Натуральные числа и нуль

Фидарова Маргарита Георгиевна Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Северо-Осетинский педагогический колледж (ГБПОУ СОПК) г. Владикавказ, РСО-Алания План-конспект лекционного занятия на тему «Натуральные числа и нуль» Специальность: 44.02.01. Дошкольное образование Дисциплина: ЕН 01. Математика ФИО преподавателя: Фидарова Маргарита Георгиевна Тема занятия: Натуральные числа и нуль.

Форма учебной работы: лекция.

Методы учения: информационно-рецептивный, учебно-познавательный.

Методические приемы:

1. Использование самооценки деятельности студента на занятии;

2.Проблемное изложение.

Материально-техническое обеспечение:

1. Конспект лекции, презентационный материал, проектор, компьютер.

Цели и задачи занятия:

1.Образовательные

1.1 Сформировать основные понятия о натуральных числах и нуле, этапах их развития.

1.2. Проконтролировать степень усвоения полученных знаний на занятии

2. Воспитательные

2.1. Содействовать в ходе занятия формированию основных понятий

2.2. Стимулировать активность учебной деятельности обучающихся

3. Развивающие

3.1. Формировать умения, обобщать полученные сведения

3.2. Развивать у обучающихся познавательный интерес

3.4. Развивать творческие способности обучающихся

Структура лекционного занятия:

1. Организационное начало занятия -5 минут

2. Сообщение темы, целей и формы организации занятия - 5 минут

3. Лекционный материал - 60 минут.

4. Закрепление полученного материала - 5 минут.

5. Саморефлексия студентов - 3 минуты.

6. Домашнее задание - 2 минуты.

План лекции

Этапы развития понятия натурального числа и нуля.

Натуральный ряд и его свойства. Счет.

Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля.

Натуральное число как результат измерения величин.

Способы записи чисел.

Особенности десятичной системы счисления.

Этапы развития понятия натурального числа

Числа 1, 2, 3,… называют натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных математических понятий.

Возникло оно из потребности практической деятельности людей.

Чтобы прийти к понятию числа, человек в своем развитии прошел несколько этапов:

I. Множества сравнивались непосредственно путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами.

(«карандашей столько, сколько детей за столом»). Аналогично дошкольники сравнивают множества способом наложения и приложения.

Неудобство заключается в том, что оба множества должны быть одновременно обозримы.

II. Вводятся множества-посредники (камешки, счетные палочки, пальцы,...). Человек не отвлекается от конкретных предметов, но уже выделяет общие свойства рассматриваемых множеств («иметь поровну элементов»).

III. Происходит отвлечение от природы множеств-посредников, возникает понятие натурального числа. При счете человек уже не говорил: «Один камешек, два камешка,...», а проговаривал числа: «Один, два, три,...». Это был важнейший этап в развитии понятия числа.

Н.Н. Лузин (крупнейший математик современности): «Мы должны склониться перед гением Человека, создавшего (не открывшего, а именно создавшего) понятие единицы. Возникло Число, а вместе с ним возникла Математика. Идея Числа – вот с чего начиналась история величайшей из наук».

IV. Числа стали не только называть, но записывать и выполнять с ними действия. Появились различные системы счислений.

V. Числа стали предметом изучения и возникла наука арифметика. Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте, развивалась учеными Древней Греции, стран Арабского мира, а начиная с XVIII в. – европейскими учеными. Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А. Боэций (ок.48О-524 г.г.).

В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются в разделе математики, который называется теорией чисел.

Процесс формирования представлений о числе у дошкольников в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия. Сначала дети сравнивают множества приемами наложения и приложения, затем соотносят с количеством пальцев на руке, затем используют натуральные числа при счете.

Примечание: Заслушиваются сообщения, предварительно подготовленные студентами на тему: «КАК ЛЮДИ НАУЧИЛИСЬ СЧИТАТЬ».

2. Натуральный ряд и его свойства. Счет

К возникновению понятия числа приводят два вида деятельности: счет и измерение. Счет ведет к натуральному числу, измерение – к действительному числу.

Множество натуральных чисел называют натуральным рядом.

Он обладает свойствами:

имеется начальное число (1);

за каждым числом следует только одно число;

- каждое последующее число на 1 больше предыдущего, а предыдущее на 1 меньше последующего (n ± 1);

- натуральный ряд бесконечен.

При счете используются не все натуральные числа, а только их часть, достаточная для определения количества элементов в множестве.

Например, чтобы определить число элементов в множестве {а, b, с, d, е}, нужен отрезок натурального ряда {1, 2, 3, 4, 5}.

Отрезком натурального ряда Na называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Na ={1, 2, 3, 4, 5}.

