Презентация "Текстовые задачи ОГЭ"

Решение текстовых задач ОГЭ 20.11.2019 г. Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31» Составили: Павлова Антонина Андреевна, Бузинская Татьяна Анатольевна

Текстовые задачи в математике играют очень важную роль. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Все математические задачи появились из практического соображения. Для решения задачи, надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме.

Как правильно решать текстовые задачи? Чтобы правильно и быстро  решить задачу, необходимо для себя выделить три этапа решения. Три основных этапа успешного решения текстовых задач Первый этап: моделирование ситуации, описанной в условии задачи. Этот этап решения, на котором записывается краткое условие, является самым важным этапом. Нужно перевести все словесные данные на математический язык. При выборе неизвестных, необходимо, чтобы неизвестных было как можно меньше.

Второй этап: составление и решение уравнения. До составления уравнения, приводим (если надо) все величины задачи к единым единицам измерения. Если краткое условие записано грамотно и понятно, то составить уравнение очень легко, нужно только понять, что требуется – сложить некоторые величины (выраженные через x или другие неизвестные), чтобы получить данную в тексте суммарную величину или вычесть из одной величину другую, если в тексте дана разница между ними. Результатом решения уравнения является нахождение неизвестной или нескольких неизвестных. Далее выполняется отбор корней.

Третий этап: составление ответа. Некоторые ученики пишут, не думая, в ответ то число, которое они нашли в процессе решения уравнения, но это не всегда правильно. Иногда требуется провести дополнительные расчеты, чтобы получить именно то, о чем спрашивается в задаче. При правильном и последовательном выполнении этих трех этапов решение текстовой задачи становится чисто механической работой, для выполнения которой не нужно по сто раз перечитывать текст задачи.

В наше время существует огромное множество  задач, но из них выделяют три основных типа:  задачи  на движение, процентное содержание  и  на работу.

Задачи на смеси, сплавы

Раствор кг Вещество % кг I раствор II раствор I +II

Задача №1. Первый сплав содержит 5% меди, второй – 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Сплав кг Медь % кг I II I +II x кг (x+4) кг (x+x+4) кг 5%=0,05 13%=0,13 10%=0,1 (0,05x) кг 0,13(x+4) кг 0,1 (2x+4) кг Уравнение:

Задача №2. Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если слить их вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе? Раствор кг Кислота % кг I II I +II 40 кг x % (0,4x) кг 30 кг 70 кг y % (0,3y) кг 73 % (0,73∙ 70) кг 40 кг – 100% ? кг – x% 30 кг – 100% ? кг – y%

x % Раствор кг Кислота % кг I II I +II 30 кг 60 кг y % (0,3x) кг (0,72∙ 60) кг 30 кг 72% (0,3y) кг

Задача №3. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные – 28%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов? Масса кг Вещество Вода, % Сухие, кг свежие сухие 288 кг 80% (0,2∙ 288) кг 28% 72% – 0,2∙288 100% – ? 10 8 36 1 ? кг

Задача №4. Виноград содержит 90% влаги, а изюм − 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма? Масса кг Вещество Вода, % Сухие, кг виноград изюм 20 кг 5% 90% (0,95∙ 20) кг ? кг 0,95∙20 – 10% ? – 100% 2

Задачи на среднюю скорость

Задача №5. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 67 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 85 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Решение. Пусть t ч – время, затраченное на весь путь; (0,5·t·67) км – первая часть пути, (0,5·t·85) км – вторая часть пути. Тогда среднюю скорость находим по формуле: Ответ: 76

Задача №6. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 561 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. s = v · t v t s 561 s s 17 s 17 s 561 S

Решение. Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть S км – весь путь путешественника, тогда средняя скорость равна: Ответ: 33

Задача №7. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 45 км/ч, вторую треть – со скоростью 70 км/ч, а последнюю – со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. S S S 45 км/ч 70 км/ч 90 км/ч Решение Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть 3S км – весь путь автомобиля, тогда средняя скорость равна: Ответ: 63

Задача №8. Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 95 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Решение. Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Путь, пройденный автомобилем равен: S = 2 · 120 + 1 · 100 + 2 · 95 = 530 км. Затраченное на весь путь время: t = 2 + 1 + 2 = 5 ч, тогда средняя скорость равна: v = 530 : 5 = 106 км/ч Ответ: 106

Задача №9. Первые 180 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 180 км – со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Решение Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Путь, пройденный автомобилем равен: S = 180 + 200 + 180 = 560 км Затраченное на весь путь время: t = 180 : 60 + 200 : 80 + 180 : 120 = 3 + 2,5 + 1,5 = 7 ч, тогда средняя скорость равна: v = 560 : 7 = 80 км/ч Ответ: 80

Движение вдогонку Задачи на движение.

