Подборка задач на тему «Формула n-го члена арифметической прогрессии»

Подборка задач на тему

«Формула n-го члена арифметической прогрессии»

(14 задание, математика ОГЭ)

 

1.  В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

2.  В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображен случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 16 квадратных столиков вдоль одной линии?

3.  При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6 °C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7 °C.

4.  В амфитеатре 14 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

5.  В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?

6.    При проведении химической реакции в растворе образуется нерастворимый осадок. Наблюдения показали, что каждую минуту образуется 0,2 г осадка. Найдите массу осадка (в граммах) в растворе спустя семь минут после начала реакции.

7.  Клиент взял в банке кредит 100 рублей на n месяцев с условием, что по окончании первого месяца выплатит банку часть кредита, а в каждый последующий месяц выплата будет на 5 рублей больше, чем в предыдущий. Известно, что в последний месяц выплата составила 55 руб. На какой срок был выдан кредит, если известно, что этот срок превышал полгода?

 

 

 

 

 

 

Ключ и решения.

1.  В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

Решение. Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом и разностью Член арифметической прогрессии с номером k может быть найден по формуле

Необходимо найти имеем:

Ответ: 46.

2.  В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображен случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 16 квадратных столиков вдоль одной линии?

Решение. Постепенное соединение столиков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом и По формуле n-го члена найдем 16 член прогрессии, разность которой 2:

Ответ: 34.

 Приведем другое решение.

Если сдвинуть столики вдоль одной линии, то за каждый столик, стоящий на конце линии (таких столиков всего два), смогут сесть по три человека, а за каждый из остальных столиков  — по два человека. Следовательно, всего за столики смогут сесть

человека.

3.  При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6 °C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7 °C.

Решение. Через минуту температура вещества станет через две минуты  — ..., через 4 минуты температура вещества станет C.

 Ответ:-31.

 Примечание.

Заметим, что значения температуры вещества представляют собой арифметическую прогрессию с разностью −6. При этом температура вещества в начальный момент времени будет первым членом прогрессии, температура вещества через одну минуту  — вторым членом, а температура вещества через 4 минуты  — пятым членом прогрессии, следовательно, она может быть найдена по формуле

4.  В амфитеатре 14 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение. Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с пятым членом и восьмым разность равна По формуле n-го члена найдем 14 член прогрессии:

Ответ: 54.

5.  В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?

Решение. Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом и разностью Член арифметической прогрессии с номером k может быть найден по формуле

Необходимо найти имеем:

Ответ: 38.

6.   При проведении химической реакции в растворе образуется нерастворимый осадок. Наблюдения показали, что каждую минуту образуется 0,2 г осадка. Найдите массу осадка (в граммах) в растворе спустя семь минут после начала реакции.

Решение. Масса осадка в растворе спустя семь минут после начала реакции:

г.

Ответ: 1,4.

7.  Клиент взял в банке кредит 100 рублей на n месяцев с условием, что по окончании первого месяца выплатит банку часть кредита, а в каждый последующий месяц выплата будет на 5 рублей больше, чем в предыдущий. Известно, что в последний месяц выплата составила 55 руб. На какой срок был выдан кредит, если известно, что этот срок превышал полгода?

Решение. Ежемесячные выплаты составляют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью 5. Тогда за последний месяц клиент выплатил банку руб., что составляет 55 руб. Решим уравнение:

Поскольку срок кредитования превышал полгода, кредит был возвращен банку за 10 месяцев.

 

Ответ: на 10 месяцев.

 Примечание.

Пытливый читатель может заинтересоваться задачей и выяснить, сколько составила переплата по кредиту. Ответим на этот вопрос.

В течение 10 месяцев банку выплачивалась взятой в кредит суммы, что за 10 месяцев составило 100 рублей. Это сумма, взятая в кредит у банка. Переплата по кредиту выплачивалась в течение 9 месяцев, 5 рублей в первый месяц и на 5 рублей больше каждый следующий месяц, причем в последний месяц было выплачено 55 − 10  =  45 рублей. Следовательно, дополнительные выплаты составляют арифметическую прогрессию, и переплата составила рублей.