Во время счета мы следуем некоторым правилам:

- считаем каждый элемент только один раз, не пропуская ни одного;

- числа называем последовательно, начиная с единицы, не пропуская ни одного и не используя дважды.

Счетом элементов множества А называется установление взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком натурального ряда Na .

Число а называют числом элементов в множестве А, оно единственное для данного множества и является характеристикой количества элементов в множестве А или, короче, количественным натуральным числом.

В процессе счета происходит также упорядочивание элементов множества А (первый элемент, второй, третий,...), т.е. натуральное число можно рассматривать и как характеристику порядка элементов в множестве А или, короче, как порядковое число. В этой роли натуральное число выступает, когда хотят узнать, каким по счету является тот или иной элемент множества.

Натуральное число как результат счета не зависит от того, в каком порядке пересчитывались элементы множества, важно чтобы соблюдались правила счета.

Многие родители допускают ошибку, говоря, что ребенок умеет считать до ста, когда тот может только называть числа от 1 до 100, т.е. запомнил последовательность числительных. При обучении дошкольника счету, необходимо научить его устанавливать взаимно однозначное соответствие между предметами и числами, чтобы избежать ошибок (пропуск предметов, сосчитывание одного предмета несколько раз, непонимание, сколько же всего предметов и др.).

Количественные и порядковые числа тесно связаны, и возможен переход от одного к другому, в зависимости от цели счета.

Сам счет служит для упорядочивания элементов множества или для определения их количества.

3 Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

Все конечные множества можно распределить по классам в зависимости от количества в них элементов, т.е. в каждом классе будут находиться равномощные множества. Они различны по своей природе, но содержат поровну элементов.

С теоретико-множественной позиции количественное натуральное число есть общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Каждому классу соответствует только одно натуральное число, каждому натуральному числу – только один класс равномощных множеств.

Рассмотрим, например множества:

множество букв в слове «число»;

множество сторон в пятиугольнике.

В этих множествах одинаковое число элементов, в чем можно убедиться, установив взаимно однозначные соответствия между ними. Это общее, что характеризует каждое из множеств одного класса, называется натуральным числом. Данные множества характеризуются числом пять. Это число характеризует свойство и других множеств этого класса.

Каждому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, но каждому натуральному числу соответствуют различные равномощные множества из одного класса.

Пример:

«Сколько пальцев на руке?»

«Возьми пять любых предметов».

В первом случае ответ однозначный (пять), во втором возможны различные варианты выполнения задания.

Число «нуль» не является натуральным.

С точки зрения теории множеств число «нуль» рассматривается как число элементов пустого множества.

Знакомя дошкольников с различными числами и их записью с помощью цифр, показывают различные равномощные множества и соотносят им изучаемое число:

На рисунке изображены три фигуры.

На столе лежат три яблока.

Маша, Коля, Вася - это три имени.

Число «три» записывают цифрой 3, что обозначает «три предмета».

Так как натуральное число оказывается связанным с конечным множеством, то и действия над натуральными числами можно рассматривать в связи с действиями над множествами. Так, сложение чисел связывают с объединением непересекающихся множеств, а вычитание - с дополнением подмножества.

Пусть а – число элементов в множестве А, b – число элементов в множестве В, и множества А и В не пересекаются. Тогда суммой натуральных чисел а и b называют число элементов в объединении множеств А и В.

Сумма натуральных чисел всегда существует, единственно, но и зависит от выбора представляющих их множеств.

Рассмотрим пример. Пусть 2 – число элементов в множестве А (А может быть множеством из двух яблок, множеством из двух геометрических фигур и т. д.), 3 – число элементов в множестве В (В – может быть множеством из трех треугольников, множеством из трех груш и т.д.). Множества А и В не должны иметь общих элементов. Тогда 2 + 3 представляет собой число элементов в объединении множеств А и В. Если пересчитать их, то получим, что 2 + 3 = 5.

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сложением, а числа, которые складывают, слагаемыми.

Исходя из данного определения суммы, можно обосновать известные законы сложения чисел:

переместительный, т.е. а + b = b + а для любых натуральных, чисел аиb.

сочетательный, т.е. (а + b) + с = а + (b + с) для любых натуральных чисел а , b и с.

Переместительный и сочетательный законы сложения распространяются на сложение любого числа слагаемых. Переместительный закон разрешает любую перестановку слагаемых, а сочетательный – любую их группировку.

Школьники используют эти законы при поиске удобного способа нахождения суммы. Так, считается более простым прибавлять меньшее слагаемое к большему, удобнее складывать слагаемые, дополняющие друг друга до 10 и т.п.

Задание 1.

Если 0 – число элементов пустого множества, то каков смысл суммы а + 0 ?