Задача №10. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч. v s 1 2 х s s 0,5s 24 0,5s х + 16 + s х 1) 24 2) х + 16 s = v · t 0,5s 24 0,5s х + 16 + = s х = t = v s

Решение. Пусть x км/ч – скорость первого автомобиля, где х > 0, тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна (x + 16) км/ч. Пусть расстояние между пунктами S. Так как, автомобили были в пути одно и то же время, то составляем уравнение: Ответ: 32 – не удовлетворяет условию х > 0

Движение с отставанием. Задачи на движение

Задача №11. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 400 метрам? v t s 1 2 х (x + 0,5) · t x · t t х + 0,5 s = v·t 0,8ч = 0,8 · 60 = 48 минут Ответ: 48 t – 0,4км Решение.

Задача №12. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. v s х 75 75 75 х х + 40 s = v · t 75 х 75 х + 40 – = 6 75 х + 40 – 6 ч t = v s

Решение. Пусть x км/ч – скорость велосипедиста, где х > 0, тогда скорость автомобилиста равна (x + 40) км/ч. Так как велосипедист был в пути на 6 часов больше, то составляем уравнение: Ответ: 10 – не удовлетворяет условию х > 0

Задача №13. Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч. v s 1 2 х 88 88 88 х х + 3 s = v · t 88 х 88 х + 3 – = 3 88 х + 3 – 3 ч t = v s

Решение. Пусть x км/ч – скорость второго велосипедиста, где х > 0, тогда скорость первого велосипедиста равна (x + 3) км/ч. Так как второй велосипедист был в пути на 3 часа больше, чем первый, то составляем уравнение: Ответ: 8 – не удовлетворяет условию х > 0

Задачи на движение. Движение протяженных тел

Задача №14. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 300 метров меньше, чем скорый, и на путь в 420 км тратит времени на 3 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч. 420 А В Решение. Скорость товарного поезда меньше, чем скорого на 300 м/мин или на Пусть х км/ч – скорость товарного поезда, тогда скорость скорого поезда (х + 18) км/ч. Так как на путь в 420 км товарный поезд тратит времени на 3 часа больше, чем скорый, то составляем уравнение:

v t s х + 18 х s = v · t – 3 ч 420 420 420 х 420 х + 18 Ответ: 42 – не удовлетворяет условию х > 0

Задача №15. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 45 секунд. Найдите длину поезда в метрах. Решение Скорость поезда равна: За 45 секунд поезд проходит мимо придорожного столба расстояние равное своей длине: Ответ: 1000

Задача №16. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 300 метров, за 33 секунды. Найдите длину поезда в метрах. 300

Решение Скорость поезда равна: За 33 секунды поезд проходит мимо лесополосы, то есть проходит расстояние, равное сумме длин лесополосы и самого поезда, и это расстояние равно: Ответ: 250 Поэтому длина поезда равна 550 – 300 = 250 метров

Задача №17. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 900 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 3 минутам 9 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение. Скорость опережения товарного поезда пассажирским равна: За 3 мин 9 секунд или 189 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние равное сумме их длин Ответ: 150 Поэтому длина пассажирского поезда равна 1050 – 900 = 150 метров

Задача №18. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 85 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 300 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 28 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение Скорость сближения поездов равна: За 28 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть каждый из поездов преодолевает расстояние равное сумме их длин Ответ: 750 Поэтому длина скорого поезда равна 1050 – 300 = 750 метров

Задачи на движение по замкнутой трассе

Задача №19. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 6 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение 1 способ: Пусть х км/ч – скорость второго автомобиля. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 6 км больше, чем второй, отсюда имеем: Ответ: 105 2 способ: За 40 минут первый автомобиль обогнал второй на 6 км, значит за 60 минут обгонит на 9 км, т.е. скорость второго на 9 км/ч меньше скорости первого, значит, x = 114 – 9 = 105 км/ч S для 2 автомобиля

Задача №20. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них осталось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 3 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что, она на 2 км/ч меньше скорости второго. v t S I бегун II бегун (x+2) км/ч x км/ч 1 ч x км

Решение Пусть х км/ч – скорость I бегуна, тогда скорость II бегуна (х + 2) км/ч. Так как через час после старта I бегуну остался 1 км до окончания первого круга, то составляю уравнение:

Задачи на движение по воде

Задача №21. Моторная лодка прошла против течения реки 224 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. v s 224 224 х – 1 s = v · t – 2 ч х + 1 – = 2 224 х – 1 224 х + 1 224 х – 1 224 х + 1 t = v s

Решение. Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, где х > 0, тогда скорость лодки по течению реки равна (х + 1) км/ч, скорость лодки против течения – (х – 1) км/ч. Так как на путь по течению реки лодка затратила на 2 часа меньше, чем на обратный путь, то составляем уравнение: Ответ: 15 – не удовлетворяет условию х > 0

Задача №22. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 247 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 7 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. v s 247 247 16 + х s = v · t + 39 – 7 = 32 ч. 16 – х + = 32 247 16 + х 247 16 – х 247 16 + х 247 16 – х t = v s

Решение. Пусть x км/ч – собственная скорость теплохода, где х > 0, тогда скорость теплохода по течению равна (16 + х) км/ч, скорость теплохода против течения равна (16 – х) км/ч. Зная, что теплоход был в пути 39 – 7 = 32 часа, составляем уравнение: Ответ: 3 – не удовлетворяет условию х > 0

Задача №23. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч. v s 390 390 х s = v · t + 9 ч х + 3 = + 9 390 х 390 х + 3 390 х 390 х + 3 t = v s

Решение. Пусть x км/ч – на пути из A в B, где х > 0, тогда скорость баржи на обратном пути (из В в А) равна (х + 3) км/ч. Зная, что она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B, то составляем уравнение: Ответ: 10 – не удовлетворяет условию х > 0

Задача №24. Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 40 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч. 105 А В 40 1 час

Решение. Скорость плота равна скорости течения реки 4 км/ч. Пусть х км/ч – собственная скорость яхты, тогда скорость яхты по течению равна (х + 4) км/ч, а скорость яхты против течения равна (х – 4) км/ч. Время, которое затратил плот на путь в 40 км равно 40 : 4 = 10 часов. Яхта, проделав путь из А в В и обратно, затратила на 1 час меньше, значит 9 часов. Составляем уравнение: Ответ: 24 – не удовлетворяет условию х > 0

Задачи на совместную работу

Рекомендации к решению задач: Что необходимо знать? 1. Объём, выполняемой работы! (A) 3. Производительность! (N) 2. Время работы! (t) Что необходимо делать?

Задачу прочти Немного помолчи Про себя повтори Ещё раз прочти Нет объёма работы, за 1 прими Данные в таблицу занеси Уравнение запиши Уравнение реши! Что необходимо делать?

Задача №25. Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 100 литров она заполняет на 6 минуты дольше, чем вторая труба? A N t I труба II труба 100 л 100 л x л/мин (x+15) л/мин 6 мин Решение. Пусть x л/мин пропускает первая труба, где х > 0, тогда вторая труба пропускает (x + 15) л/мин. Так как, первая труба заполняет резервуар на 6 мин дольше, чем вторая, то составляем уравнение: 

Задача №26. Первый рабочий за час делает на 13 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 208 деталей, на 8 часов быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий? A N t I рабочий II рабочий 208 дет 208 дет (x+13) дет/ч x дет/ч 8 ч  Решение. Пусть x дет/ч делает второй рабочий, где х > 0, тогда первый рабочий делает (x + 13) дет/ч. Так как, первый рабочий выполняет заказ на 8 часов быстрее, чем второй рабочий, то составляем уравнение:

Задача №27. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 часа. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая? A t N I труба II труба вместе 1 1 x ч (x+3) ч 1 2 ч 1 – вместимость бассейна

Решение. Пусть x ч заполняет бассейн первая труба, где х > 0, тогда вторая труба заполняет бассейн (x + 3) ч. Так как, бассейн заполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 часа, то составляем уравнение:

Задача №28. Первая труба и вторая, работая вместе, наполняют бассейн за 36 часов, первая и третья – за 30 часов, вторая и третья – за 20 часов. За сколько часов наполнят бассейн три трубы, работая вместе? A t N I + II I + III II + III 1 1 1 36 ч 30 ч 20 ч 1 – вместимость бассейна

Решение.

Задача №29. Игорь и Паша красят забор за 5 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 6 часов, а Володя и Игорь – за 20 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём? A t N Игорь + Паша Паша + Володя Володя + Игорь 1 1 1 5 ч 6 ч 20 ч 1 – вся работа

Решение.

Задача №30. Три бригады изготовили вместе 114 деталей. Известно, что вторая бригада изготовила деталей в 3 раза больше, чем первая и на 16 деталей меньше, чем третья. На сколько деталей больше изготовила третья бригада, чем первая.