуда х=1, х=1+ Ответ: х=1, х=1+

(Монотонность)

Рассмотрим f(х)=2+ . Эта функция монотонно возрастает на D(f)=

При этом исходное уравнение имеет вид: f(f(f(x)))=x. В силу возрастания функции оно равносильно уравнению f(x)=x, т.е. уравнению 2+

Ответ: х=4

3) (Тригонометрическая подстановка)

Допустимые значения х должны удовлетворять неравенству:

В силу ограничения на переменную х можно воспользоваться тригонометрической подстановкой: х = cos a, где . В силу последнего неравенства sin a и

Поэтому:

Таким образом уравнение примет вид:

Решив уравнение, получим в силу неравенства , что х=

Cos2a+sin2a=

sin2a sin sin2a sin

sin(2a+

Условие 0 выполняется только при к=0. При этом а= и соответственно х=соs

Ответ: х=соs

4) Неравенство Коши

ОДЗ: х

Х+11-

(Х+2)+9- Х+2+

, если а

а+в

Х+2+ Х+2+

Равенство достигается, если а = в

Х+2=

Х2+4х+4=9х

Х2-5х+4=0

Х=4,х=1

Ответ: Х=4,х=1

5) Неравенство треугольника

Введём два вектора так, чтобы левая часть неравенства представляла собой сумму их длин (модулей):

Тогда ( . Следовательно,

Таким образом, данное неравенство имеет вид:

Поскольку для любых двух векторов справедливо неравенство: , то получим

Это возможно в том и только том случае, если векторы сонаправлены. Два ненулевых вектора сонаправлены, если отношения их соответственных координат равны одному и тому же положительному числу. В данном случае условие сонаправленности имеет вид , откуда х = Ответ: х =

Далее учащиеся выполняют самостоятельную работу парами по индивидуальным вариантам:

Учащиеся решают два задания из 4-х: одно неравенство и одно уравнение, выбирая сами, оценивая уровень сложности. Учащиеся набирают своё решение на компьютере и выводят на печать, работы оцениваются.

Домашнее задание: учащимся даются другие варианты выполняемой работы.

На следующем уроке анализируются результаты, разбираются ошибки, после этого проводится урок контрольной работы.