Сравнение чисел также можно выполнять, оперируя с множествами. Например, чтобы установить отношение 3 < 4, достаточно показать, используя прием приложения, что под одним треугольником нет квадрата, т.е. в данной ситуации в множестве квадратов выделено подмножество, равномощное множеству треугольников.

Р ис.1

Пусть а – число элементов в множестве А, b – число элементов в множестве В. Если множество А равномощно подмножеству множества В, то а < b (b > а). Если множества А и В равномощны, то а = b.

Можно определить отношение «меньше» для чисел, не обращаясь к множествам. Например, было 5 яблок, добавили 1, стало 6 яблок. Яблок стало больше на 1, значит 6 больше 5, а 5 меньше 6.

Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с , что а + с = b.

Как уже было сказано, вычитание чисел связано с дополнением подмножества.

Пусть а – число элементов в множестве A, b – число элементов в множестве В и В – подмножество множества А. Тогда разностью натуральных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А.

Действие, при помощи которого находят разность а - b, называется вычитанием, число а - уменьшаемым, число b - вычитаемым.

Например, смысл разности 5-3 можно объяснить следующим образом. Возьмем множество А, в котором 5 элементов (квадратов, яблок и др.).Выделим из множества А подмножество В, в котором 3 элемента. Тогда 5-3 будет представлять число элементов в дополнении множества В до множества А. Путем пересчета можно установить, что 5-3 = 2.

Разность натуральных чисел а и b существует и единственна только при условии, что b < a.

Задание 2.

Каков теоретико-множественный смысл разности:

а) а-0; б) а-а ?

Можно определить разность чисел, не обращаясь к множествам.

Разностью натуральных чисел а и b называется такое натуральное число с, что а + b = с.

К этому определению разности обращаются, находя значения числовых выражений. Например, найти разность 7-3 – это значит найти такое число, которое в сумме с числом 3 дает 7.

4. Натуральное число как результат измерения величины

К возникновению натуральных чисел привела не только потребность счета, но и задача измерения величин. Рассмотрим смысл результата измерения на примере одной из величин длины отрезка.

Пусть а - данный отрезок, е - единичный отрезок. Если отрезок а состоит из и отрезков, равных с, то а=п е , где п численное значение длины отрезка а при единице е.

Натуральное число как численное значение длины отрезка а показывает из скольких выбранных единичных отрезков е состоит отрезок а. При выбранной единице длины е, это число единственное.

Пусть: п – численное значение длины отрезка а, m – численное значение длины отрезка b, при одной и той же единице длины е, тогда: а = b <=> n = m, a > b <=> n > m.

Пример:

1) «Длина синей ленты 5 мерок, а длина красной ленты 3 таких же мерки. Какая лента длиннее?»

2) «У Пети длина парты 5 мерок. У Васи парта такой же длины. Сколько мерок должно уложиться при измерении Васиной парты?»

Зная связи между числами дети выясняют отношения между величинами, и наоборот, зная отношения величин, выясняют отношения между их численными значениями.

Сумму натуральных чисел тип можно рассматривать как численное значение длины отрезка а, состоящего из отрезков b и с, длины которых выражаются натуральными числами т и пb c а = (т + п) е

Разность натуральных чисел k - п можно рассматривать как значение длины отрезка с, являющегося разностью отрезков а и Ь, длины которых выражены натуральными числами k u п соответственно.

Пример:

«Длина ткани 5 м, отрезали 3 м. Какова длина оставшегося куска?»

В данной задаче из длины 5 м вычитается длина 3 м. Надо узнать численное значение длины оставшегося куска ткани. Для этого надо найти разность 5 – 3.

5. Способы записи чисел

Человеку необходимо уметь правильно называть и записывать числа, уметь правильно выполнять действия над ними. Для решения этой проблемы люди разных стран изобретали различные системы счисления.

Система счисления – язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.

Самой старой системой счисления считается двоичная. Человек вел счет не при помощи пальцев, а при помощи рук. Следы этой системы сохранились и сегодня в стремлении считать парами. В компьютерной технике также используется двоичная система счисления.

Переход к пальцевому счету привел к созданию пятеричной системы, десятеричной и др.

В Древнем Вавилоне считали группами по 60, система счисления была шестидесятеричная.

Сейчас наиболее широкое применение получила десятичная система счисления, хотя используются и другие:

шестидесятеричная – при измерении времени,

двенадцатеричная – при счете дюжинами,

двоичная – при счете парами и др.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Примером непозиционной системы может быть римская нумерация. В ней 7 знаков:

I – один, V – пять, X – десять, L – пятьдесят, С – сто, D – пятьсот, М – тысяча.

Все другие числа получаются из этих семи при помощи двух арифметических действий: сложения и вычитания. Например, IV – четыре (5 – 1 = 4), VI – шесть (5 + 1 = 6). Записи IV и VI показывают, что римская система счисления непозиционная – где бы не стоял знак V или I – он всегда имеет одно и то же значение.

Примером позиционной системы счисления является используемая повсеместно десятичная система. В ней для записи чисел используется 10 цифр, и значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Например, в записи 253 цифра 2 обозначает сотни, в записи 325 – цифра 2 обозначает десятки, а в записи 532 – цифра 2 обозначает единицы.

Примечание: Заслушиваются сообщения студентов, предварительно подготовленные, на темы:

Возникновение и развитие способов записи чисел.

Системы счисления разных народов.

Запись чисел в древней Руси.

6. Особенности десятичной системы счисления

Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системой записи чисел и понятия нуля. Ее завезли в Европу арабские купцы, поэтому ее долго называли арабской.

В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.

Например: 5457 – краткая запись числа «пять тысяч четыреста пятьдесят семь». Подробная запись этого числа выглядит так: 5000 + 400 + 50 + 7 или, более строго,

5 •103 + 4 • 102 + 5 • 10 + 7.

Десятичной записью числа х называется его представление в виде:

х = ап • 10п + ап-1 • 10п-1 +... + а1 • 10 + а0, где ап, ап-1,..., а1, a0 принимают значения:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и ап0.

Краткая запись числа выглядит так: ап ап-1... а1 a0.

Числа 1,10,102,103,...,10n называются разрядными единицами соответственно первого, второго и т.д. разряда.

10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего высшего разряда.

10 – основание системы счисления, поэтому она называется десятичной.

Три первых разряда образуют класс единиц, следующие три разряда - классом тысяч, затем идет класс миллионов и др.

Для записи любого числа достаточно 10 цифр. Для называния чисел в пределах миллиарда достаточно 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел получаются из основных.

Некоторые вопросы наименования и записи чисел можно рассматривать с дошкольниками при обучении счету. Например:

1. Отсчитаем 10 палочек. Перевяжем их. Это десяток. Десяток можно называть «дцать». Положим на десяток палочек еще одну. Всего одиннадцать палочек – «один на дцать».

2. Возьмем две связки. Это два десятка. Можно сказать «двадцать».

Объяснение происхождения названий чисел второго десятка, счет десятками дает хорошую подготовку дошкольников к усвоению десятичной системы счисления в курсе математики в школе.

Задания для домашней работы

1. Приведите примеры деятельности дошкольников в соответствии с этапами развития числа:

а) непосредственное сравнение множеств;

б) опосредованное сравнение множеств;

в) сравнение множеств на основе счета;

г) запись чисел и действий.

Придумайте правило счета для дошкольников в целях предотвращения ошибок.

Сформулируйте вопросы для дошкольников с целью уточнения их представлений о количественном и порядковом значении числа.

Придумайте диалог с дошкольником, показывающий происхождение названия чисел второго десятка и круглых чисел в пределах 100.

Литература для самостоятельной работы над темой:

Абдуллина, К. Р. Математика : учебник для СПО / К. Р. Абдуллина, Р. Г. Мухаметдинова. — Саратов : Профобразование, 2021. — 288 c. — ISBN 978-5-4488-0941-5. — Текст : электронный // Электронный ресурс цифровой образовательной среды СПО PROFобразование : [сайт]. — URL: https://profspo.ru/books/99917 (дата обращения: 30.09.2022). — Режим доступа: для авторизир. пользователей

Алексеева О.В. Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания : учебно-методическое пособие для СПО / Алексеева О.В.. — Саратов : Профобразование, 2019. — 123 c. — ISBN 978-5-4488-0322-2. — Текст : электронный // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS : [сайт]. — URL: http://www.iprbookshop.ru/86153.html (дата обращения: 16.11.2022). — Режим доступа: для авторизир.

Веременюк, В. В. Практикум по математике: подготовка к тестированию и экзамену / В. В. Веременюк, В. В. Кожушко. — 4-е изд. — Минск : Тетралит, 2020. — 176 c. — ISBN 978-985-7171-47-7. — Текст : электронный // ЭБС PROFобразование : [сайт]. — URL: https://profspo.ru/books/117485 (дата обращения: 09.10.2022). — Режим доступа: для авторизир. пользователей

Контрольные вопросы:

Считается ли нуль натуральным числом?

В каких случаях можно опустить знак умножения?

Какие свойства имеет натуральный ряд чисел?

По каким правилам упрощают числовые выражения

Про какие числовые выражения говорят, что они не имеют смысла?